2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課下層級(jí)訓(xùn)練23 應(yīng)用舉例（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 課下層級(jí)訓(xùn)練23 應(yīng)用舉例（含解析）文 新人教A版 1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10°　　　　　 B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° D　[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.] 2．(2019·湖北十堰調(diào)研)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120

2、°，則A，C兩地間的距離為(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km D　[ 如圖所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.] 3.(2019·河南鄭州月考)如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝，所以BC＝1

3、5. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.] 4．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile A　[畫出示意圖如圖所示， 易知，在△ABC中，AB＝20 n mile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10 n mile.] 5.如圖，兩座相

4、距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m,50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．75° B　[依題意可得AD＝20，AC＝30， 又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.] 6．輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時(shí)兩船之間的距離是__________n

5、mile. 70　[設(shè)兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d＝70，即兩船相距70 n mile.] 7．一船以每小時(shí)15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為__________km. 30　[如圖所示， 依題意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．] 8．(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直

6、線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車的速度為__________ m/s(精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.236. 22．6　[由題意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，則BC＝100≈141.4×2.236，又歷時(shí)14 s，所以速度為≈22.6 m/s.] 9．(2019·山西監(jiān)測(cè))如圖，點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6. 現(xiàn)要在點(diǎn)C處搭建一個(gè)觀測(cè)站CD

7、，點(diǎn)D在頂端． (1)原計(jì)劃CD為鉛垂線方向，α＝45°，求CD的長(zhǎng)； (2)搭建完成后，發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差，并測(cè)得β＝30°，α＝53°，求CD2.(結(jié)果精確到1) (本題參考數(shù)據(jù)：sin 97°≈1，cos 53°≈0.6) 解　(1)∵CD為鉛垂線方向，點(diǎn)D在頂端， ∴CD⊥AB． 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4. (2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°， ∴由＝得 AD＝＝＝≈5. 在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos α ＝52＋42－2×5×4×c

8、os 53°≈17. 10.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100 m和BN＝200 m，一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測(cè)量tan θ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離． 解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， ∴PM＝100，在△PQM中，∠QPM＝60°， 又PQ＝100，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝100. 在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝

9、200. 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝100，cos θ＝. 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ ＝(100)2，∴BA＝100. 即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100 m. [B級(jí)　能力提升訓(xùn)練] 11．(2019·廣東廣州調(diào)研)如圖所示長(zhǎng)為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α等于(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． A　[由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1.4

10、m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.] 12.(2019·湖北武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為(　　) A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h B　[記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)

11、后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根據(jù)余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為－＝15(h)．] 13.(2018·福建泉州模擬)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD．已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50 m，則該扇形的半徑為__________ m. 50　[如圖，連接OC，在△

12、OCD中，OD＝100， CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得 OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500， 解得OC＝50.] 14．如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_________m.(取＝1.4，＝1.7) 2 650　[如圖，作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．

13、 又在△ABC中，＝， ∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)． ∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC ＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350. 故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10 000－7 350＝2 650(m)．] 15.如圖所示，在一條海防警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到點(diǎn)A的距離分別為20 km和50 km.某時(shí)刻，B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8 s后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s. (1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值； (2)求靜止目標(biāo)P到

14、海防警戒線AC的距離． 解　(1)依題意，有PA＝PC＝x， PB＝x－1.5×8＝x－12. 在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝. 同理，在△PAC中，AC＝50， cos∠PAC＝＝＝. 因?yàn)閏os∠PAB＝cos∠PAC， 所以＝，解得x＝31. (2)作PD⊥AC于點(diǎn)D，在△ADP中，由cos∠PAD＝， 得sin∠PAD＝＝， 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)． 故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為4 km. 16．某高速公路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100 m的32樓陽(yáng)臺(tái)A處，用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)路上的車輛，上午11時(shí)測(cè)得一客車位于

15、樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10 s后測(cè)得該客車位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處．(假設(shè)客車勻速行駛) (1)如果此高速路段限速80 km/h，試問該客車是否超速？ (2)又經(jīng)過一段時(shí)間后，客車到達(dá)樓房的正西方向E處，問此時(shí)客車距離樓房多遠(yuǎn)？ 解　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m， 則BC＝100 m. 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100 m， 則BD＝100 m. 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 則DC＝＝200 m， 所以客車的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h， 所以該客車沒有超速． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又因?yàn)椤螪BE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝50 m， 即此時(shí)客車距樓房50 m.