2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第16章 幾何變換試題 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第16章幾 何變換試題新人教版 16.1.1★設(shè)是邊長為2的正三角形的邊的中點(diǎn).是邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值. 解析作正三角形關(guān)于的對稱圖形．是的對稱點(diǎn)，故是的中點(diǎn).，如圖所示，則 PA+PM=PA+PM'2AM 連結(jié)，易知，所以AMr=\AC2+CMS^'4+3=、耳. 所以，的最小值是. 16.1.2★★已知中，試在的邊、上分別找出一點(diǎn)、，使最小. 解析作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連與、分別交于點(diǎn)、，則、即為所求，如圖所示． AMB 事實(shí)上，對于、上的任意點(diǎn)，， BQ+Q'P'+P

2、C=BQQ+Q'P'+PC' 評注因?yàn)?，所以所作線段必與線段、相交． 16.1.3★★求證：直角三角形的內(nèi)接三角形的周長不小于斜邊上高的兩倍.解析如圖所示，設(shè)在直角三角形中，是斜邊上的高，是它的任一內(nèi)接三角形 E 將以為對稱軸反射為，此時(shí)反射為，再將以為對稱軸反射為，此時(shí)反射為延長交于． 易知，所以，即，且是兩平行線與之間的距離所以 PQ+QR+RP=PQ+QV+VT三GD=2CD. 16.1.4*★★在內(nèi)取一點(diǎn)使，設(shè)，．求. 解析本題中為等腰三角形，這就提示我們利用對稱性解題，先作一條對稱軸，作的高與直線交于點(diǎn)由對稱性知，所以， 從而， 因?yàn)閆AM

3、E=ZMAB+ZMBA=40。，又所以今， 于是， 所以ZAMC=-（180?！?0。）=70。. 2 16.1.5★★在中，是高，在邊上，已知,，求的面積. 解析作的關(guān)于的對稱圖形，作的關(guān)于的對稱圖形．分別延長和，它們相交于，如圖所示 易知，且 所以，四邊形是正方形． 設(shè)正方形的邊長為，則 ，． 在直角三角形中，由勾股定理知 解方程，得，即．所以 16.1.6*★★如圖，凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長為的正方形的四條邊上，求證：的周長不小于． 解析作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，

4、而、、四點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示. 2 2 2 3 顯然，，，故 ， 所以四邊形的周長 即四邊形的周長不小于. 16.1.7*★★如圖，和是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形， ，現(xiàn)固定而將繞點(diǎn)在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論旋轉(zhuǎn)到什么位置，線段上必存在點(diǎn)使力等腰直角三角形. B C DE 解析如圖，設(shè)為等腰直角三角形，下面證明點(diǎn)在線段上作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則. 因?yàn)椋? 所以ZEDM=ZADM=45?！猌A'DB 又. 所以又是關(guān)于的對稱點(diǎn).同理也是關(guān)于的對稱點(diǎn)，因此 ，， 又因， 所以. 即在上（且為的中點(diǎn)）. 16.1.8*★★如圖，矩形中，，，若在、上

5、各取一點(diǎn)、，使的值最小，試求出這個(gè)最小值. D E N C 解析作關(guān)于直線的對稱線段，即、關(guān)于對稱，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則在上，且有于，于由對稱變換可知，. 欲使最小，必須共線，所以最小值為點(diǎn)到的距離. 在中，，，所以，則. 在中，AQ=^AB2—BQ2=\：202-V4<5丿=8叮5.又，在 中，S=-BE-AQ=1AE-BG，貝匚從而的最小值為16. △ABE22 16.1.9★★凸四邊形中，，求證： 解析將沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)．因?yàn)?，，所以必定在?nèi)部．延長線交于點(diǎn)，則 AB+AD>BE+FD>BP+PD=BC+CD. 16.1.10^★設(shè)表示凸四邊形的

