2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.2.1 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教A版必修1

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1、2.1.2　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 課標(biāo)要點(diǎn) 課標(biāo)要點(diǎn) 學(xué)考要求 高考要求 1.指數(shù)函數(shù)的概念 b b 2.指數(shù)函數(shù)的圖象 c c 3.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) c c 4.利用函數(shù)圖象解決問(wèn)題 c c 知識(shí)導(dǎo)圖 學(xué)法指導(dǎo) 1.明確指數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)求指數(shù)函數(shù)的解析式． 2．借助指數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)問(wèn)題． 3．在掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題． 第1課時(shí)　指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)一　指數(shù)函數(shù)的定義 函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．

2、指數(shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征 (1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)． (2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1. (3)ax的系數(shù)是1. 知識(shí)點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>1 00時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，00時(shí)，01 單調(diào)性 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù) 底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖象的“升”與“降”．當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的

3、；當(dāng)00且a≠1)可知只有D項(xiàng)正確． 答案：D 3．函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　) A．R B．(0，＋∞) C．[0，

4、＋∞) D．(－∞，0) 解析：要使函數(shù)有意義， 則2x－1>0，∴2x>1，∴x>0. 答案：B 4．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，則A∩B＝(　　) A．? B．{x|04}＝{x|x>2}，則A∩B＝{x|20且a≠1

5、 (2)指數(shù)函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么f(4)·f(2)等于________． 【解析】　(1)由指數(shù)函數(shù)的定義得解得a＝2. (2)設(shè)y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a－2＝，所以a＝2， 所以f(4)·f(2)＝24×22＝64. 【答案】　(1)C　(2)64 (1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，底數(shù)a>0且a≠1，ax的系數(shù)是1. (2)先設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)＝ax，借助條件圖象過(guò)點(diǎn)(－2，)求a，最后求值． 方法歸納 (1)判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法 ①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)這一結(jié)構(gòu)特征． ②明特征：指

6、數(shù)函數(shù)的解析式具有三個(gè)特征，只要有一個(gè)特征不具備，則不是指數(shù)函數(shù)． (2)已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若函數(shù)y＝(3－2a)x為指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________； (2)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是________．(填序號(hào)) ①y＝2·()x　②y＝2x－1?、踶＝x?、躽＝xx?、輞＝3－?、辻＝x. 解析：(1)若函數(shù)y＝(3－2a)x為指數(shù)函數(shù)， 則解得a<且a≠1. (2)①中指數(shù)式()x的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；②中y＝2x－1＝·2x，指數(shù)式2x的系數(shù)不為1，故不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為x，不滿足底數(shù)是唯一確定的值，

7、故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)不是x，故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是指數(shù)函數(shù)．故填③. 答案：(1)(－∞，1)∪　(2)③ (1)指數(shù)函數(shù)系數(shù)為1. (2)底數(shù)>0且≠1. 類(lèi)型二　指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題 例2　(1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖象： ①y＝ax　②y＝bx ③y＝cx ④y＝dx 則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)0且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－3－2必過(guò)定點(diǎn)________． 【解析】　(1)可先

8、分為兩類(lèi)，③④的底數(shù)一定大于1，①②的底數(shù)一定小于1，然后再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)，圖象下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故選B. (2)當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，總有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函數(shù)f(x)＝ax－3－2必過(guò)定點(diǎn)(3，－1)． 【答案】　(1)B　(2)(3，－1) (1)先由a>1,0

9、為： (1)無(wú)論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象與直線x＝1相交于點(diǎn)(1，a)，由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大． (2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次增大． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知1>n>m>0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象為(　　) (2)若a>1，－1

10、排除A、B，作直線x＝1與兩個(gè)曲線相交，交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y＝mx的圖象，故選C. (2)∵a>1，且－1

11、得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指數(shù)函數(shù)y＝x為R上的單調(diào)減函數(shù)，所以2x－1≤－3，解得x≤－1. (2)由f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函數(shù)，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正確． 【答案】　(1)C　(2)C (1)首先根式有意義，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)不等式． (2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域． 方法歸納 (1)對(duì)于y＝af(x)這類(lèi)函數(shù)， ①定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍． ②值域問(wèn)題，應(yīng)分以下兩步求解： ⅰ由定義域求出u＝f(

