2022年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識精講 文 人教版第二冊

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 拋物線的幾何性質(zhì)知識精講 文 人教版第二冊【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：拋物線的幾何性質(zhì)二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)： 拋物線的性質(zhì)，焦半徑，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合。2. 難點(diǎn)：注意拋物線與橢圓、雙曲線的聯(lián)系?！镜湫屠}】例1 給定拋物線，設(shè)A（）（），P是拋物線上的一點(diǎn)，且，試求的最小值。解：設(shè)（）（） 則 ，（1）當(dāng)時，此時當(dāng)時，（2）當(dāng)時，此時當(dāng)時，例2 過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，設(shè)交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求。解：當(dāng)時，直線AB的方程為由得A（）、B（，） 當(dāng)時，直線AB的方程為由得設(shè)A（）、B（），則 例3 過拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)作直線，交拋物線于M、N

2、兩點(diǎn)，問直線的傾斜角多大時，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？解：拋物線的準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)為（），設(shè)直線MN的方程為由 得 直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn) 即，設(shè)M（，），N（），拋物線焦點(diǎn)為F（1，0） 以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn) MFNF 即又 ，且、同號 解得 即直線的傾斜角為或時，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。例4 過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求的值。解：如圖所示，設(shè)A（）、B（），AB的方程為由得 又 ， 又 例5 如圖，已知直線：交拋物線于A、B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使的面積最大，并求這個最大面積。解：由解得A（4，4）、B

3、（1，），知，所以直線AB的方程為設(shè)P（）為拋物線AOB這條曲線上一點(diǎn)，為P點(diǎn)到直線AB的距離 從而當(dāng)時，因此，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時，例6 已知直線與曲線在第一象限有公共點(diǎn)，求的取值范圍。解：如圖，易知拋物線與軸交于A（0，1）、B（0，3）直線恒過C（），由圖象及拋物線的延伸趨勢可知當(dāng)大于零且小于BC的斜率時滿足題意而，故。例7 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直徑交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/軸，證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。證法一：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（）所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程為代入拋物線方程得0設(shè)A（）、B（），則 BC/軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上 點(diǎn)C的坐標(biāo)為故直線OC的

4、斜率為即也是OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O證法二：如圖所示，設(shè)軸與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)A作AD，D為垂足則。連結(jié)AC，與EF相交于N，則，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，得， 點(diǎn)N是線段EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合 直線AC經(jīng)過點(diǎn)O證法三：設(shè)A（）、B（），由已知C得直線AC的方程為，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得 利用得上面等式恒成立 直線AC經(jīng)過點(diǎn)O證法四：設(shè)A（）、B（），由已知得C（）， 又 O是公共點(diǎn) A、O、C共線，即AC過點(diǎn)O例8 如果拋物線上總有關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，試求的范圍。方法一：設(shè)拋物線上關(guān)于對稱的相異兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（）、B（） 兩點(diǎn)都在拋物線上 （1）（2），得 （3）（3

5、）代入（2），得 ，且相異 的取值范圍是（）方法二：設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)所在直線方程為，代入，得 ，且兩點(diǎn)為相異兩點(diǎn) 即 （1） 設(shè)兩對稱點(diǎn)為A（）、B（）則， 又 ，即 （2）（2）代入（1），得 的取值范圍是（）【模擬試題】（答題時間：60分鐘）一. 選擇題：1. 等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，則的面積是（ ） A. B. C. D. 2. 已知點(diǎn)（）在拋物線上，則的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 03. 已知A、B是拋物線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（ ） A. B. C. D. 4.

6、 已知點(diǎn)A（），的焦點(diǎn)是F，P是上的點(diǎn)，為使取得最小值，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） A. B. C. D. 5. 拋物線與直線的一個交點(diǎn)是（1，2），則拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為（ ） A. B. C. D. 6. 拋物線的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在拋物線上，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A. B. C. 或 D. 7. 過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（）、B（）兩點(diǎn)，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 48. 過拋物線（）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是、，則的值為（ ）A. B. C. D. 二. 填空：1. 過拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線被拋物線截得的弦長為

7、 。2. 拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)R，過拋物線上一點(diǎn)P（4，4）作PQ于點(diǎn)Q，則梯形PQRF的面積是 。3. 線段AB是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，且，則線段AB的中點(diǎn)C到直線的距離是 。4. 拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，拋物線上點(diǎn)A（）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為 。三. 解答題：1. 已知拋物線上有三點(diǎn)A（）、B（）、C（）且，若線段AB、BC在軸上射影之長相等，求證：A、B、C三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離順次成等差數(shù)列。2. 過拋物線的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程3. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且

8、BC軸。證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O【試題答案】一.1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或三.1. 證明：根據(jù)題意，得，即、成等差數(shù)列又由拋物線的定義得， 、成等差數(shù)列2. 解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P（），OA的斜率為，則直線的方程為由得或依題意得A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（，） OAOB OB的斜率為，直線OB的方程為由得或 B點(diǎn)的坐標(biāo)為線段AB的中點(diǎn)P（）滿足即（2）式平方后減去（1）3，得為所求。3. 證明： 拋物線的焦點(diǎn)為F（） 經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為代入拋物線方程，得設(shè)，則是該方程的兩根 BC/軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（） 直線OC的斜率為即也是直線OA的斜率 直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O