2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第64講 雙曲線練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第64講　雙曲線 1．(經(jīng)典真題)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(B) A．11 B．9 C．5 D．3 由題意知a＝3.由雙曲線的定義有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，所以|PF2|＝9. 2．(2018·銀川三模)以直線 y＝±x為漸近線的雙曲線的離心率為(C) A．2 B. C．2或 D. 因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x， 所以＝，或＝，所以c2＝4a2，或c2＝a2. 所以e＝2，或e＝. 3．(經(jīng)典真題)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上

2、的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若·<0，則y0的取值范圍是(A) A．(－，)　 B．(－，) C．(－，) D．(－，) 由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，－y＝1， 所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0) ＝x＋y－3＝3y－1<0， 解得－0，b>0)的一條漸近線與圓x2＋(y－a)2＝相切，則該雙曲線的離心率為(D) A．3 B. C. D. 漸近線方程為ax±by＝0， 由條件d＝＝， 即＝， 所以c＝3b，所以a2＝c2－b2＝9b2－b2＝8b2，所以a＝2b. 所

3、以e＝＝＝. 5．(2016·北京卷)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝　2　. 不妨令B為雙曲線的右焦點(diǎn)，A在第一象限，則雙曲線如圖所示． 因?yàn)樗倪呅蜲ABC為正方形，|OA|＝2， 所以c＝|OB|＝2，∠AOB＝. 因?yàn)橹本€OA是漸近線，方程為y＝x， 所以＝tan ∠AOB＝1，即a＝b. 又因?yàn)閍2＋b2＝c2＝8，所以a＝2. 6．(2018·湖北5月沖刺試題)平面內(nèi)，線段AB的長(zhǎng)度為10，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝6＋|PB|，則|PB|的最小值為__2__．

4、 以A，B所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系， 由條件知P點(diǎn)軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，2a＝6，2c＝10的雙曲線的右支(如圖)． 當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，|PB|取最小值， 其最小值為c－a＝5－3＝2. 7．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線的實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線的方程； (2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值． (1)由已知c＝，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a，b，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)分別為m，n. 則 解得a＝7，

5、m＝3，所以b＝6，n＝2. 所以橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)， 則|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，又|F1F2|＝2， 所以cos∠F1PF2＝ ＝＝. 8．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(B) A. B．3 C．2 D．4 由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x. 設(shè)兩漸近線夾角為2

6、α，則有tan α＝＝，所以α＝30°. 所以∠MON＝2α＝60°. 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝. 則在Rt△OMN中， |MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3. 9．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為____． 如圖，由題意知點(diǎn)A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， 所以點(diǎn)A到l的距離

7、d＝. 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，所以△MAN為等邊三角形， 所以d＝MA＝b，即＝b，所以a2＝3b2， 所以e＝＝ ＝. 10．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)(－2,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，并且離心率為. (1)求雙曲線C的方程； (2)已知點(diǎn)M(0,1)，設(shè)P(x0，y0)是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求·的取值范圍． (1)設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，半焦距為c，則c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1， 故所求雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)依題意有：Q(－x0，－y0)， 所以＝(x0，y0－1)，＝(－x0，－y0－1)， 所以·＝－x－y＋1，又－y＝1， 所以·＝－x＋2，由－y＝1可得，x≥3， 所以·＝－x＋2≤－2. 故·的取值范圍是(－∞，－2]． 6