2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率 第三節(jié) 幾何概型課時(shí)作業(yè) 1．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：因?yàn)閘og0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即

2、“小明上學(xué)時(shí)到十字路口需要等待的時(shí)間不少于20秒”為事件A，則P(A)＝＝，選D. 答案：D 3．在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正方體各面的距離都不小于1的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：正方體中到各面的距離都不小于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)中心與原正方體中心重合，且棱長(zhǎng)為1的正方體，該正方體的體積是V1＝13＝1，而原正方體的體積為V＝33＝27，故所求的概率P＝＝. 答案：A 4．已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A. B． C. D． 解析：由已知，點(diǎn)

3、P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB2＝(AB)2＋AD2，解得()2＝，即＝，故選D. 答案：D 5．(2018·武漢市調(diào)研)在長(zhǎng)為16 cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP，NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60?x2－16x＋60<0，(x－6)(x－10)<0?6

4、x的值介于與之間的x∈∪，區(qū)間長(zhǎng)度為，由幾何概型概率公式得P＝＝. 答案：D 7．為了測(cè)量某陰影部分的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計(jì)陰影部分的面積是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由投擲的點(diǎn)落在陰影部分的個(gè)數(shù)與投擲的點(diǎn)的個(gè)數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為9×＝3. 答案：B 8.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖像上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　)

5、 A. B． C. D． 解析：因?yàn)閒(x)＝B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影部分的面積為×3×1＝，故P＝＝. 答案：B 9．(2017·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(　　) A. B． C. D． 解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)椋?＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝＝，故選C. 答案：C 10．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R

6、)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B．＋ C.－ D．－ 解析：復(fù)數(shù)|z|≤1對(duì)應(yīng)的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－×1×1＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－，故選D. 答案：D 11．(2017·鄭州模擬)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________． 解析：作出不等式組與不等式表示的可行域如圖所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝

7、，故所求概率P＝＝. 答案： 12．在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析：由幾何概型知＝，解得m＝3. 答案：3 13．利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________． 解析：由題意知0≤a≤1，事件“3a－1>0”發(fā)生時(shí)，a>且a≤1，取區(qū)間長(zhǎng)度為測(cè)度，由幾何概型的概率公式得其概率P＝＝. 答案： 14．若在區(qū)間[－4,4]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)m，在區(qū)間[－2,3]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)n，則使得方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為________． 解析：∵

8、方程x2＋2mx－n2＋4＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，即(2m)2－4(－n2＋4)>0，m2＋n2>4，總的事件的集合Ω＝{(m，n)|－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴Ω所表示的平面區(qū)域(如圖中矩形)的面積S＝8×5＝40，而滿足條件的事件的集合是{(m，n)|m2＋n2>4，－4≤m≤4，－2≤n≤3}，∴圖中陰影部分的面積S′＝40－π×22＝40－4π，由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求事件的概率P＝＝＝1－. 答案：1－ B組——能力提升練 1．在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為(　　) A. B．

9、 C. D． 解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>0且x＝≤1，即，可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由，解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，可知所求的概率為＝，故選B. 答案：B 2．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：建立如圖所示的平面直角坐

10、標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD及其內(nèi)部．要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，則必須有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 答案：B 3．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) A.－　　　　　　 B. C．1－ D． 解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個(gè)以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π·()2－×()2]＝，兩個(gè)半圓外部的陰影部分的面積為πr2－[π()2×2－]＝，所以所求概率為＝1－. 答案

11、：C 4．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則(　　) A．p1，則p1<

12、 A. B． C. D． 解析：設(shè)矩形長(zhǎng)為x，寬為y，則＝，y＝a－x，S矩形＝xy＝x(a－x)≤2＝，其概率的最大值為＝.故選A. 答案：A 6.把半徑為2的圓分成相等的四段弧，再將四段弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi)，現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為 (　　) A.－1 B． C.－ D． 解析：星形弧半徑為2，所以點(diǎn)落在星形內(nèi)的概率為 P＝＝－1，故選A. 答案：A 7．已知A(2,1)，B(1，－2)，C，動(dòng)點(diǎn)P(a，b)滿足0≤·≤2，且0≤·≤2，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于的概率為(　　) A．1－ B． C．1－ D． 解析：依

13、題意有目標(biāo)函數(shù)>表示以C為圓心，半徑為的圓外．畫出可行域如圖所示，可行域的面積為，可行域內(nèi)的圓外面積為－，故概率為＝1－.故選A. 答案：A 8．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，如果在區(qū)間[0，e]內(nèi)任意輸入一個(gè)x的值，則輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是(　　) A. B．1－ C．1＋ D． 解析：由題意得f(x)＝如圖所示，當(dāng)1e，故輸出的f(x)值不小于常數(shù)e的概率是＝1－，故選B. 答案：B 9. 在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為(　　) A. B． C.

14、 D． 解析：∵＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于，∴a>b>0，a<2b. 它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示： 則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為 P＝＝1－＝，故選B. 答案：B 10．已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的區(qū)域?yàn)镸，曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域?yàn)镹，若向區(qū)域N內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：由已知條件，作出區(qū)域M為如圖所示的△OAB及其內(nèi)部，而曲線y＝可化為(x－)2＋y2＝，其中y≥0，因而曲線y＝與x軸圍成的區(qū)域N為圖中的半圓部分，可求得A(，)，因而△OAB的面積SM＝，半圓的面積

15、SN＝×π×＝，由幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求概率P＝＝，故選D. 答案：D 11．已知O，A，B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2 km處，B地在O地正北方向2 km處，某測(cè)繪隊(duì)員在A，B之間的直線公路上任選一點(diǎn)C作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，O地為一磁場(chǎng)，距離其不超過 km的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子儀器形成干擾，使測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是(　　) A. B． C．1－ D．1－ 解析：在等腰直角三角形OAB中，以O(shè)為圓心，為半徑的圓截AB所得的線段長(zhǎng)為2，而|AB|＝2，故該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1－＝1－，故選D. 答案：D

16、 12．一只昆蟲在邊長(zhǎng)分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其到三角形頂點(diǎn)的距離小于2的地方的概率為________． 解析：如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×12＝30，陰影部分的面積為×π×22＝2π，所以其概率為＝. 答案： 13．(2018·南昌質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，用隨機(jī)模擬方法來估計(jì)不規(guī)則圖形的面積．若在正方形ABCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個(gè)點(diǎn)，落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個(gè)，則在這次模擬中，不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為________． 解析：由題意，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中隨機(jī)產(chǎn)生了10 000個(gè)點(diǎn)，

17、落在不規(guī)則圖形M內(nèi)的點(diǎn)數(shù)恰有2 000個(gè)， 所以概率P＝＝. ∵邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的面積為4， ∴不規(guī)則圖形M的面積的估計(jì)值為 ×4＝. 答案： 14．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，H是邊DA的中點(diǎn)．在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，則滿足|PH|<的概率為________． 解析：如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，則滿足|PH|<的點(diǎn)P在△AEH，扇形HEF及△DFH內(nèi)，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率為 ＝＋. 答案：＋ 15．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于的概率為________． 解析：對(duì)于直線方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0， 令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝， 由題意可得·||·||<， 因?yàn)閙∈(0,3)， 所以解得0