轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)定實(shí)驗(yàn)報(bào)告

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理論力學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)小組成員: 實(shí)驗(yàn)時(shí)間:2018年5月18日18:00——19:30 實(shí)驗(yàn)地點(diǎn):同濟(jì)大學(xué)四平路校區(qū)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中心  【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹? 1.了解多功能計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀實(shí)時(shí)測(cè)量（時(shí)間）的基本方法 2.用剛體轉(zhuǎn)動(dòng)法測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 3.驗(yàn)證剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的平行軸定理 4.驗(yàn)證剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān) 【實(shí)驗(yàn)原理】 1. 轉(zhuǎn)動(dòng)力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度關(guān)系系統(tǒng)在外力矩作用下的運(yùn)動(dòng)方程 Tr+Mμ=Jβ2 （1） 由牛頓第二定律可知，砝碼下落時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為：mg-T=ma 即繩子的張力 T=m(g-rβ2) 砝碼與系統(tǒng)脫離后的運(yùn)動(dòng)方程 Mμ=Jβ1 （2） 由方程（1）（2）可得 J=mr(g-rβ2)/(β2-β1) （3） 2. 角加速度的測(cè)量 θ=ω0t+βt （4） 若在t1、t2時(shí)刻測(cè)得角位移θ1、θ2 則θ1=ω0 t1+βt （5） θ2=ω0 t2+βt （6） 所以，由方程（5）、（6）可得 β=2（θ2 t1-θ1 t2）/ t1 t2（t2- t1） 【實(shí)驗(yàn)儀器】 1、IM-2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀(含霍爾開關(guān)傳感器、計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)多功能毫秒儀、一根細(xì)繩、一個(gè)質(zhì)量為100g的砝碼等，塔輪直徑從下至上分別為30mm、40mm、50mm、60mm，載物臺(tái)上的孔中心與圓盤中心的距離分別為40mm、80mm、120mm) 2、一個(gè)鋼質(zhì)圓環(huán)(內(nèi)徑為175mm，外徑為215mm，質(zhì)量為995g) 3、 兩個(gè)鋼質(zhì)圓柱(直徑為38mm，質(zhì)量為400g) 【實(shí)驗(yàn)步驟】 1.實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 在桌面上放置IM-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀，并利用基座上的三顆調(diào)平螺釘，將儀器調(diào)平。將滑輪支架固定在實(shí)驗(yàn)臺(tái)面邊緣，調(diào)整滑輪高度及方位，使滑輪槽與選取的繞線塔輪槽等高，且其方位相互垂直。 通用電腦計(jì)時(shí)器上光電門的開關(guān)應(yīng)接通，另一路斷開作備用。當(dāng)用于本實(shí)驗(yàn)時(shí)，設(shè)置1個(gè)光電脈沖記數(shù)1次，1次測(cè)量記錄大約20組數(shù)。 2.測(cè)量并計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1)放置儀器，滑輪置于實(shí)驗(yàn)臺(tái)外3-4cm處，調(diào)節(jié)儀器水平。設(shè)置毫秒儀計(jì)數(shù)次數(shù)為20。 2)連接傳感器與計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀，調(diào)節(jié)霍爾開關(guān)與磁鋼間距為0.4-0.6cm，轉(zhuǎn)離磁鋼，復(fù)位毫秒儀，轉(zhuǎn)動(dòng)到磁鋼與霍爾開關(guān)相對(duì)時(shí)，毫秒儀低電平指示燈亮，開始計(jì)時(shí)和計(jì)數(shù)。 3)將質(zhì)量為m=100g的砝碼的一端打結(jié)，沿塔輪上開的細(xì)縫塞入，并整齊地繞于半徑為r的塔輪。 4)調(diào)節(jié)滑輪的方向和高度，使掛線與繞線塔輪相切，掛線與繞線輪的中間呈水平。 5)釋放砝碼，砝碼在重力作用下帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)體系做加速度轉(zhuǎn)動(dòng)。 6)計(jì)數(shù)計(jì)時(shí)毫秒儀自動(dòng)記錄系統(tǒng)從0π開始作1π，2π……角位移相對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。 3.測(cè)量并計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)放上試樣后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 將待測(cè)試樣放上載物臺(tái)并使試樣幾何中心軸與轉(zhuǎn)動(dòng)軸中心重合，按與測(cè)量空實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同樣的方法可分別測(cè)量砝碼作用下的角加速度β2與砝碼脫離后的角加速度β1，由（3）式可計(jì)算實(shí)驗(yàn)臺(tái)放上試樣后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，再減去實(shí)驗(yàn)步驟2中算得的空實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可得到所測(cè)試樣的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。將該測(cè)量值與理論值比較，計(jì)算測(cè)量值的相對(duì)誤差。 4.驗(yàn)證平行軸定理 將兩圓柱體對(duì)稱插入載物臺(tái)上與中心距離為d的圓孔中，測(cè)量并計(jì)算兩圓柱體在此位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將測(cè)量值與理論計(jì)算值比較，計(jì)算測(cè)量值的相對(duì)誤差。 