6、面積，證明. C 解析如圖，作點(diǎn)關(guān)于的垂直平分線的對稱點(diǎn)，顯然與關(guān)于成軸對稱圖形．所以 =2AB-A"SinZ-BC-CDsinZBCD 16.1.11^★在矩形內(nèi)取一點(diǎn)，使，試求的值. M' A D 解析如圖將沿平移至，顯然，．所以，由已知條件，即、、、四點(diǎn)共圓，從而 ZBCM+上DAM二ZADM'+上DAM 16.1.12*★設(shè)是平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，使得,證明：． 解析如圖，把平移至，則，及，，所以. 又已知，故，從而、、、四點(diǎn)共圓.于是又， 所以. 16.1.13^(1)如圖(a)所示，在梯形中，.已知

7、：，，，求梯形的面積. (2)如圖(b),在梯形中，是的中點(diǎn)，于.設(shè),，求梯形的面積.解析(1)將平移到，連結(jié)，則，.所以 (b) AE=AD+DE=AD+BC=3. 因此. 因?yàn)椋? 所以S=S=-AC-CE=3<2. 梯形ABCD△ACE22 (2)將平移至，如圖(b)所示，過點(diǎn).由于9,所以 S=S=AB-MN=ah. 梯形ABCD梯形ABFE 評注本題的兩種添平行線法是解梯形問題的常用方法． 16.1.★如圖，在四邊形中，，、分別是及中點(diǎn)，的延長線與及的延長線分別交于點(diǎn)、.求證：. (a) B 解析1如圖（a）,將線段平移至.則四邊形為平行四

8、邊形.由于是中點(diǎn)，故、、共線. 現(xiàn)在是的中位線，故，所以又顯然.故 于是. B 解析2如圖（b）,連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)、，貝X分別為、的中位線，所以，.故 且，故， 所以. 16.1.15*★如圖，，、、均垂直于，垂足為、、，，，，.求的值. 1 E B1 解析將平移到，在線段上，延長交于，將平移到，在上因?yàn)椤?、均垂直于，所以四邊形和都是矩形? 由，，得?又，所以，，所以9,, 于是， 在中，，，也即16.1.16*★在正三角形的三條邊上，有三條相等的線段、、.證明：直線、、所成的三角形中，三條線段、、與包含它們的邊 成

9、比例． 3 B 解析如圖，將平移到，連結(jié)、、．因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，，故為正三角形，．這樣所得四邊形為平行四邊形，． 因此，由、、這三條線段構(gòu)成的三角形與全等，而9，從而命題得證． 16.1.★如圖所示，且共點(diǎn)于，/AOB'=/BOC=/COA=60。， 求證：S+S+S＜、汽. △AOB'△BOC'△COA 解析將沿方向平移長的距離，得，將沿方向平移長的距離，得．由于 所以． 又因QR+RP=OC+OC'二CC'=2, 故與重合，且、、三點(diǎn)共線．在正三角形中 16.1.18*★★如圖，由平行四邊形的頂點(diǎn)引它的高和，已知,，求點(diǎn)到的垂心的

10、距離. BPC 解析令表示的垂心. 考慮到，，有.同理有，因而四邊形，為平行四邊形，平移到位置，顯然為上一點(diǎn)，所求線 段即，已與位于同一直角三角形中.由于四邊形為矩形，有，于是 BH=PH八PK2—KH2=xb2—a2. 1 16.1.19^★★已知的面積為,、分別為、、上的點(diǎn)，且，試求以、、為邊的三角形的面積. 解析如圖，過點(diǎn)作平行且等于.連、、，則四邊形為平行四邊形，. 又CGAFAEAE1 ^又==== ABABABCAn+1 所以今，，因此. 又因， 所以. 于是四邊形也為平行四邊形，從而，即為、、所構(gòu)成的三角形，它的面積為

11、在梯形中， SGC+ABAGCA1 —梯形GABC==1+=1+ SABABn+1 所以，而， 所以S △ABC CG■CD=丄 BA-BC_n+1 因此S'二『1+丄］—丄—("、IS n+1丿n+1(n+1)21 §16.2旋轉(zhuǎn) 16.2.★對于邊長為1的正內(nèi)任一點(diǎn).求證：. C C' 解析把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到.則為正三角形，且因而PA+PB+PC=PA+PP'+PC三AC*3. 16.2.2★★設(shè)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，試求此等邊三角形的邊長. C 解析如圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，到達(dá)的位置，顯然， 在中，AP2+P'P2=32+42=52=A

