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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文
求數(shù)列的通項(xiàng)
訓(xùn)練提示: 求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況.
1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等
2、差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),
則
解得
所以an=2n+2.
(2)因?yàn)閎n+1-bn=an,
所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*)
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=an-1+an-2+…+a1+b1
=n(n+1).
所以==-,
所以Tn=1-+-+…+-
=1-=.
2.(xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=
3、S1+2=4=2a1,
當(dāng)n≥2時(shí),?an+1=2an,
數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2,
所以an=2n(n∈N*).
(2)bn=n·an=n·2n
Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1
兩式相減,得
-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1
-Tn=-n·2n+1,
Tn=2+(n-1)·2n+1(n∈N*).
求數(shù)列的前n項(xiàng)和
訓(xùn)練提示: 在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中
4、注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.
3.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).
(1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得
a2=4,a3=7.
an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)],
因?yàn)?2(n≥2,n∈N*).
所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1.
即an=2n-1+n.
5、
所以bn==1+.
設(shè)cn=,且前n項(xiàng)和為Tn,
所以Tn=+++…+①
Tn=+++…+②
①-②得Tn=1+(+++…+)-
=-=2-.
所以Tn=4-,Sn=n+4-.
4.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0.
因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11,
所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d),
即44d2-36d-45=0,
所以d
6、=(d=-舍去),
所以an=.
(2)bn==
=(-).
所以Tn=(-+-+…+-)
=.
數(shù)列的綜合問題
訓(xùn)練提示: 解答數(shù)列綜合問題要善于用化歸思想把非等差、等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題,并結(jié)合函數(shù)與方程的思想方法分析、解決問題.數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分,先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法
求解.
5.(xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an,
7、求使(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解:(1)由Sn=2an-2可得a1=2,
因?yàn)镾n=2an-2,
所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
即=2.
數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,
所以an=2n(n∈N*).
(2)bn=log2a1+log2a2+…+log2an
=1+2+3+…+n
=.
由(n-8)bn≥nk對(duì)任意n∈N*恒成立,
即實(shí)數(shù)≥k對(duì)n∈N*恒成立;
設(shè)cn=(n-8)(n+1),
則當(dāng)n=3或4時(shí),cn取得最小值為-10,所以k≤-10.
【教師備用】 (xx陜西卷)設(shè)
8、fn(x)=x+x2+…+xn-1,x≥0,n∈N,n≥2.
(1)求f′n(2);
(2)證明:fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(記為an),且0
9、得f′n(2)=
=(n-1)×2n+1.
(2)證明:因?yàn)閒n(0)=-1<0,
fn()=-1=1-2×()n≥1-2×()2>0,
所以fn(x)在(0,)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).
又f′n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,
所以fn(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,
因此fn(x)在(0,)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)an.
由于fn(x)=-1,
所以0=fn(an)=-1,
由此可得an=+>,
故
10、知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N+)的個(gè)位數(shù),則axx= .?
解析:a1a2=2×7=14,所以a3=4,4×7=28,所以a4=8,4×8=32,所以a5=2,2×8=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以從第三項(xiàng)起,an的值成周期排列,周期為6,xx=335×6+5,所以axx=a5=2.
答案:2
2.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=an+1-an,n∈N*,則axx= .?
解析:因?yàn)閍1=1,a2=3,an+2=an+1-an,
所以a3=2,a4=-1,a5=-
11、3,a6=-2,a7=1,a8=3,…
所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列.
所以axx=a6×335+5=a5=-3.
答案:-3
類型二:由數(shù)列性質(zhì)解決恒成立問題
3.(xx遼寧沈陽一模)已知數(shù)列{an},{cn}滿足條件:a1=1,an+1=2an+1,
cn=.
(1)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使得am>對(duì)任意n∈N+都成立的正整數(shù)m的最小值.
解:(1)因?yàn)閍n+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1),
因?yàn)閍1=1,a1+1=2≠0,
所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,
12、公比為2的等比數(shù)列.
所以an+1=2×2n-1,
所以an=2n-1.
(2)因?yàn)閏n==(-),
所以Tn=(-+-+…+-)
=(-)
=
=.
所以==6+,n∈N*,
所以6+≤15.
所以當(dāng)n=1時(shí),取得最大值15.
要使得am>對(duì)任意n∈N*恒成立,結(jié)合(1)的結(jié)果,只需2m-1>15,
由此得m>4.
所以正整數(shù)m的最小值是5.
4.(xx東北三校聯(lián)合二模)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-2n(n∈N*).
(1)證明:{an+2}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列
13、{}的前n項(xiàng)和,若Tn
14、,+∞).
類型三:數(shù)列的綜合問題
5.(xx東北三校聯(lián)合模擬)已知數(shù)列{an}滿足··…=(n∈N*),則a10等于( C )
(A)e26 (B)e29 (C)e32 (D)e35
解析:因?yàn)椤ぁぁ?①
所以··…=②
所以得=,所以ln an=3n+2.
所以ln a10=32,所以a10=e32.故選C.
6.(xx濱州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=9,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列.
(2)令bn=an+1,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…
15、(an+1),求lg Tn.
(3)在(2)的條件下,記cn=,設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<1.
(1)證明:由題意得an+1=+2an,
即an+1+1=(an+1)2,
對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得
lg(an+1+1)=2lg(an+1),
因?yàn)閍1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1,
所以數(shù)列{lg(an+1)}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1.
lg Tn=lg[(a1+1)(a2+1)…(an+1)]
=lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1)
=
所以lg Tn=2n-1.
(3)證明:cn==-,
Sn=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=1-<1.
2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文