5.驗(yàn)證剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān) 通過改變塔輪直徑對(duì)轉(zhuǎn)盤施加不同的外力矩，測(cè)定在不同外力矩下轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，與理論值進(jìn)行比較，在一定允許的誤差范圍內(nèi)驗(yàn)證結(jié)論。 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與處理】 1.測(cè)量空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 塔輪半徑r=40mm 砝碼100g 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 1.135 1.782 1.208 11π 6.716 7.891 6.881 2π 1.994 2.824 2.099 12π 7.147 8.341 7.316 3π 2.270 3.647 2.840 13π 7.581 8.793 7.752 4π 3.355 4.346 3.488 14π 8.014 9.244 8.189 5π 3.932 4.968 4.072 15π 8.450 9.698 8.627 6π 4.461 5.531 4.608 16π 8.885 10.152 9.066 7π 4.955 6.052 5.106 17π 9.323 10.608 9.507 8π 5.417 6.537 5.573 18π 9.760 11.064 9.948 9π 5.855 6.994 6.014 19π 10.200 11.523 10.390 10π 6.285 7.441 6.447 20π 10.640 11.981 10.833 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.03767 -0.04478 -0.03896 -0.04187 β2 0.309802 0.871831 0.871237 0.871534 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 0.056372 0.021345 0.021495 0.02142 （注：計(jì)算平均值時(shí)舍去第一組的壞值） 2.測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 塔輪半徑r=40mm 圓環(huán)外徑215mm 內(nèi)徑175mm 質(zhì)量995g 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 1.692 2.270 1.861 11π 8.799 9.726 9.136 2π 2.851 3.486 3.083 12π 9.334 10.306 9.679 3π 3.793 4.487 4.049 13π 9.871 10.887 10.219 4π 4.606 5.338 4.886 14π 10.408 11.470 10.765 5π 5.334 6.092 5.625 15π 10.948 12.055 11.307 6π 5.999 6.777 6.304 16π 11.488 12.642 11.856 7π 6.615 7.408 6.926 17π 12.030 13.230 12.401 8π 7.190 7.996 7.512 18π 12.573 13.820 12.953 9π 7.733 8.571 8.059 19π 13.117 14.412 13.501 10π 8.265 9.148 8.599 20π 13.663 15.005 14.056 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.0281 -0.01449 -0.02165 -0.02141 β2 0.595649 0.594404 0.587209 0.592421 J盤＋環(huán) 0.031346 0.032111 0.032114 0.031857 J環(huán) 0.010346 0.011111 0.011114 0.010857 環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為0.009702，誤差為11.9% 3.驗(yàn)證平行軸定理（圓柱體直徑38mm 質(zhì)量2400g） （1）D=40mm 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 1.341 1.533 1.496 11π 7.516 7.893 7.636 2π 2.299 2.551 2.510 12π 8.030 8.418 8.098 3π 3.086 3.370 3.322 13π 8.547 8.944 8.557 4π 3.772 4.076 4.029 14π 9.065 9.473 9.021 5π 4.387 4.706 4.655 15π 9.584 10.003 9.482 6π 4.950 5.281 5.230 16π 10.106 10.535 9.948 7π 5.472 5.811 5.758 17π 10.628 11.069 10.412 8π 5.981 6.329 6.256 18π 11.153 11.605 10.881 9π 6.491 6.849 6.721 19π 11.679 12.143 11.347 10π 7.003 7.370 7.180 20π 12.207 12.682 11.819 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.03732 -0.03802 -0.03044 -0.03526 β2 0.808547 0.80822 0.80362 0.806795 J盤＋圓柱 0.023095 0.023085 0.023423 0.023201 J圓柱 0.002095 0.002085 0.002423 0.002201 圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為0.0014244，百分誤差為54.51% （2）D=80mm 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 1.542 1.295 1.507 11π 8.186 7.660 8.052 2π 2.608 2.266 2.570 12π 8.711 8.127 8.549 3π 3.478 3.088 3.430 13π 9.238 8.690 9.043 4π 4.230 3.804 4.182 14π 9.767 9.205 9.543 5π 4.903 4.455 4.85 15π 10.297 9.727 10.04 6π 5.517 5.049 6.466 16π 10.829 10.245 