2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》 1．不等式證明的方法 (1)比較法： ①作差比較法： 知道a>b?a－b>0，ab只要證明a－b>0即可，這種方法稱為作差比較法． ②作商比較法： 由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為作商比較法． (2)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? (3)分析法： 從待證不等式出發(fā)，逐步

2、尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法．即“執(zhí)果索因”的方法． (4)反證法和放縮法： ①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法． ②在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法． (5)數(shù)學(xué)歸納法： 一般地

3、，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： ①證明當(dāng)n＝n0時命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立． 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法． 2．幾個常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立)． ②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，等號當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時成立

4、． ③柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則＋≥. ④柯西不等式的一般形式：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi (i＝1,2，…，n)為實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等號當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時成立(當(dāng)ai＝0時，約定bi＝0，i＝1,2，…，n)． (2)算術(shù)—幾何平均不等式 若a1，a2，…，an為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 1．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值． 解　根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25

5、≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值． 解　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2 ≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立． ∴(＋＋)2≤3. 故＋＋的最大值為. 3．設(shè)x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值． 解　∵x>0，y>0， ∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋. ∵2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立． ∴min＝4， 即－λ≤4，λ≥－4. 題型一　用綜合法與分析法證明不等式 例1　(1)已知x，y均

6、為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3； (2)設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥. 證明　(1)因?yàn)閤>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3， 所以2x＋≥2y＋3. (2)因?yàn)閍，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥， 只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋

7、c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立)成立． 所以原不等式成立． 思維升華　用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野． 　設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1. 證明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

8、. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1， 即ab＋bc＋ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 題型二　放縮法證明不等式 例2　若a，b∈R，求證：≤＋. 證明　當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式顯然成立． 當(dāng)|a＋b|≠0時， 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥， 所以＝ ≤＝ ＝＋≤＋. 思維升華　(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧．常見的放縮變換有： ①變換分式的

9、分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1； ②利用函數(shù)的單調(diào)性； ③真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若00，則<”． (2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度． 　設(shè)n是正整數(shù)，求證：≤＋＋…＋<1. 證明　由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得 ≤<. 當(dāng)k＝1時，≤<； 當(dāng)k＝2時，≤<； … 當(dāng)k＝n時，≤<， ∴＝≤＋＋…＋<＝1. ∴原不等式成立． 題型三　柯西不等式的應(yīng)用 例3　已知x，y，z均為實(shí)數(shù)． (1)若x＋y＋z＝1，求證：＋＋≤3； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． (1)證明

10、　因?yàn)?＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27. 所以＋＋≤3. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝0時取等號． (2)解　因?yàn)?＝x＋2y＋3z≤·， 所以x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝即x＝，y＝，z＝時，x2＋y2＋z2有最小值. 思維升華　(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明．(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件． 　已知大于1

11、的正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝3.求證：＋＋≥. 證明　由柯西不等式及題意得， (＋＋) ·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27. 又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18， ∴＋＋≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時，等號成立． 證明不等式的方法和技巧： (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等． (2)在必要的情況下，可能還需

12、要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明．尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解．多以絕對值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)． (3)在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要求分析每次使用時等號是否成立． (4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號成立的條件. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：40分鐘) 1．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值． 解　由柯西不等式(2x2＋3y2)· ≥2＝(x＋

13、y)2＝1， ∴2x2＋3y2≥，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x＝，y＝時，等號成立．所以2x2＋3y2的最小值為. 2．設(shè)a＋b＝2，b>0，當(dāng)＋取得最小值時，求a的值． 解　由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此當(dāng)a>0時，＋的最小值是＋1＝；當(dāng)a<0時，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值為，此時即a＝－2. 3．設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值． 解　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2]· ≥2＝18. ∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值為2. 4．設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3

14、z＝，求x＋y＋z. 解　由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因?yàn)閤＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝. 5．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c.求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明　因?yàn)閇(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2， 又a＋b＋c>0， 所以＋＋≥a＋b＋c(當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時取等號)． 6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值． 解　由柯西不等式得 (4＋4＋1

15、)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝c－3時等號成立， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是. B組　專項(xiàng)能力提升 (時間：30分鐘) 7．(xx·湖南)設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝＋. 證明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立． 證明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab

16、＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立， 則由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾． 故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立． 8．已知：an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求證：n， ∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝. ∵<， ∴an<＋＋＋…＋ ＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝. 綜上得

17、值范圍． 解　(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，且|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范圍是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得 [42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2] ≥(4×＋×＋2×)2 ＝(x＋y＋z)2， 即25×1≥(x＋y＋z)2. ∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5. ∴x＋y＋z的取值范圍是[－5,5]． 10．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)． (1)求＋＋的最小值； (2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. (1)解

18、　因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， x1，x2∈(0，＋∞)， 所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝且a＝b，即a＝b＝ 且x1＝x2＝1時，＋＋有最小值6. (2)證明　方法一　由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得： (ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋)2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x1＝x2時取得等號． 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2. 方法二　因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)， 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1) ＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2 ＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x) ≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2) ＝x1x2(a2＋b2＋2ab) ＝x1x2(a＋b)2 ＝x1x2， 當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2時，取得等號． 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.