（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版

《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第6節(jié)　幾何概型 最新考綱　1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；2.了解幾何概型的意義. 知 識(shí) 梳 理 1.幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，滿足上述條件的試驗(yàn)稱為幾何概型. 2.幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)＝，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是無限

2、的，古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，前者概率的計(jì)算與基本事件的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)的大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(　　) (2)從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.(　　) (3)概率為0的事件一定是不可能事件.(　　) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材練習(xí)改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放

3、穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤是(　　) 解析　如題干選項(xiàng)中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案　A 3.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為＝. 答案　B 4.(2018·臨沂質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)

4、中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)度不大于1的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸). 故所求概率P＝＝. 答案　B 5.(2018·合肥質(zhì)檢)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C的方程為x2－y＝0)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) A.5 000 B.6 667 C.7 500 D.7 854 解析　S陰影＝S正方形－x2dx＝1－＝， 所以有＝＝，解得n≈6 6

5、67. 答案　B 考點(diǎn)一　與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型 【例1】 (1)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. (2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為________. 解析　(1)如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或

6、DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝. (2)以A為圓心，以AD＝1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C′，P′，B′. 依題意，點(diǎn)P′在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P′在上發(fā)生”. 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝. 故所求事件的概率P＝＝＝. 答案　(1)B　(2) 規(guī)律方法　1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置. 2.(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測(cè)度

7、”計(jì)算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯(cuò)求P＝. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度量來計(jì)算概率.事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比. 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4，5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________. (2)(2018·西安調(diào)研)在區(qū)間[－1，1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________. 解析　(1)由6＋x－x2≥0，得－2≤x≤3，即D＝[－2，3]. 故所求事件的概率P＝＝.

8、 (2)直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交的充要條件是圓心(5，0)到直線y＝kx的距離小于3. 則＜3，解得－＜k＜. 故所求事件的概率P＝＝. 答案　(1)　(2) 考點(diǎn)二　與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究) 命題角度1　與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型 【例2－1】 (2017·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則面積S正方形＝4. 又正方形內(nèi)切圓的面積S＝π×1

9、2＝π. 所以根據(jù)對(duì)稱性，黑色部分的面積S黑＝. 由幾何概型的概率公式，概率P＝＝. 答案　B 命題角度2　與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 【例2－2】 由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2，若在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為________. 解析　如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C. 由幾何概型的概率公式，所求概率 P＝＝＝. 答案　 命題角度3　與定積分有關(guān)的幾何概型 【例2－3】 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在

10、矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于________. 解析　由題意知，陰影部分的面積S＝(4－x2)dx＝|＝， 所以所求概率P＝＝＝. 答案　 規(guī)律方法　1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合. 2.解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解. 【訓(xùn)練2】 (1)(2016·全國(guó)Ⅱ卷)從區(qū)間[0，1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平

11、方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. (2)(2018·石家莊調(diào)研)在滿足不等式組的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事件A＝“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計(jì)算公式知P＝＝＝，又P＝，所以＝，故π＝. (2)作出不等式組 表示的平面區(qū)域(即△ABC)，其

12、面積為4.事件A＝“y0＜2x0”表示的區(qū)域?yàn)椤鰽OC，其面積為3. 所以事件A發(fā)生的概率是. 答案　(1)C　(2)B 考點(diǎn)三　與體積有關(guān)的幾何概型 【例3】 (1)(2018·深圳模擬)一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為(　　) A. B. C. D. (2)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　(1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為

13、以這個(gè)正方體的中心為中心，且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi). 這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為P＝. (2)由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時(shí)，滿足VP－ABC

14、體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于的概率為________. 解析　設(shè)四棱錐M－ABCD的高為h，由于S正方形ABCD＝1，V正方體＝1，且S正方形ABCD<. ∴h<，則點(diǎn)M在正方體的下半部分，故所求事件的概率P＝＝. 答案　 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1.為了測(cè)量某陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計(jì)陰影部分的面積是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由投擲的點(diǎn)落在陰影

15、部分的個(gè)數(shù)與投擲的點(diǎn)的個(gè)數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案　B 2.如圖，“天宮一號(hào)”運(yùn)行的軌跡是如圖的兩個(gè)類同心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行過程中，則點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為π(32－22)＝5π；圓環(huán)總面積為π(42－22)＝12π，所以點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為P＝＝. 答案　B 3.(2018·濰坊一中質(zhì)檢)在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“－1≤l

16、og≤1”發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2， 解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的 概率為＝，故選A. 答案　A 4.(2018·成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　∵大正方形的面積是34，∴大正方形的邊長(zhǎng)是，由直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長(zhǎng)為2，面積為4，∴小花朵落在小正方形

17、內(nèi)的概率為P＝＝. 答案　B 5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝＝＝. 故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－＝. 答案　B 6.(2018·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[0，e]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B.1－ C. D. 解析　當(dāng)0≤x<1時(shí)，恒有f(x)＝ex

18、 x＋e.由ln x＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率P＝＝1－. 答案　B 7.已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)，則取到的點(diǎn)位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，根據(jù)圖形的對(duì)稱性知，直線y＝kx將其面積平分，如圖，故所求概率為. 答案　A 8.(2018·福州調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A.

19、 B. C. D. 解析　因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，B(1，0)且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直線y＝x＋1和y＝－x＋1上， 所以C(1，2)，D(－2，2)，E(0，1)，則A(－2，0). 因此S矩形ABCD＝6，S陰影＝×1·|CD|＝. 由幾何概型，所求事件的概率P＝＝. 答案　B 二、填空題 9.在區(qū)間[－2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí)，由題意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去. 當(dāng)2＜m＜4時(shí)，由題意得＝，解得m＝3. 答案　3 10.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－

20、A1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐A－A1BD內(nèi)的概率為________. 解析　因?yàn)閂A－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V長(zhǎng)方體，故所求概率為＝. 答案　 11.(2018·河南六市聯(lián)考)在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足y≤x2的概率為________. 解析　不等式組表示的平面區(qū)域的面積為2×4＝8， 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為S；則S＝x2dx＝x3＝，因此所求的概率為＝. 答案　 12.在區(qū)間[0，5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x2

21、＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根的概率為________. 解析　設(shè)方程x2＋2px＋3p－2＝0的兩負(fù)根為x1，x2， 則解得2. 又因?yàn)閜∈[0，5]，得p∈∪(2，5]， 故所求概率為＝. 答案　 能力提升題組 (建議用時(shí)：10分鐘) 13.(2018·西北工大附中調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋π B.＋ C.－ D.－ 解析　由|z|≤1得(x－1)2＋y2≤1，由題意作圖如圖所示，則滿足條件的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分， ∴y≥x的概率為＝－. 答案　D 14.在區(qū)間[0，

22、1]上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b2無零點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. ∵a，b∈[0，1]，a＋2b>0， ∴a－2b<0. 作出的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點(diǎn)的概率P＝＝. 答案　C 15.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)， D(－1，1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是________. 解析　正方形內(nèi)空白部分面積為[x2－(－x2)]dx＝2x2dx＝·x3|＝－＝， 陰影部分面積為2×2－＝， 所以所求概率為＝. 答案　 16.小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________. 解析　∵去看電影的概率P1＝＝， 去打籃球的概率P2＝＝， ∴不在家看書的概率為P＝＋＝. 答案　 13