2022年高考數(shù)學一輪復習 專題3.5 導數(shù)的綜合應用（講）

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 專題3.5 導數(shù)的綜合應用（講）【考綱解讀】考 點考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計分析預測導數(shù)在研究函數(shù)中的應用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導數(shù)解決某些實際問題.xx浙江文科21，理科8，22；xx浙江文科21，理科22；xx浙江卷7，20. 1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2.單獨考查利用導數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；3.適度關注生活中的優(yōu)化問題.3.備考重點： (1) 熟練掌握導數(shù)公式及導數(shù)

2、的四則運算法則是基礎；(2) 熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【知識清單】1. 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號等.解決此類問題應先觀察選項的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關性質(zhì)，進而得到正確的選項.如該題中函數(shù)解析式雖然比較復雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項.對點練習：【xx浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D2與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題

3、1方程有實根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點2求極值的步驟：先求的根（定義域內(nèi)的或者定義域端點的根舍去）；分析兩側(cè)導數(shù)的符號：若左側(cè)導數(shù)負右側(cè)導數(shù)正，則為極小值點；若左側(cè)導數(shù)正右側(cè)導數(shù)負，則為極大值點.3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點，而求函數(shù)的最值是在求極值的基礎上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)圖象的交點橫坐標.對點練習：【xx新課標1卷】已知函數(shù)有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)設x1,x2是的兩個零點,證明：.【答案】【解析

4、】（）（i）設,則,只有一個零點（ii）設,則當時,；當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿足且,則,故存在兩個零點 （）不妨設,由（）知,在上單調(diào)遞減,所以等價于,即由于,而,所以設,則所以當時,而,故當時,從而,故3與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點和熱點問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理 ：對點練習：設，函數(shù)，若對任意的，都有成立，則的取值范圍為 【答案】4利用導數(shù)證明、解不等式問題無論不等式的證明

5、還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的思想，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和最值），達到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.對點練習：【xx課標II，理】已知函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且。【答案】(1)；(2)證明略?！窘馕觥浚?）由（1）知 ，。設，則。當 時， ；當 時， ，所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增?！究键c深度剖析】導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更

6、強的趨勢【重點難點突破】考點1 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】【xx河南開封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是 A B C D【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除B、D，若時，當，當時，則，函數(shù)在上為減函數(shù)，選A.【1-2】【xx全國卷】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D【領悟技法】導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【觸類旁通】【變式一】【xx江西新余二?！繉⒑瘮?shù)

7、圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）后得到的圖象，設，則的圖象大致為（ ）【答案】A【變式二】【xx麗水模擬】設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D【解析】由題圖，當x2時，f(x)0；當2x1時，f(x)0；當1x2時，f(x)0；當x2時，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值

8、考點2 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題【2-1】【xx浙江杭州二?！吭O方程（， 為自然對數(shù)的底數(shù)），則（ ）A. 當時，方程沒有實數(shù)根 B. 當時，方程有一個實數(shù)根C. 當時，方程有三個實數(shù)根 D. 當時，方程有兩個實數(shù)根 【答案】D【2-2】【xx課標3，理11】已知函數(shù)有唯一零點，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點滿足，設，則，當時，當時，函數(shù) 單調(diào)遞減，當時，函數(shù) 單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，設 ，當時，函數(shù)取得最小值 ，【領悟技法】1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2

9、.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.3. 與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點，并結(jié)合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關系，進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題【觸類旁通】【變式一】【xx湖南長沙二?！恳阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時， ，則對任意，函數(shù)的零點個數(shù)至多有（ ）A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個【答案】A【解析】當時,由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， , 且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)， ，而時， ,所以的圖象如圖，令,則，由圖可知

10、，當時方程至多3個根，當時方程沒有根，而對任意， 至多有一個根，從而函數(shù)的零點個數(shù)至多有3個.【變式二】【xx安徽阜陽二模】已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù) ）.（1）當是，求證： ； （2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（）見解析;（）試題解析：（） ，.得： 且在上單增，在上單減（）故等價于在上有唯一極大值點得： 故令，則又在上單增，由，得綜上， 考點3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數(shù)范圍問題【3-1】若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】 所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以，所以.(2)令，則，因為，所以，所以易知，所以在上是增函數(shù).易知當時，故在上無最小值，所以

