2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十 數(shù)學(xué)思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想素能提升練 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題十 數(shù)學(xué)思想方法 第一講 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想素能提升練 理 1.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由于3,4,5構(gòu)成直角三角形,故其內(nèi)切圓半徑為r==1.當(dāng)該圓運(yùn)動(dòng)時(shí),最多與直角三角形的兩邊有4個(gè)交點(diǎn). 答案:B 2.(xx山西忻州高三聯(lián)考,6)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)棣?直線y=kx-1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A.(0,3] B.[-1,1] C.(-∞,3] D.[3,+∞) 解析: 直線y=kx-1顯然經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M

2、(0,-1),由圖形直接觀察知,當(dāng)直線y=kx-1經(jīng)過(guò)直線y=x+1和直線x+y=3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí),k最小,此時(shí)kCM==3,因此k≥3,即k∈[3,+∞). 答案:D 3.若a>0,b>0,且a+b=2,則ab+的最小值為(　　) A.2 B.3 C.4 D.2 解析:∵2=a+b≥2,∴≤1.∴ab∈(0,1].∵函數(shù)f(x)=x+在x∈(0,1]上單調(diào)遞減,∴ab+的最小值為f(1)=2. 答案:A 4.設(shè)平面點(diǎn)集A=,B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 解析:不等式(y-x)≥0可

3、化為集合B表示圓(x-1)2+(y-1)2=1上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合,A∩B所表示的平面區(qū)域如圖所示.由于曲線y=,圓(x-1)2+(y-1)2=1均關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以陰影部分占圓面積的一半.故選D. 答案:D 5.若方程x+k=有且只有一個(gè)解,則k的取值范圍是(　　) A.[-1,1) B.k=± C.[-1,1] D.k=或k∈[-1,1) 解析:令y=x+k ,y=,則x2+y2=1(y≥0).作出圖象如下: 而y=x+k中,k是直線的縱截距,由圖知:方程有一個(gè)解?直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)?k=或-1≤k<1. 答案:D 6.(xx河南洛陽(yáng)高三統(tǒng)一

4、測(cè)試,12)已知函數(shù)f(x)=|log2x|-m(m>0)的零點(diǎn)分別為x1,x2(x10)的零點(diǎn)分別為x3,x4(x3

5、=2,a=1. ∴直線過(guò)點(diǎn)A(1,). ∴k=. 答案: 8.(xx甘肅蘭州、張掖聯(lián)考,14)已知x,y滿足約束條件則x2+y2的最小值是　　　　　.? 解析:畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,x2+y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方.由題意知,當(dāng)以原點(diǎn)為圓心的圓與直線3x+4y-4=0相切時(shí),x2+y2取得最小值,即,所以(x2+y2)min=. 答案: 9.已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x). (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式; (2)證

6、明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解. (1)解:由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, 于是f1(x)=x2.設(shè)f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為A(),B(-,-), 由|AB|=8,得k=8, 于是f2(x)=. 故f(x)=x2+. (2)證法一:由f(x)=f(a), 得x2+=a2+, 即=-x2+a2+. 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是位于第一、三象限的雙曲線,f3(x)的圖象是以為頂點(diǎn),開(kāi)口向下的拋物線. 因此f2(x)與

7、f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解. 又∵f2(2)=4,f3(2)=a2+-4, 當(dāng)a>3時(shí),f3(2)-f2(2)=a2+-8>0, ∴當(dāng)a>3時(shí),在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f3(2))在f2(x)圖象的上方. 故f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn), 即f(x)=f(a)有兩個(gè)正數(shù)解. 因此,在a>3時(shí),方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 證法二:由f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即(x-a)=0,得方程的一個(gè)解x1=a. 方程x+a-=0化為ax2+a2x-8=0, 由a>3,Δ=a4+3

8、2a>0,得x=, 因此x2=,x3=, ∵a>3,∴x1≠x2.若x1=x3, 則3a2=,a4=4a, 得a=0或a=,這與a>3矛盾, ∴x1≠x3.故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解. 10.(xx河北唐山一模,21)已知函數(shù)f(x)=. (1)證明:00時(shí),f(x)>,求a的取值范圍. (1)證明:設(shè)g(x)=xex+1,則g'(x)=(x+1)ex. 當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 所以g(x)≥g(-1)=1-e-1>0. 又ex>0,故f(x)>0.

9、 f'(x)=, 當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減, 所以f(x)≤f(0)=1. 綜上,有00時(shí),f(x)<1=,不等式不成立. ②若a<0,則當(dāng)01,不等式不成立. ③若a>0,則f(x)>等價(jià)于(ax2-x+1)ex-1>0.(*) 設(shè)h(x)=(ax2-x+1)ex-1,則h'(x)=x(ax+2a-1)ex. 若a≥,則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0. 若0

10、h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,h(x)0,不等式(*)成立,當(dāng)且僅當(dāng)a≥. 綜上,a的取值范圍是. 11.提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:km/h)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí),車流速度為60 km/h.研究表明當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù). (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式; (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛

11、數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/時(shí)) 解:(1)由題意知當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60; 當(dāng)20≤x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b(a≠0),(*) 由題意知,當(dāng)x=20時(shí),v(x)=60; 當(dāng)x=200時(shí),v(x)=0, 代入(*)式,可得a=-,b=, 所以v(x)=, 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)= (2)依題意并由(1)可得 f(x)= 當(dāng)0≤x<20時(shí),f(x)為增函數(shù), 故0≤f(x)<1 200. 當(dāng)20≤x≤200時(shí),f(x)=x(200-x)≤, 當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí),等號(hào)成立. 所以,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上,當(dāng)x=100時(shí),車流量f(x)可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/時(shí).