2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第4章 方程組試題1 新人教版

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1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)第一篇代數(shù)第4章方程組試題1新 人教版 4.1.1★已知關(guān)、的方程組 分別求出當(dāng)為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；無(wú)解；有無(wú)窮多組解，解析與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過(guò)消元，歸結(jié)為一元一次方程的形式進(jìn)行討論，但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零. 由①式得 ，③ 將③代入②得 (a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)④ 當(dāng)，即且時(shí)， 方程④有唯一解，將此值代入③有 ， 因而原方程組有唯一一組解． 當(dāng)，且時(shí)，即時(shí)，方程④無(wú)解，因此原方程

2、組無(wú)解. 當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，方程④有無(wú)窮多個(gè)解，因此原方程組有 無(wú)窮多組解． 評(píng)注對(duì)于二元一次方程組，(、、、為已知數(shù)，且與，與中都至少有一個(gè)不為零)． (1) 當(dāng)時(shí)，方程組有唯一的解 bc-bc x二li- ab-ab <1221 ac-ac y二 ab-ab 1221 (2) 當(dāng)時(shí)，原方程組有無(wú)窮多組解． (3) 當(dāng)時(shí)，原方程組無(wú)解． 4.1.2★對(duì)、的哪些值，方程組至少有一組解？解析由原方程可得．即 (1) 當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，從而原方程組有唯一解． (2) 當(dāng)，時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解，從而原方程組也有無(wú)窮多組解．綜上所述，當(dāng)且為任意數(shù)，或且時(shí)，方程組至少有一

3、組解． 4.1.3★已知關(guān)于、的二元一次方程 (a-1)x+(a+2)y+5-2a=0. 當(dāng)每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解． 解析1根據(jù)題意，可分別令，代入原方程得到一個(gè)方程組： 解之得 將，代入原方程得 (a-1).3+(a+2)-(-1)+5-2a=0. 所以對(duì)任何值 都是原方程的解． 評(píng)注取為的是使方程中，方程無(wú)項(xiàng)，可直接求出值；取的道理類似解析2可將原方程變形為 a(x+y—2)—(x—2y—5)=0. 由于公共解與無(wú)關(guān)，故有解之得公共解為 4．1．4★★已知，且，，求的值． 解析已知代數(shù)式中含有、、三個(gè)字母，而等式只有

4、2個(gè)，在一般情況下是不可能求出、、的具體值來(lái)的．因此，可以把已知條件中的視為常數(shù)，得到關(guān)于、的方程組，從而找出、與的關(guān)系，由此可求出其值．把已知等式視作關(guān)于、的方程，視作常數(shù)，得關(guān)于、的方程組解得因?yàn)?，所以，于? x2+6y2—10z2 3x2—4yz+5z2 (2z)2+6—-z—10z2I2丿 3-(2z)2—4—-z2+5z2k2丿 4．1．5★若、的值滿足方程組求的值． 解析由①+②得，即 ．③ 由③得：.④ 把④代入①得：解得，把代人④得:，所以方程組解為 原式=24+4x22x12+5x14=37. 4.1.6★★當(dāng)取何值時(shí)，關(guān)于、的方程組有正整數(shù)解． 2—

5、a x=2+ 解析解方程組得］所以，是被3除余2的整數(shù). _a+1 y=a+2+. 〔3 -2—a、“ 2+三1, 由］3“得.所以，， a+1 a+2+三1 3 4.1.7★為何值時(shí)，方程組 （1）當(dāng)，即時(shí)，原方程組有唯一解 （2）當(dāng)，即時(shí)，原方程組無(wú)窮多組解； （3）由于，故方程組不可能無(wú)解. 4.1.8★若方程組的解滿足，求的值.解析將代入原方程組，得 所以，，. 4.1.9★甲、乙二人同時(shí)求的整數(shù)解.甲求出一組解為而乙把中的7錯(cuò)看成1，求得一組解為求、的值. 解析把，代入，得.把，代入，得. 解方程組得 4.1.10★甲、乙兩人解方程組

