（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 八大難點(diǎn)突破 難點(diǎn)3 以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問(wèn)題學(xué)案

《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 八大難點(diǎn)突破 難點(diǎn)3 以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問(wèn)題學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 八大難點(diǎn)突破 難點(diǎn)3 以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問(wèn)題學(xué)案（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 難點(diǎn)三　以構(gòu)建函數(shù)模型、解三角形、動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第66頁(yè)) 高考實(shí)際應(yīng)用題一直是高考當(dāng)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，雖有較為清晰的數(shù)學(xué)概念分析，但是如果學(xué)生對(duì)應(yīng)用題當(dāng)中的數(shù)學(xué)公式的基本應(yīng)用沒(méi)有一個(gè)較為清晰的理解，往往會(huì)陷入到應(yīng)用的“陷阱”當(dāng)中．因此良好的解題思路，以及正確的解題方式，是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用解題的重點(diǎn)．高考實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題常常在函數(shù)、三角函數(shù)和三角形、解析法中體現(xiàn)．因此對(duì)于高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題方向來(lái)看，我們應(yīng)當(dāng)從構(gòu)建具體的思維應(yīng)用模式出發(fā)． 1．與函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干和核心知識(shí)，以函數(shù)知識(shí)為背景的應(yīng)用題一直活躍在高考的舞臺(tái)上，引人關(guān)注，隨著知

2、識(shí)的更新，函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題中的模型也越來(lái)越新穎．高考函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的熱點(diǎn)模型主要有：一次、二次函數(shù)型，三次函數(shù)型，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)型，分段函數(shù)型等．解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義． 【例1】　(2016·江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖1所

3、示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394095】 圖1 [解]　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因?yàn)锳1B1＝AB＝6， 所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積 V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． (2)設(shè)

4、A1B1＝a m，PO1＝h m， 則00，V是單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)2

5、面積、利潤(rùn)、產(chǎn)量等)，可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點(diǎn)解決，解題中一定注意函數(shù)的定義域． 2．與解三角形相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 三角函數(shù)既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高考中常會(huì)考察與三角函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，需要建立三角函數(shù)模型將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．解決三角實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是仔細(xì)審題，準(zhǔn)確理解題意，分析條件和結(jié)論，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，理清問(wèn)題中各個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系；二是合理選取參變量，設(shè)定變?cè)?，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系；三是建立與求解相應(yīng)的三角函數(shù)模型．將文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利

6、用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論． 【例2】　(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)如圖2，某城市有一條公路正西方AO通過(guò)市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東α角方向的OB，位于該市的某大學(xué)M與市中心O的距離OM＝3 km，且∠AOM＝β，現(xiàn)要修筑一條鐵路L，L在OA上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經(jīng)過(guò)大學(xué)M，其中tan α＝2，cos β＝，AO＝15 km. (1)求大學(xué)M與A站的距離AM； (2)求鐵路AB段的長(zhǎng)． 圖2 [解]　(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β，且cos β＝，OM＝3， 由余弦定理可得：AM2＝OA2＋OM

7、2－2OA·OM·cos∠AOM＝(3)2＋152－2×3×15×＝72. 所以可得：AM＝6，大學(xué)M與A站的距離AM為6 km. (2)∵cos β＝，且β為銳角，∴sin β＝， 在△AOM中，由正弦定理可得：＝，即＝， ∴sin∠MAO＝，∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α－， ∵tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝， ∴sin∠ABO＝sin＝， 又∵∠AOB＝π－α， ∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝. 在△AOB中，AO＝15，由正弦定理可得：＝，即＝， ∴解得AB＝30，即鐵路AB段的長(zhǎng)為30 km. [點(diǎn)評(píng)]　解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形：(1)實(shí)

8、際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 3．以動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 近年江蘇高考將直線與圓的位置關(guān)系隱含到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行考查，利用解析幾何中最值與范圍問(wèn)題的解法求實(shí)際問(wèn)題中的最值與范圍問(wèn)題，這是一個(gè)高考新方向，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．解析幾何中的最值與范圍問(wèn)題往往需建立求解目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的最值研究幾何中的最值與范圍． 【例

9、3】　(南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)如圖3所示，某街道居委會(huì)擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個(gè)活動(dòng)中心，其中AE＝30米．活動(dòng)中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長(zhǎng)方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽(yáng)光線照射下落在居民樓上的影長(zhǎng)GE不超過(guò)2.5米，其中該太陽(yáng)光線與水平線的夾角θ滿足tan θ＝. 圖3 (1)若設(shè)計(jì)AB＝18米，AD＝6米，問(wèn)能否保證上述采光要求？ (2)在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計(jì)AB與AD的長(zhǎng)度，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大？(注：計(jì)算

10、中π取3) [解]　如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． (1)因?yàn)锳B＝18，AD＝6，所以半圓的圓心為H(9,6)， 半徑R＝9.設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0， 則由＝9， 解得b＝24或b＝(舍)． 故太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋24， 令x＝30，得EG＝1.5米＜2.5米． 所以此時(shí)能保證上述采光要求． (2)設(shè)AD＝h米，AB＝2r米，則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r. 法一：設(shè)太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0，由＝r， 解得b＝h＋2r或b＝h－(舍

11、)． 故太陽(yáng)光線所在直線方程為y＝－x＋h＋2r， 令x＝30，得EG＝2r＋h－，由EG≤，得h≤25－2r. 所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2 ＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大． 法二：欲使活動(dòng)中心截面面積盡可能大，則影長(zhǎng)EG恰為2.5米，則此時(shí)點(diǎn)G為(30,2.5)， 設(shè)過(guò)點(diǎn)G的上述太陽(yáng)光線為l1，則l1所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即3x＋4y－100＝0. 由直線l1與半圓H相切，得 r＝. 而點(diǎn)H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0， 即r＝－，從而h＝25－2r. 又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)取等號(hào)． 所以當(dāng)AB＝20米且AD＝5米時(shí)，可使得活動(dòng)中心的截面面積最大． [點(diǎn)評(píng)]　解與動(dòng)點(diǎn)軌跡為背景的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題常需建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題，再結(jié)合解幾何方法求最值與范圍． 6