12、PS，所以.故ZAPC=ZAPP'+ZPfPC=90。+60。=150。. 在中，由余弦定理，得 AC2=AP2+PC2—2AP-PC-cos150。 所以，等邊三角形的邊長是． 16.2.3★★設(shè)是正三角形內(nèi)一點(diǎn)，已知,，求以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角. B C PiD 解析以為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至，如圖所示連結(jié)．由于，，所以是正三角形，故． 又，故是以、、為邊構(gòu)成的一個(gè)三角形． 因此 從而ZOCD=180。—65?！?5。=60。.所以，以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角分別為、和． 16.2.4★★如圖，兩個(gè)正方形與（頂點(diǎn)按順時(shí)針方向

13、排列），求證：這兩個(gè)正方形的中心以及線段、的中點(diǎn)是某正方形的頂點(diǎn). M 解析設(shè)、分別是正方形、的中心，、分別是線段、的中點(diǎn)，先證是以為斜邊的等腰直角三角形. 連結(jié)、，將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則、分別到、位置，所以，.因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以.同理.所以，且.即是以為斜邊的等腰直角三角形.同理可證也是以為斜邊的等腰直角三角形.故、、是正方形的四個(gè)頂點(diǎn). 16.2.5★★正方形內(nèi)有一點(diǎn)，，.，求正方形的面積. P' D B 解析將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得.連結(jié).易知，. 于是. 在中，PP2+PD2=2+7=9=PD2.所以是直角三角形，從而. 由余弦定理得 AD2=PA2+PD2+

14、、2PA-PD 16.2.6★★在正方形的邊和上分別取點(diǎn)和，使得，在線段上取點(diǎn)，使得.證明：是直角. M A B L K D /C 解析如圖所示，在邊上取點(diǎn)，使，連結(jié)、、. 由于，所以、、、四點(diǎn)共圓，作四邊形的外接圓和矩形 的外接圓，因?yàn)檫@兩個(gè)外接圓均過、、三點(diǎn)，從而這兩圓是相同的，所以易知今. 故以正方形的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將以逆對針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)至，從而.又，故、三點(diǎn)共線，所以. 16.2.7*★★已知凸六邊形中，，，， ZA+ZA+ZA=ZA+ZA+ZA.求證： 135246 1）； 2）， 解析（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，如圖所

15、示.連結(jié)因?yàn)? (ZA+ZA+ZA)+(ZA+ZA+ZA) 135246 所以因此ZA，AA=360。—ZA—ZA，AA 4161412 on 所以S=-S=-S. △A2A4A62A2A4A6A42A1A2A3A4A5A6 （2）由（1）可知 ZAAA=ZAAA'=ZAAA+ZAAA 624624-26324 所以． 同理可證：，． 評注本題通過旋轉(zhuǎn)，把、、拼成一個(gè)與全等的新三角形.也可以采取向內(nèi)部旋轉(zhuǎn)的方法，把、放在的內(nèi)部，使之恰好“拼成”． 16.2.★★如圖所示,、是邊長為1的正方形內(nèi)兩點(diǎn)，使得 ，求的值. （a） 解析將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至、繞

16、點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至、連結(jié)、、則 onOO ,? 又ZABQ+ZCBQ"=ZADQ+ZCDQ=90。，所以、、三點(diǎn)共線，且故、所以 16.2.9★★在中，，點(diǎn)不與重合.求證. 解析如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使與共線.于是 AB+AC=AB'+AC

17、、分別是、的中點(diǎn)，且（是常數(shù)），求證： F 解析如圖所示，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得，連，于是 ZECF=360?！猌ECN—ZBCD—ZFCM =360?！猌ADC—ZBCD—ZABC ， 所以與凸四邊形的邊不相交.故 S—S+S+S