6、由于甲看錯(cuò)了方程①中的以而得到方程組的解為乙看錯(cuò)了方程②中的而得到的解為假如按正確的、計(jì)算，求出原方程組的解. 解析因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程①中的，所以甲所得到的解應(yīng)滿足無(wú)的正確的方程②，即.② 同理，應(yīng)滿足正確的方程①，即 .④ 解由③、④聯(lián)立的方程組得 所以原方程組應(yīng)為 解之得 4.1.11^★已知方程組無(wú)解,、是絕對(duì)值小于10的整數(shù)，求、的值.解析因?yàn)榉匠探M無(wú)解的條件是參照這個(gè)條件問(wèn)題便可解決.原方程組可化為因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以有 ， 所以，且，因?yàn)?，所以，，又因?yàn)槭钦麛?shù)，所以， ，，0，1，2，3，相應(yīng)地，-6，-3，0，3，6，9.所以，當(dāng)時(shí)，原方程組無(wú)解. 4.1.

7、12★已知關(guān)于和的方程組 3x+4y=-5, 5x+6y=-9, （n-8m）x-8y=10, 5x+（10m+2n）y=-9 有解，求的值.解析首先解方程組 得到，，代入原方程組中后兩個(gè)方程，得到 ① 再解上面關(guān)于和的方程組，得到，，. 4.4.13★已知，，求的值.解析根據(jù)題意有 a+b_1 ab2' a+c1 <_—, ac5 b+c_1 be4 -+-_& ab2 <-+1_②ac5 -+-=-?③bc4 （①+②+③），得 .④ ④①得④②得 3160 ④③得 所以a+b+c_晉+晉+(-40)_ 4.1.14★如果方程組的解是正整

8、數(shù)，求整數(shù)的值. 解析解方程組得 x_ y= 11一3m① 2， .② 2 因?yàn)?、都是正整?shù)，所以 11—3m> <2一， '5m-H三1. I2 解得. 因?yàn)槭钦麛?shù)，所以.將代入①和②式,、的值均為正整數(shù). 故. 4.1.15*★解方程組解析因?yàn)楸硎緝蓚€(gè)方程，即和，或者和，或者和，所以原方程組實(shí)際上是由三個(gè)方程組成的三元一次 方程組，將原方程組改寫(xiě)為 2 x+3y-4z=-7,① 3 =2,② 3 直仝=2?③ 2 由方程②得，代入①化簡(jiǎn)得 ．④ 由③得．⑤ ④⑤得所以，． 將代入⑤，得.將代入②， 得．所以 x=2,

9、 、z=2 為原方程組的解． 評(píng)注本題解法中，由①、②消去時(shí)，采用了代入消元法；解④、⑤組成的方程組時(shí)，若用代入法消元,無(wú)論消去還是消去，都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，計(jì)算較繁，而利用兩個(gè)方程中的系數(shù)是一正一負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值較小這一特征，采用加減消元法較簡(jiǎn)單． 4.1.16★已知 f123 一+―+一 xyz 1-6-5 =0,① =0.② xyz 求的值. 解析①-②消去得，即.①②消去得，即.①②消去得，即.所以，即為所求. 4.1.17^解方程組 fx-y-z=5,①

10、. 由④+②得，.由④+③得，.所以，原方程組的解為 x=7,y=5,z=-3,x+y+z=1,①y-z+u=2,② 4.1.18*解方程組

11、 -4,① =11,② xyx 5?③ xy 解析①②得 ，④ 由③得，⑤代入④得，代入⑤得. 再把，代入①得，所以 x=5, 10 z=■ 33 為原方程組的解. 解析2令，，，則原方程化為 A+B+2C=-4,

12、方程組 x(y+z—x)=39—2x2,①

13、為 2a+b—c 14 2b+c—a 14 2c+a—b 14 4.1.22*★解方程組 x+2y=5,y+2z=&z+2u=11, u+2x=6. x=5-2y,① 解析有原方程得r=8—2z,② z=11-2u,③ u=6一2x.④ 所以x=5—x—2y=5—2(8—2z) =—11+4z=—11+4(11—2u) 即，解之得，將代入④得?將代入③得?將代入②得.所以原方程組解為 x=1, y=2, z=3, u=4. 4.1.23^★解方程組 r111 —+—=二, xy+z2 111 <_+=；, yz+x3 111 —+=—.