10.543 7π 6.086 5.606 6.032 17π 11.363 10.770 11.043 8π 6.619 6.125 6.567 18π 11.898 11.291 11.549 9π 7.140 6.637 7.066 19π 12.436 11.819 12.051 10π 7.662 7.145 7.56 20π 12.974 12.344 12.56 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.02111 -0.0757 -0.03212 -0.04298 β2 0.692934 0.694456 0.110242 0.49921 J盤＋圓柱 0.027372 0.025377 0.137619 0.036076 J圓柱 0.006372 0.004377 0.116619 0.005374 圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為0.0052644，百分誤差為2.09% （3）D=120mm 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 2.075 1.975 1.936 11π 9.647 9.497 9.421 2π 3.361 3.240 3.192 12π 10.209 10.059 9.980 3π 4.372 4.240 4.186 13π 10.768 10.617 10.536 4π 5.244 5.106 5.047 14π 11.333 11.183 11.098 5π 6.011 5.869 5.807 15π 11.895 11.745 11.656 6π 6.715 6.570 6.506 16π 12.464 12.314 12.222 7π 7.360 7.213 7.146 17π 13.029 12.879 12.784 8π 7.967 7.818 7.749 18π 13.601 13.451 13.352 9π 8.533 8.383 8.312 19π 14.170 14.019 13.918 10π 9.092 8.942 8.869 20π 14.745 14.594 14.490 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.02364 -0.02364 -0.02162 -0.02297 β2 0.555731 0.554405 0.556405 0.555514 J盤＋圓柱 0.033753 0.03383 0.033832 0.033805 J圓柱 0.012753 0.01283 0.012832 0.012805 圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量理論值為0.01167，百分誤差為9.73% 根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以計(jì)算出通過圓柱體對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0=0.00288.由之前的計(jì)算結(jié)果可以當(dāng)D=40mm，J=0.00220083，因此可以計(jì)算得J+MD^2=0.000288 根據(jù)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式，計(jì)算其理論值為0.000221 誤差為2.4%，在誤差范圍內(nèi)，因此可以驗(yàn)證平行軸定理 4.驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān) 塔輪半徑r=50mm 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 數(shù)據(jù) 第一組 第二組 第三組 1π 1.043 1.515 1.093 11π 6.229 7.117 6.357 2π 1.832 2.443 1.904 12π 6.666 7.573 6.798 3π 2.485 3.169 2.570 13π 7.100 8.026 7.236 4π 3.063 3.795 3.158 14π 7.539 8.484 7.679 5π 3.580 4.345 3.681 15π 7.974 8.939 8.119 6π 4.059 4.850 4.165 16π 8.415 9.400 8.564 7π 4.500 5.312 4.611 17π 8.853 9.857 9.007 8π 4.933 5.763 5.048 18π 9.296 10.320 9.454 9π 5.362 6.212 5.482 19π 9.736 10.780 9.898 10π 5.797 6.666 5.921 20π 10.181 11.245 10.348 數(shù)據(jù)處理 第一組 第二組 第三組 平均值 β1 -0.02287 -0.02868 -0.02424 -0.02527 β2 1.081058 1.085056 1.075912 1.080675 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 0.022132 0.021937 0.022208 0.022093 實(shí)驗(yàn)誤差 3.14% 由此可知在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與外力矩?zé)o關(guān) 【實(shí)驗(yàn)分析與討論】 1.誤差分析 此實(shí)驗(yàn)誤差較大，可能以下原因： 1.實(shí)驗(yàn)設(shè)施較為簡(jiǎn)陋，各剛體的尺寸以及質(zhì)量有一定的不準(zhǔn)確性 2.實(shí)驗(yàn)時(shí)纏繞細(xì)線的松緊度不同，討論認(rèn)為這會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定的影響 3.因塔輪每個(gè)槽處都有一定的寬度，所以在砝碼下落過程中細(xì)線并非時(shí)刻保持水平 4.細(xì)線和塔輪以及細(xì)線和滑輪之間存在摩擦 5.每次釋放時(shí)砝碼不完全靜止且每次的釋放高度可能不相同 6.釋放時(shí)剛體可能獲得了一定的初速度 2.實(shí)驗(yàn)思考 若在圓盤中心放置一個(gè)圓柱，怎么根據(jù)已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推算出此時(shí)圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)值？并與理論值比較。 由平行軸定理可知，剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上MD^2,由已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，可以計(jì)算MD^2的值，帶入公式J=J0+MD^2,可以計(jì)算出J0=0.000221.與理論值的實(shí)驗(yàn)誤差僅為2.4% 7