2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第20講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文

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1、第20講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.[2016·全國卷Ⅰ] 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.[2017·全

2、國卷Ⅲ] 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt(t為參數(shù)),直線l2 的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點為P,當(dāng)k變化時,P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M為l3與C的交點,求M的極徑. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 (1)利用x=ρcosθ,y=ρsin

3、θ以及ρ2=x2+y2可將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化. (2)化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參,可以利用加減消元法、平方消元法、代入法等.在參數(shù)方程與普通方程的互化過程中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致. (3)解決極坐標(biāo)問題的一般思路: ①將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,再根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo); ②在對極坐標(biāo)的意義和應(yīng)用不太熟悉的時候,可將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出交點坐標(biāo),再將其化為極坐標(biāo). (4)解決坐標(biāo)系與參數(shù)方程中求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,一般方法是先分別化為普通方程或直角坐標(biāo)方程后再求解,也可直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解,解題時要結(jié)合題目自身特點

4、,靈活選擇方程的類型. 解答1極坐標(biāo)與簡單曲線的極坐標(biāo)方程 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x+3y=53,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ. (1)求直線l的極坐標(biāo)方程和圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)射線OP:θ=π6(ρ≥0)與圓C的交點為O,A,與直線l的交點為B,求線段AB的長. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【考場點撥】 將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時,只要運用公式x=ρ

5、cosθ及y=ρsinθ,直接代入并化簡即可; 將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時,常用極坐標(biāo)方程兩邊同乘(或同除以)ρ,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρsinθ,ρcosθ,ρ2的形式,然后利用公式代換化簡得到直角坐標(biāo)方程. 【自我檢測】 以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2=161+3cos2θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)曲線C與x軸正半軸及y軸正半軸交于點M,N,在第一象限內(nèi)任取曲線C上一點P,求四邊形OMPN面積的最大值. 解答2簡單曲線的參數(shù)方程 2 已知曲線C的極坐標(biāo)方程

6、是ρ-4sinθ=0,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l過點M(1,0),傾斜角為3π4. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求|MA|+|MB|的值. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中直線參數(shù)方程問題的注意點: (1)利用直線的參數(shù)方程x=x0+tcosθ,y=y0+tsinθ(t為參數(shù))中參數(shù)的幾何意義求解時,若A,B為直線上兩點,其對應(yīng)的參數(shù)分

7、別為t1,t2,線段AB的中點為M,點M所對應(yīng)的參數(shù)為t0,P(x0,y0),則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到:①t0=t1+t22;②|AB|=|t2-t1|;③|PA|·|PB|=|t1·t2|. (2)用參數(shù)方程的幾何意義解題時,參數(shù)方程必須是標(biāo)準(zhǔn)形式,即滿足參數(shù)t前面的系數(shù)的平方和等于1,否則會出現(xiàn)錯誤. 【自我檢測】 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosθ,y=3+tsinθ,t為參數(shù),θ∈[0,π).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ+π6. (1)求圓C的圓心的直角坐標(biāo); (2)設(shè)點P(1,3),若直線l

8、與圓C交于A,B兩點,求證:|PA|·|PB|為定值,并求出該定值. 解答3極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 3 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=3cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ(cosθ-sinθ)=4. (1)寫出曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若曲線C1上有一動點M,曲線C2上有一動點N,求|MN|最小時M點的坐標(biāo). [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】

9、 高考中利用參數(shù)解題的幾點應(yīng)用: (1)在圓錐曲線截直線的弦長問題中的應(yīng)用.這類問題通常是過某一定點作一直線與圓錐曲線相交于A,B兩點,所求問題與定點到A,B兩點的距離有關(guān),主要利用定點在直線AB上以及參數(shù)t的幾何意義,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進行處理. (2)解決中點問題.可利用t0=t1+t22結(jié)合t的幾何意義去解決. (3)與直線有關(guān)的最值、范圍問題.這類問題主要是線段的兩個端點在圓錐曲線上,求相應(yīng)的最大值和最小值問題.解決此類問題時可以先利用參數(shù)方程中的參數(shù)去表示,然后利用三角函數(shù)的相關(guān)知識求解. 【自我檢測】 以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,并

10、在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cosθ=0,曲線C2的參數(shù)方程為x=-1+2cosφ,y=2sinφ(φ為參數(shù)). (1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及曲線C2的普通方程; (2)已知點P12,0,直線l的參數(shù)方程為x=12+22t,y=22t(t為參數(shù)),設(shè)直線l與曲線C1 交于M,N兩點,求1|PM|+1|PN|的值. 模塊七　選考模塊 第20講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 典型真題研析 1.解:(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普

11、通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ. 若ρ≠0,則由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2, 可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當(dāng)a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上, 所以a=1. 2.解:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=1k(x+2). 設(shè)P(x,y),由題設(shè)得y=k(x-2),y