14、 、zx+y4解析先把各方程左邊通分，再對(duì)每個(gè)方程兩邊取倒數(shù)，并設(shè)，則原方程可化為rxy+xz=2k,①

15、 1 1 —+ x y+1 2' 1 1 1 —+ x z+2 3' 1 1 1 + — — [y+ 1z +2 4 解得，，.所以，方程組的解為 24 19 z=22. 4.1.25*★解方程組 x+y+zx=,① 2 1 y+z+xy=2,② 1 z+x+yz=.③ 2 解析①③得，則． 把式④代入①、②，整理分別得 3y+2y2+x+2xy2一2x2y=1，⑤ ．⑥ ⑤⑥得． 若，由式⑤得解得． 將代入式④，得.若，同理，． 將，代入式①得

16、分解因式得 故（，，）為（，2，）、（2，，）（，，2）綜上，共有5組解 ‘-1+V6-2+V6一2+V6' 222 '一2-V6一2-V6-2-晁' 222 ，2，）（2，，） （，，2）． 4.1.26*解方程組 \2x2+4xy-2x-y+2=0,① [3x2+6xy-x+3y=0.②解析②①得 解方程組得 4.1.27*解方程組 \2x2-4xy+y2+2x-y+2=0,①]x2—2xy—y2+x—2y+4=0.（② 解析②①得 所以，. 解方程組 Iy=i,[x2-2xy-y2+x-2y+4=0 與Iy=一2,[x2一2xy一y2+x一2y

17、+4=0, 得原方程組的解 4.1.28*解方程組 解析由②得 ，所以或.因此，原方程組可化為兩個(gè)方程組 與解兩個(gè)方程組得原方程組的解為 評(píng)注方程組至少有一個(gè)方程可以分解為一次方程時(shí)，可用因式分解法解4.1.29*解方程組 解析由①②得 ，即，所以或.所以或.分別解下列兩個(gè)方程組 得原方程組的解為 x=—-J13,x=713, 313 < 413 y=—J713;y=-—^/13. 〔313〔413 評(píng)注如果兩個(gè)方程都沒(méi)有一次項(xiàng)，可用加減消元法消去常數(shù)項(xiàng)，再用因式分解法求解 4.1.30*解方程組 解析原方程組可變形為①②得 (x+y)2+2(x+y)

18、=10+6\：2. 令，則所以，即或. 當(dāng)時(shí)，代入①得?解方程組 可得，；，． 當(dāng)時(shí)，代入①得. 而方程組無(wú)實(shí)數(shù)解．綜上所述，方程組的解為評(píng)注由于一般的二元對(duì)稱式總可以用基本對(duì)稱式和表示，因此在解二元對(duì)稱方程組時(shí)，一定可以用和作為新的未知數(shù)，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組． 4.1.31*★解方程組 解析本題是一個(gè)對(duì)稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對(duì)稱方程組的形式 由①得 .③ 將②代入③，得，所以 .④ 由②、④可得基本對(duì)稱方程組于是可得方程組的解為4.1.32*解方程組解析本題屬于二元輪換對(duì)稱方程組類型，通常可以把兩個(gè)方程相減，因?yàn)檫@樣總能得到一個(gè)方程，從

19、而使方程降次化簡(jiǎn). ①②，再因式分解得所以或.解下列兩個(gè)方程組得原方程組的四組解為 10 10 4.1.33^★★解方程組解析1用換元法.設(shè)則有 3 2 1 丄J5A-9+7B=6,2 < Va+1J5B-9=6,〔2 即 ③④并平方得 =4A+5B-9+4pA(5B-9), 整理得 A-B=4C5AB-9A—5AB-9B), 所以 4r_4(5AB-9A-5AB+9B) ^5AB-9A+45AB-9B， 化得 0， (A-B)C5AB-9A5AB-9B+36)= 因?yàn)関5AB-9A+<5AB-9B+36>0, 因此． 解方程組 得