12、x)的值域； ⅱ利用指數(shù)函數(shù)y＝au的單調(diào)性或利用圖象求得此函數(shù)的值域． (2)對(duì)于y＝(ax)2＋b·ax＋c這類(lèi)函數(shù)， ①定義域是R. ②值域可以分以下兩步求解： ⅰ設(shè)t＝ax，求出t的范圍； ⅱ利用二次函數(shù)y＝t2＋bt＋c的配方法求函數(shù)的值域． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)求函數(shù)y＝的定義域與值域． (2)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a. 解析：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定義域?yàn)閧x|x≥2}．當(dāng)x≥2時(shí)，≥0，又因?yàn)?<<1，所以y＝的值域?yàn)閧y|0

13、最大值為a2，最小值為a，所以a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去)． ②若0＜a＜1，則f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，最大值為a，最小值為a2，所以a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)． 綜上所述，a的值為或. (1)偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0. (2)先判斷函數(shù)單調(diào)性，再求最值. [基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．若函數(shù)f(x)＝·ax是指數(shù)函數(shù)，則f的值為(　　) A．2　　　 B．－2 C．－2 D．2 解析：∵函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，∴a－3＝1，∴a＝8. ∴f(x)＝8x，f＝8＝2. 答案：D 2．在同

14、一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝x的圖象之間的關(guān)系是(　　) A．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng) 解析：由作出兩函數(shù)圖象可知，兩函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故選A. 答案：A 3．當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x－2的值域是(　　) A. B．[－1,1] C. D．[0,1] 解析：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝3x在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故選C. 答案：C 4．如果指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－1)x是R上的單調(diào)減函數(shù)，那么a的取值范圍是(　　) A

15、．a(chǎn)<2 B．a(chǎn)>2 C．11時(shí)，f(x)＝ax過(guò)原點(diǎn)且斜率大于1，g(x)＝ax是遞增的；②當(dāng)00且a≠1)． 因?yàn)閒(x)過(guò)點(diǎn)， 所以＝

16、a－2， 所以a＝4. 所以f(x)＝4x， 所以f＝4－＝. 答案： 7．函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開(kāi)_______． 解析：由1－ex≥0得，ex≤1，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≤0}，所以00且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 解析：令x－1＝0，得x＝1，此時(shí)f(1)＝5.所以函數(shù)f(x)＝4＋ax－1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P(1,5)． 答案：(1,5) 三、解答題(每小題10分，共20

17、分) 9．設(shè)f(x)＝3x，g(x)＝x. (1)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)，g(x)的圖象； (2)計(jì)算f(1)與g(－1)，f(π)與g(－π)，f(m)與g(－m)的值，從中你能得到什么結(jié)論？ 解析：(1)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示： (2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3； f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π； f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m. 從以上計(jì)算的結(jié)果看，兩個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量取值互為相反數(shù)時(shí)，其函數(shù)值相等，即當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，它們的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)． 10．求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝2－1；(2)y＝

18、解析：(1)要使y＝2－1有意義，需x≠0，則2≠1；故2－1>－1且2－1≠0，故函數(shù)y＝2－1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)的值域?yàn)?－1,0)∪(0，＋∞)． (2)函數(shù)y＝的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，由于2x2≥0，則2x2－2≥－2. 故0<≤9，所以函數(shù)y＝的值域?yàn)?0,9]． [能力提升](20分鐘，40分) 11．函數(shù)y＝ax在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值的和為3，則函數(shù)y＝3ax－1在區(qū)間[0,1]上的最大值是(　　) A．6 B．1 C．5 D. 解析：由于函數(shù)y＝ax在[0,1]上為單調(diào)函數(shù)， 所以有a0＋a1＝3，即a＝2. 所以函數(shù)y＝3ax－1，即

19、y＝6x－1在[0,1]上單調(diào)遞增，其最大值為y＝6×1－1＝5.故選C. 答案：C 12．若關(guān)于x的方程2x－a＋1＝0有負(fù)根，則a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)?x＝a－1有負(fù)根， 所以x<0， 所以0<2x<1. 所以00，a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，求實(shí)數(shù)a的值． 解析：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在[0,2]上遞增， ∴即 ∴a＝±. 又a>1，∴a＝； 當(dāng)0