2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 課堂達(dá)標(biāo)53 古典概型 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 課堂達(dá)標(biāo)53 古典概型 文 新人教版 1．(2018·蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．則向量p與q共線的概率為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　 D. [解析]　由題意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的個(gè)數(shù)＝6×6＝36. 若p∥q，則6m－3n＝0，得到n＝2m.滿足此條件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三個(gè)基本事件．因此向量p與q共線的概率為P＝＝. [答案]　D 2．從2名男生和2名女生中任意

2、選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2 4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝，故選A. [答案]　A 3．(2017·課標(biāo)Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨

3、機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù) 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3

4、) (5,4) (5,5) 總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種所以所求概率為＝. [答案]　D 4．(2018·哈爾濱模擬)設(shè)a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2]上有零點(diǎn)的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　D. [解析]　已知f′(x)＝3x2＋a>0， 所以f(x)在R上遞增，若f(x)在[1,2]上有零點(diǎn)， 則需經(jīng)驗(yàn)證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對(duì)滿足條件，而總的情況有16種，故所求

5、概率為. [答案]　C 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閃，從W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，則點(diǎn)M位于第二象限的概率為(　　) A. B. C．1－ D．1－ [解析]　畫出平面區(qū)域，列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如下： (－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12個(gè)，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2個(gè)，所以所求概率P＝. [答案]　A 6．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，那么直線＋＝1的斜率k≥－的概率

6、為(　　) A.　　 B. C.　　　D. [解析]　記a，b的取值為數(shù)對(duì)(a，b)，由題意知a，b的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36種．由直線＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么滿足題意的a，b可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9種，所以所求概率為＝. [答案]　D 7

7、．將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)的概率為______． [解析]　依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點(diǎn)數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，即滿足≤，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝. [答案]　 8．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率為_____

8、_． [解析]　因?yàn)?m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其為實(shí)數(shù)，須n2－m2，即m＝n.由已知得，事件的總數(shù)為36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6個(gè)，所以所求概率為P＝＝. [答案]　 9．(2018·宣武模擬)曲線C的方程為＋＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，事件A＝“方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝__________. [解析]　試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36；若想表示橢圓，由m>n，有(2,1)，(3,1)，…(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)

9、＝＝. [答案]　 10．(2018·太原模擬)某工廠對(duì)一批共50件的機(jī)器零件進(jìn)行分類檢測，其重量(克)統(tǒng)計(jì)如下： 重量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 件數(shù) 5 m 12 n 規(guī)定重量在82克及以下的為甲型，重量在85克及以上的為乙型，已知該批零件有甲型2件． (1)從該批零件中任選1件，若選出的零件重量在[95,100]內(nèi)的概率為0.26，求m的值． (2)從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，求其中恰有1件為甲型的概率． [解]　(1)由題意可得n＝0.26×50＝13， 則m＝50－5－12－13＝20.

10、(2)設(shè)“從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，其中恰有1件為甲型”為事件A，記這5件零件分別為a，b，c，d，e，其中甲型為a，b. 從這5件零件中任選2件，所有可能的情況為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10種． 其中恰有1件為甲型的情況有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6種．所以P(A)＝＝. 即從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，其中恰有1件為甲型的概率為. [B能力提升練] 1．(2018·太原二模)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)，與向量b＝(1,0)的夾角為α，則α∈的概率為(　　) A

11、.　　 B. C.　　　D. [解析]　法一：依題意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個(gè))，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈，即n＜m的(m，n)可根據(jù)n的具體取值進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，當(dāng)n＝1時(shí)，m有5個(gè)不同的取值；第二類，當(dāng)n＝2時(shí)，m有4個(gè)不同的取值；第三類，當(dāng)n＝3時(shí)，m有3個(gè)不同的取值；第四類，當(dāng)n＝4時(shí)，m有2個(gè)不同的取值；第五類，當(dāng)n＝5時(shí)，m有1個(gè)取值， 因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))，所以所求概率為＝. 法二：依題意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個(gè))，其中滿

12、足向量a＝(m，n) 與向量b＝(1,0)的夾角α∈，即n＜m的向量a＝(m，n)有＝15(個(gè))，所以所求概率為＝. [答案]　B 2．(2018·江南十校聯(lián)考)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定義映射f：M→N，則從中任取一個(gè)映射滿足自由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}， ∴映射f：M→N有43＝64種， ∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))， C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝B

13、C， ∴f(1)＝f(3)≠f(2)， ∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇， ∴從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))， B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種， ∴所求概率為＝. [答案]　C 3．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39、32、33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，他屬于至少2個(gè)小組的概率是____，他屬于不超過2個(gè)小組的概率是____． [解析]　“至少2個(gè)小組”包含“2個(gè)小組”和“3個(gè)小組”兩種情況，故他屬于至少2個(gè)小組的

14、概率為P＝＝. “不超過2個(gè)小組”包含“1個(gè)小組”和“2個(gè)小組”，其對(duì)立事件是“3個(gè)小組”． 故他屬于不超過2個(gè)小組的概率是P＝1－＝. [答案]?。? 4．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學(xué)成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為______． [解析]　從這7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名， 所以可能的結(jié)果組成的12個(gè)基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(

15、A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． 設(shè)“A1和B1不全被選中”為事件N， 則其對(duì)立事件表示“A1和B1全被選中”， 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}， 所以P()＝＝， 由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. [答案]　 5．一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(

16、c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． [解析]　(1)因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件(b，c)： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個(gè)． 當(dāng)z＝4時(shí)，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)， 所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0， 即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c

17、＝0， 即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0， 即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0， 即4b＋c＝16，所以由①②③④知， (b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. [C尖子生專練] (2018·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)最新高考改革方案已在上海和江蘇開始實(shí)施，某教育機(jī)構(gòu)為了解我省廣大師生對(duì)新高考改革方案的看法，對(duì)某市部分學(xué)校500名師生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下： 贊成改革 不贊成改革 無所謂 教師 120 y 40 學(xué)生 x z 130

18、在全體師生中隨機(jī)抽取1名“贊成改革”的人是學(xué)生的概率為0.3，且z＝2y. (1)現(xiàn)從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“不贊成改革”的教師和學(xué)生人數(shù)各是多少？ (2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機(jī)選出三人進(jìn)行座談，求至少有一名教師被選出的概率． [解]　(1) 由題意知＝0.3，∴x＝150，所以y＋z＝60，因?yàn)閦＝2y，所以y＝20，z＝40，則應(yīng)抽取教師人數(shù)×20＝2，應(yīng)抽取學(xué)生人數(shù)×40＝4. (2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a，b,4名學(xué)生記為1,2,3,4，隨機(jī)選出三人的不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a

19、，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20種， 至少有一名教師的選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)共16種，至少有一名教師被選出的概率P＝＝.