20、經(jīng)檢驗(yàn)，適合方程③、④，由此得原方程的解是解析2①②得 <5x+4-\：4x+5=、：5y+4-^4y+5， 己-1=丄-1 \5x+4+\4x+5\；5y+4+J4y+5 所以與同號(hào)或同為零．由方程①得 C5x+4-3)+C4y+5-3)=0, 5(x-1)4(y-1) 5x+4+34y+5+3 所以與不能同正，也不能同負(fù)．從而由此解得經(jīng)檢驗(yàn)，，是方程組的解． 4.1.34*★★解方程組: 2x=x+——, 21x 1 32 2x=x+, x 2 2x=x nn-1 2 +, x n-1 2x=x+ 1nx n 解析本例各方程中，未知數(shù)

21、的出現(xiàn)是循環(huán)對(duì)稱的．若用消元法求解將十分困難．故而采用不等式求解． 顯然方程組的解，，，都同號(hào)，且若，，，是方程組的解，則，，，也是方程組的解．故不妨先設(shè)． 因?yàn)?x=x+-三2,'x-—=2込，所以.同理，，，. 1nx\nx n 把方程組的所有方程相加，整理，得 2 2 2 x+x+…+x —— ++? ?-+- 12n x x x 1 2 n 但 .① 222 ++…+—W xxx 12n 因此要等式①成立，只能容易檢驗(yàn)，確實(shí)原方程組的解.因此，原方程組有兩組解，它們是4.1.35*★★解方程組: 2x21-=

22、x, 1+x22 1 2x2L=x, 1+x23 2 2x2 n-1=x, 1+x2n n-1 2x2 n—x. 1+x21 解析1首先有.再由（為實(shí)數(shù)）得，，，， ；所以xWxWxW???￡xWxWx.只能.進(jìn)而求得本題的兩組解或. 1nn-1321 解析2若，，，中有一個(gè)為零，則由方程組可推出其余個(gè)未知數(shù)都是零，則是原方程組的解.下設(shè)都不是零，則 1+X21 2x2x2 1 1+X21 2x2x3 2 112 +1=, x2x2 1 112 +1=, x2x3 2 n-1 2x2 n-1 x n 1+X21 ; x

23、 1 2X2 n 112+1=, x n x2 n-1 112 +1=； x2x n1 將所有方程相加，并整理、配方，得 >2 P-1+二-1+???+丄-1 IX1丿 X2丿 因?yàn)?，所以只? ——1=——1=?…=——1=0, xxx 12n 易知它確實(shí)原方程組的解?因此，原方程組的解由兩組：，或 4.1.36^^★★已知原方程組： aX + aX +ax二 0, 111 122 133 aX + aX +aX =0, 211 222 233 aX + aX +aX =0. 31

24、1 322 333 它的系數(shù)滿足下列條件： （1）、、都是正數(shù)； （2）所有其他系數(shù)都是負(fù)數(shù)； （3）每一方程中系數(shù)之和是正數(shù). 求證：是已知方程組的唯一解. 解析本例是一個(gè)三元線性齊次方程組，，顯然是它的解，因而只要證明已知方程組不存在不全為零的解集即可. 用反證法.若方程組有不全為零的解，，，由對(duì)稱性不設(shè)防、、中以為最大，則.于是由，，，，得 面的不等式顯然是矛盾的.故已知方程組只有唯一解：4.1.37*★解方程組 a2二a+b—2c+2d+e—8, b2二—a—2b—c+2d+2e—6, vc2=3a+2b+c+2d+2e—31, d2=2a+b+c+2d+2e—2, e2二a+2b+3c+2d+e—8. 解析將這個(gè)5個(gè)方程相加，得 a2—6a+b2—4b+c2—2c+d2 ， 所以（a—3）2+（b一2）2+（c—1）2+（d—5）2+（e一4）2=0, 故（，，，，）（3，2，1，5，4）． 經(jīng)檢驗(yàn)知，（，，，，）（3，2，1，5，4）是方程組的解．