2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版 1．(2018·廣東深圳4月調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長為12，那么C的方程為(　　) A.＋y2＝1　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [解析]　由題設(shè)可得＝?a＝2c， 又橢圓的定義可得2a＋2c＝12?a＋c＝6， 即3c＝6?c＝2，a＝4，所以b2＝16－4＝12， 則橢圓方程為＋＝1， 應(yīng)選答案D. [答案]　D 2．(2018·鄭州第三次質(zhì)檢)橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)為F，直線x＝

2、a與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長最大時(shí)，△FMN的面積是(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，則|MF′|＋|NF′|≥|MN|，當(dāng)M，N，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以△FMN的周長|MF|＋|NF|＋|MN|≤|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|＝4a＝4， 此時(shí)|MN|＝＝，所以此時(shí)△FMN的面積為S＝××2＝，故選擇C. [答案]　C 3．(2018·邯鄲一模)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的(　　) A．7倍　　 B．5倍 C．4倍　　 D．3倍 [解

3、析]　設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D，則|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x軸，∴PF1⊥x軸． ∴|PF1|＝＝＝. 又∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF2|＝4－＝. ∴|PF2|是|PF1|的7倍． [答案]　A 4．(2018·青島月考)已知A1，A2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－，則橢圓C的離心率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　設(shè)P(x0，y0)，則×＝－， 化簡得＋＝1，則＝，e＝＝＝，故選D. [答案]　D 5．(2018·廣州二模)

4、設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線． 所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因?yàn)椤螾F1F2＝30°， 所以|PF1|＝2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2| ＝＝|PF2|， 由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2| ＝3|PF2|?a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|?c＝， 則e＝＝·＝.

5、故選A. [答案]　A 6．(2018·東北師大附中三模)已知F是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF與圓2＋y2＝相切于點(diǎn)Q，且PQ＝2QF，則橢圓C的離心率等于(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，連接F1，設(shè)圓心為C，則 ∵2＋y2＝，則圓心坐標(biāo)為， 半徑為r＝，∴|F1F|＝3|FC| ∵PQ＝2QF，∴PF1∥QC，|PF1|＝b ∴|PF|＝2a－b ∵線段PF與圓＋＝1(a>b>0)(其中c2＝a2－b2)相切于點(diǎn)Q，∴CQ⊥PF，∴PF1⊥PF， ∴b2＋(2a－b)2＝4c2，∴b2＋(2

6、a－b)2＝4(a2－b2) ∴a＝b，則＝，∴e＝＝＝， 故選A. [答案]　A 7．(2018·保定一模)與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為______． [解析]　設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1. [答案]?。? 8．(2018·北京東城模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(－2,0)，且長軸長與短軸長的比是2

7、∶，則橢圓C的方程是______． [解析]　設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意知解得a2＝16，b2＝12. 所以橢圓C的方程為＋＝1. [答案]?。? 9．(2018·河北武邑中學(xué)二模)如圖，已知橢圓C1：＋y2＝1，曲線C2：y＝x2－1與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB分別與C1相交于D，E兩點(diǎn)，則·的值是(　　) A．正數(shù) B．0 C．負(fù)數(shù) D．皆有可能 [解析]　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，－1)， ＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)設(shè)直線l的方程為y＝kx與拋物線方程聯(lián)立，

8、 整理為：x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1， ·＝·＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)＝x1x2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1 ＝x1x2＋k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－1－k2＋k2＋1＝0，故選B. [答案]　B 10．(2016·北京卷)已知橢圓C：＋＝1過點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． [解]　(1)由題意得，a＝2，b＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 又c＝＝， 所以

9、離心率e＝＝. (2)設(shè)P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，則x＋4y＝4. 又A(2,0)，B(0,1)， 所以，直線PA的方程為y＝(x－2)． 令x＝0，得yM＝－， 從而|BM|＝1－yM＝1＋. 直線PB的方程為y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝－， 從而|AN|＝2－xN＝2＋. 所以四邊形ABNM的面積 S＝|AN|·|BM| ＝ ＝ ＝＝2. 從而四邊形ABNM的面積為定值． [B能力提升練] 1．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(－2,0)和B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C

10、的離心率的最大值為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1，y1)， 則有解得x1＝－3，y1＝1， 易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝， 因此橢圓C的離心率e＝＝的最大值為. [答案]　B 2．2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表

11、示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子： ①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<； ④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號(hào)是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [解析]　觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2， 即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知<， 即<，從而c1a2>a1c2，>，即④式正確，③式不正確． 故選D. [答案]　D 3．(2018·石家莊質(zhì)檢)橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為

12、橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是______． [解析]　設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則＝(x＋，y)，＝(x－，y)． ∵∠F1PF2為鈍角，∴·<0， 即x2－3＋y2<0，① ∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0， x2<2，∴x2<. 解得－b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是______． [解析]　設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－c,0)，如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線y＝x交于點(diǎn)M. 由題意知M為線段QF的

13、中點(diǎn)，且OM⊥FQ. 又O為線段F1F的中點(diǎn)， ∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c， 可解得|OM|＝，|MF|＝，故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝. 由橢圓的定義得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a， 整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝. [答案]　 5．(2017·天津)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為. (1)求橢圓的方程和拋物線的方程； (2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP

14、與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為，求直線AP的方程． [解]　(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(－c,0)．依題意，＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝.所以，橢圓的方程為x2＋＝1，拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線AP的方程為x＝my＋1(m≠0)， 與直線l的方程x＝－1聯(lián)立，可得點(diǎn)P， 故A.將x＝my＋1與x2＋＝1聯(lián)立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0，或y＝.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B.由Q，可得直線BQ的方程為(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D. 所以|AD|＝1－＝.

15、 又因?yàn)椤鰽PD的面積為，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±. 所以，直線AP的方程為3x＋y－3＝0， 或3x－y－3＝0. [C尖子生專練] (2016·四川卷)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線l：y＝－x＋3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T. (1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)； (2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值． [解]　(1)由已知，a＝b，則橢圓E的方程為＋＝1.

16、 由方程組得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.① 方程①的判別式為Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，此時(shí)方程①的解為x＝2，所以橢圓E的方程為＋＝1. 點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1)． (2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y＝x＋m(m≠0)， 有方程組可得 所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，|PT|2＝m2. 設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程組 可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.② 方程②的判別式Δ＝16(9－2m2)，由Δ＞0， 解得－＜m＜. 由②得x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|PA|＝＝， 同理|PB|＝， 所以|PB|·|PB|＝＝ ＝＝m2. 故存在常數(shù)λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.