全國二卷數(shù)學(xué)理2017

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絕密★啟用前 2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 課標(biāo)II理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.（ ） A． B． C． D． 2.設(shè)集合，。若，則（ ） A． B． C． D． 3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ） A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞 4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ） A． B． C． D． 6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ） A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績?？春蠹讓?duì)大家說：我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息，則（ ） A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對(duì)方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（ ） A. B. C. D.1 12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ） A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 。 14.函數(shù)（）的最大值是 。 15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 。 16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則 。 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17.（12分） 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， （1）求； （2）若，的面積為，求。 18.（12分） 海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01） 附： 19.（12分） 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。 （1）證明：直線 平面PAB； （2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。 20. （12分） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F。 21.（12分） 已知函數(shù)，且。 (1)求； (2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。 （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。 22。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為。 （1）M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求面積的最大值。 23.[選修4-5：不等式選講]（10分） 已知。證明： （1）； （2）。 答案與解析 1．D 【解析】，故選D。 2．C 【解析】由得，所以，，故選C。 3．B 【解析】塔的頂層共有燈x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由可得，故選B。 4．B 【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B. 5．A 【解析】繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn) 處取得最小值 ，故選A. 6．D 【解析】 ,故選D。 7．D 【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D。 8．B 【解析】 ,故選B. 9．A 【解析】圓心到漸近線 距離為 ，所以，故選A. 10．C 【解析】補(bǔ)成四棱柱 , 則所求角為 因此 ，故選C. 11．A 【解析】由題可得 因?yàn)?，所以，，? 令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 所以極小值，故選A。 12．B 【解析】以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)，則，，，設(shè)，所以，， 所以， 當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B。 13．1.96 【解析】，所以. 14．1 【解析】 ，，那么，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1. 15． 【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 . 16．6 【解析】設(shè)，，那么 ，點(diǎn)在拋物線上，所以 ，所以，那么. 17．（1）（2） 【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出． 試題解析：（1）由題設(shè)及，故 上式兩邊平方，整理得 解得 （2）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2 【點(diǎn)睛】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎． 18．（1）；（2）詳見解析；（3） 【解析】（1）記事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于”為事件 記事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”為事件 則 （2） 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。 （3）第50個(gè)網(wǎng)箱落入“”這組； 取平均值即為中位數(shù)的估計(jì)值。 19． （1）詳見解析 （2） 【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、、 ∵、分別為、中點(diǎn) ∴，又∵ ∴，∴四邊形為平行四邊形 ∴平面 （2）取中點(diǎn)，連，由于為正三角形 ∴ 又∵平面平面，平面平面 ∴平面，連，四邊形為正方形。 ∵平面，∴平面平面 而平面平面 過作，垂足為，∴平面 ∴為與平面所成角， ∴ 在中，，∴， 設(shè)，，， ∴，∴ 在中，，∴ ∴，， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，， ， 設(shè)平面的法向量為，，∴ ∴，而平面的法向量為 設(shè)二面角的大角為（為銳角） ∴。 20． ⑴點(diǎn)的軌跡方程。 ⑵詳見解析 【解析】（1）設(shè)，， 即 代入橢圓方程，得到 ∴點(diǎn)的軌跡方程。 （2）設(shè)，，橢圓的左焦點(diǎn)為 ， ，即 ① ： ∴過與直線垂直的直線為： 當(dāng)時(shí)， ①代入得 ∴過且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)。 21．⑴ a=1 ⑵ 詳見解析 【解析】（1）的定義域?yàn)? 設(shè)，則等價(jià)于 因?yàn)? 若a=1，則.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故 綜上，a=1 （2）由（1）知 設(shè) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 因?yàn)?，所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn) 由 由得 因?yàn)閤=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得 所以 22．⑴的直角坐標(biāo)方程為 ⑵△OAB面積的最大值為 【解析】（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為，M的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知 由得的極坐標(biāo)方程 因此的直角坐標(biāo)方程為 （2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知 ,于是△OAB面積 當(dāng)時(shí)，S取得最大值 所以△OAB面積的最大值為 23．⑴詳見解析 ⑵詳見解析 【解析】（1） （2）因?yàn)? 所以，因此a+b≤2. 第13頁