11、在上不能恒成立.綜上所述，即實數(shù)的取值范圍是.【3-2】已知函數(shù)（1）求在上的最小值； （2）若關于的不等式只有兩個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍 【答案】（1） ；（2）.【解析】若，的最小值為，4分若，的最小值為，綜上，當時，的最小值為；當，的最小值為（2）由（1）知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，且在上，又，則又時，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；時，由不等式得，解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個，不合題意；時，由不等式得或，解集為無整數(shù)解，若不等式有兩整數(shù)解，則，綜上，實數(shù)的取值范圍是【領悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：的圖象和圖象特點考考慮；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，

12、轉(zhuǎn)化為的最值處理；參變分離法，將不等式等價變形為，或，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 【觸類旁通】【變式一】已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A BC D【答案】C【解析】【變式二】【xx福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù)， （）當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；（）當時， ，求實數(shù)的取值范圍【答案】（I）詳見解析；（II）.【解析】解法一：（）當時， ， 設直線與曲線相切，其切點為，則曲線在點處的切線方程為： ，因為切線過點，所以，即 ，設， ， ， ， 在三個區(qū)間上至少各有一個根又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，故過點有三條直線與曲線相切（1）當時，從而（當

13、且僅當時，等號成立）在上單調(diào)遞增，又，當時， ，從而當時， ，在上單調(diào)遞減，又，從而當時， ，即于是當時， （2）當時，令，得，故當時， ，在上單調(diào)遞減，又，當時， ，從而當時， ，解法二：（）當時， ， ，設直線與曲線相切，其切點為，則曲線在點處的切線方程為，因為切線過點，所以，即 ，設，則，令得當變化時， ， 變化情況如下表：+0-0+極大值極小值考點4利用導數(shù)證明、解不等式問題【4-1】若的定義域為，恒成立，則解集為（ ） A B C D【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，所以解集為. 【4-2】【xx浙江溫州二?！?證明：（1）當，；（2）對任意，當時，.【

14、答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】試題解析：證明：（1）考慮函數(shù)，則的導數(shù)，從而，故在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，因此對任意，都有，即（當且僅當時，等號成立），所以當時，即；（2）由可知當時，即當時，；當時，.令函數(shù)，注意到，故要證與，只需證明在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增. 【領悟技法】1.利用導數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口.2.利用導數(shù)解不等式的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性 ，從而

15、解不等式的方法.【觸類旁通】【變式一】【xx廣東佛山二?！吭O函數(shù)，其中， 是自然對數(shù)的底數(shù).（）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（）若，證明： .【答案】（）;（）見解析.【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導函數(shù)恒為非負數(shù)，分離常數(shù)后利用導數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導數(shù)，對分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.試題解析：令， ， 是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點， 當， ， ， 遞增；當， ， ， 遞減；故當時， 取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.（） .令（），以下證明當時， 的最小值大于0.求導得 .當時， ，

16、；當時， ，令，則 ，又 ，取且使，即，則 ，因為，故存在唯一零點，即有唯一的極值點且為極小值點，又， 【變式二】【xx課標3，理21】已知函數(shù) .（1）若 ，求a的值；（2）設m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n ，求m的最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】【易錯試題常警惕】易錯典例：已知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍易錯分析：（）忽視定義域致誤；（）對全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤正確解析：.（）. 當時， 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 故的單

17、調(diào)遞增區(qū)間是.當時， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，, 溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應豎立定義域優(yōu)先原則；(2) 任意，指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個自變量；存在，指的是區(qū)間內(nèi)存在一個自變量，故本題是恒成立問題和有解問題的組合.【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的

18、精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. ,在解答導數(shù)問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如：【典例1】已知是常數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（ ）【答案】D【解析】【典例2】已知函數(shù)（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_.【答案】 【解析】