12、=1k(x+2),消去k得x2-y2=4(y≠0), 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,ρ(cosθ+sinθ)-2=0,得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ). 故tanθ=-13,從而cos2θ=910,sin2θ=110. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交點M的極徑為5. 考點考法探究 解答1 例1　解:(1)在x+3y=53中,令x=ρcosθ,y=ρsinθ, 得ρcosθ+3ρsinθ=53,

13、化簡得2ρsinθ+π6=53, 即為直線l的極坐標(biāo)方程. 由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ,又ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,所以x2+y2=4y, 即x2+(y-2)2=4,即為圓C的直角坐標(biāo)方程. (2)由題知ρA=4sinπ6=2, ρB=532sin(π6+π6)=5, 所以|AB|=|ρA-ρB|=3. 【自我檢測】 解:(1)ρ2=161+3cos2θ可變形為ρ2+3ρ2cos2θ=16, 又∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x, ∴x2+y2+3x2=16, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+y216=1. (2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0

14、,4),設(shè)P(2cosα,4sinα),α∈0,π2, 則S四邊形OMPN=S△OMP+S△ONP=12×2×4sinα+12×4×2cosα=4sinα+4cosα=42sinα+π4, 由α∈0,π2,得α+π4∈π4,3π4, 于是42sinα+π4≤42,當(dāng)且僅當(dāng)α+π4=π2,即α=π4時取等號, ∴四邊形OMPN面積的最大值為42. 解答2 例2　解:(1)因為ρ-4sinθ=0,所以ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4y,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4. 直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos3π4,y=tsin3π4(t為參數(shù)), 即x=1-2

15、2t,y=22t(t為參數(shù)). (2)設(shè)點A,B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2, 將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得1-22t2+22t-22=4, 整理得t2-32t+1=0,所以t1+t2=32,t1·t2=1, 所以t1>0,t2>0, 所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32. 【自我檢測】 解:(1)由ρ=8sinθ+π6得ρ2=43ρsinθ+4ρcosθ,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x-43y=0,圓心C的坐標(biāo)為(2,23). (2) 證明:將x=1+tcosθ,y=3+tsinθ代入x2+y2-4x-43y=0, 整理得t2

16、-(23sinθ+2cosθ)t-12=0, 設(shè)點A,B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2=-12, ∵P(1,3),∴|PA|·|PB|=|t1t2|=12,為定值. 解答3 例3　解:(1)由題知曲線C1的普通方程為x29+y2=1. 由ρ(cosθ-sinθ)=4及x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為x-y-4=0. (2)設(shè)M(3cosα,sinα),結(jié)合圖像可知,|MN|的最小值即為點M到直線C2的距離的最小值. ∵點M到直線C2的距離d=|3cosα-sinα-4|2=|10cos(α+φ)-4|2,其中tanφ=13, ∴當(dāng)cos(α+φ)=

17、1時,d最小,即|MN|最小. 此時,3cosα-sinα=10,結(jié)合sin2α+cos2α=1可得cosα=31010,sinα=-1010. 即此時M點的坐標(biāo)為91010,-1010. 【自我檢測】 解:(1)因為ρsin2θ-4cosθ=0, 所以ρ2sin2θ-4ρcosθ=0,所以y2=4x,即曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2=4x. 因為x=-1+2cosφ,y=2sinφ,所以(x+1)2+y2=4,即曲線C2的普通方程為(x+1)2+y2=4. (2)將直線l的參數(shù)方程x=12+22t,y=22t代入y2=4x,整理得t2-42t-4=0, 設(shè)M,N兩點對應(yīng)的參數(shù)分

18、別為t1,t2, 則t1+t2=42,t1t2=-4, 所以1|PM|+1|PN|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1-t2||t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2|t1t2|=3. [備選理由] 在解決取值范圍問題時常用三角函數(shù),備用例1是對例3應(yīng)用的一個補充. 例1　[配例3使用] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點P(-3,0),其傾斜角為α,以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-3=0. (1)若直線l與曲線C有公共點,求傾斜角α的取值范圍;

19、 (2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍. 解:(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2-2ρcosθ-3=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-3=0, 直線l的參數(shù)方程為x=-3+tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)), 將直線l的參數(shù)方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcosα+12=0, ∵直線l與曲線C有公共點,∴Δ=64cos2α-48≥0, ∴cosα≥32或cosα≤-32,又∵α∈[0,π), ∴α的取值范圍是0,π6∪5π6,π. (2)曲線C的直角坐標(biāo)方程x2+y2-2x-3=0可化為(x-1)2+y2=4, 其參數(shù)方程為x=1+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)). ∵M(x,y)為曲線C上任意一點, ∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+22sinθ+π4, ∴x+y的取值范圍是[1-22,1+22]. 9