2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法講義（含解析）新人教A版選修4-5

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法講義（含解析）新人教A版選修4-51反證法(1)反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不成立，從而證明原命題成立(2)反證法證明不等式的一般步驟： 假設(shè)命題不成立；依據(jù)假設(shè)推理論證；推出矛盾以說明假設(shè)不成立，從而斷定原命題成立2放縮法(1)放縮法證明的定義：證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的(2)放縮法的理論

2、依據(jù)有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量；同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較利用反證法證明問題例1已知f(x)x2pxq.求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.思路點撥“至少有一個”的反面是“一個也沒有”證明(1)f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則|f(1)|2|f(2)|f(3)|1,4b(1c)1,4c(1d)1，4d(1a)1，則有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.將上面各式相加得22，

3、矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)這四個數(shù)不可能都大于1.3已知函數(shù)yf(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求證：ab.證明：假設(shè)ab.當(dāng)ab時，ab則有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾當(dāng)ab時，af(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)與已知矛盾故假設(shè)不成立故a(xyz)思路點撥解答本題可對根號內(nèi)的式子進行配方后再用放縮法證明證明 x.同理可得 y，z，由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加得：(xyz)(1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不

4、等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失敗(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負(fù)項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的4已知a，b是正實數(shù)，且ab1，求證：.證明：因為，所以原不等式得證5已知nN，求證：2.證明：因為，所以n2n，又因為n2n6，a，b，c均小于0，a2，b2，c2，abc6，這與假設(shè)矛盾，則選C.5M與1的大小關(guān)系為_解析：M1，即M1.共210項答案：M1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)證明：假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)由abcd1，知a，b，c，d0,1從而ac，bd.acbd1.即acbd1.與已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)9求證：2.證明：因為，所以1122.10已知， 且sin()2sin .求證，則sin cos cos sin 2sin ，所以cos sin (2cos )sin ，即.因為，且，所以sin sin .從而1，即cos 2cos ，即cos cos 2，這是不可能的，所以不成立由可知假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立