《軸對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)》學(xué)案

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1、第5章 軸對(duì)稱圖形 課時(shí)1 軸反射與軸對(duì)稱圖形 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相 ，那么這個(gè)圖形叫做 。這條直線叫做它的 。 2. 如果一個(gè)圖形關(guān)于一條直線做 ，能夠與另一個(gè)圖形 ，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線 ，也稱這兩個(gè)圖形 。這條直線也叫做 ，互相重合的兩個(gè)點(diǎn)，其中一點(diǎn)叫作另一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的 。 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3. 軸反射不改變

2、 。 二、問題探究 問題一：了解軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，判斷軸對(duì)稱圖形。 例1. 如圖所示的標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的有（ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 例2. 下列圖形中是軸對(duì)稱圖形的為 （ ） Ａ　　　 Ｂ　　 ?。谩　　? Ｄ 問題二：根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)補(bǔ)充或設(shè)計(jì)圖案等操作。 例3. 已知：在下面兩個(gè)方格中有△ABC． M C B A C B A 操作：（1）（左圖）平移△ABC，使點(diǎn)Ａ移到點(diǎn)M處．（2）（右圖）作△ABC的

3、軸對(duì)稱圖形△DEF，以圖中虛線為對(duì)稱軸． 三、綜合運(yùn)用： 1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A B C D 2. 在下列四個(gè)圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的有（ ）個(gè) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在下列圖案中，有且只有三條對(duì)稱軸的是 ( ) 4. 仔細(xì)觀察下圖中的圖案，并按規(guī)則在橫線上畫出合適的圖形． 5. 下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最少的圖形是（ ） A. 等邊三角形 B. 正方形 C. 正

4、五邊形 D. 正六邊形 6. 如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線m對(duì)稱. （1）結(jié)合圖形指出對(duì)稱點(diǎn). （2）連接A、A′，直線m與線段AA′有什么關(guān)系？ （3）延長(zhǎng)線段AC與A′C′，它們的交點(diǎn)與直線m有怎樣的關(guān)系？其它對(duì)應(yīng)線段（或其延長(zhǎng)線）的交點(diǎn)呢？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請(qǐng)敘述出來與同伴交流。 課時(shí)2 線段的垂直平分線 一、自學(xué)導(dǎo)航 1．定義：我們把 的直線，叫做這條線段的垂直平分線。 2. 線段垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn) 。 3.

5、逆定理： 的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 4. 三角形三邊垂直平分線定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離 。 5. 用尺規(guī)作線段的垂直平分線（設(shè)線段AB，圖略），作法如下： ⑴分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點(diǎn)； ⑵作直線CD，則直線CD即為線段AB的垂直平分線。 二、問題探究 問題一：線段的垂直平分線性質(zhì)定理與逆定理的應(yīng)用。 【解析】：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理與逆定理，將未知線段轉(zhuǎn)化為已知線段。 例1. 如圖，已知AB＝AC＝10，DE垂

6、直平分AC，三角形BCD的周長(zhǎng)為18，求BC的長(zhǎng)。 A B E D C 問題二：利用線段垂直平分線作圖。 例2.如圖，某市在濱河路旁修建了一個(gè)奶站，向A、B兩個(gè)小區(qū)提供牛奶，奶站建在何處，才能使奶站到兩個(gè)居民小區(qū)A、B的距離相等。 不要寫做法，但要簡(jiǎn)單寫出理由。 A小區(qū) B小區(qū) 濱河路 三、綜合運(yùn)用： 1.關(guān)于線段的垂直平分線有下列說法：①一條線段的垂直平分線的垂足，也是這個(gè)線段的中點(diǎn)；②線段的垂直平分線是一條直線；③一條線段的垂直平分線是這條線段的唯一對(duì)稱軸；④到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，它們都在線段的垂直平分線上。 其中正確的

7、答案有（ ）個(gè)： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 點(diǎn)P是△ABC中邊AB的垂直平分線上的點(diǎn)，則一定有（ ） A. PA＝PB B. PA＝PC C. PB＝PC D. 點(diǎn)P到∠ACB的兩邊的距離相等 3. 如圖，在△ABC中，，BC邊上的垂直平分線DE交BC、BA分別于點(diǎn)D、E，則△AEC的周長(zhǎng)等于（ ） A. B. C. D. 4. 作圖題：把線段AB四等分。 A B 5. 如圖，∠A＝90°，E為BC上一

8、點(diǎn)，A點(diǎn)和E點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱，B點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于DE對(duì)稱，求：∠ABC和∠C的度數(shù)。 A B E D C 課時(shí)3 三 角 形 一、自學(xué)導(dǎo)航 1.定義： 所組成的圖形叫作三角形，組成三角形的線段叫做三角形的邊。 2. 三角形有 條邊，有 個(gè)頂點(diǎn)，有 個(gè)內(nèi)角。 3. 三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的 和 之間的線段叫作三角形的角平分線。 4.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的

9、 叫作三角形的中線，三角形的中線可以把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形。 5.三角形的高：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線， 和 之間的線段叫作三角形的高。 6. 三角形中三邊的關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和 第三邊；三角形任意兩邊之差 第三邊。 二、問題探究 問題一：三角形三邊的關(guān)系。 【解析】：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊。 例1. 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，第三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)為偶數(shù)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。 問題二：作三角形的中線、高、角平分線。 【解析】

10、：⑴三角形的高在三角形外部時(shí)要用虛線；⑵三角形中線平分對(duì)邊；⑶三角形的角平分線平分對(duì)應(yīng)角。 A B C 例2. 如圖，三角形ABC中，⑴ 作BC邊上的高和中線；⑵ 作∠A與∠C的平分線。 三、綜合運(yùn)用： 1. 若三角形的一邊的中線把它分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為9cm和6cm，則此三角形的另兩邊之差為 cm。 2. 如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為23cm和10cm，第三邊長(zhǎng)與其中一邊的長(zhǎng)相等，那么第三邊的長(zhǎng)為 cm。 3. 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm，且第三邊的長(zhǎng)為一個(gè)整數(shù)，那么，這樣的三角形的周長(zhǎng)最小值為

11、 cm 。 4. 下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（ ） A.1cm，2cm，3cm B.2cm，3cm，4cm C.4cm，6cm，8cm D.5cm，6cm，12cm 5. 已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則下列四條線段中能作為第三邊的是（ ） A. 13cm B.6cm C. 5cm D. 4cm 6. 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，5，x，則x不可能是（ ） A. 3 B.5 C. 7 D. 9

12、 7. 如果三角形的兩邊分別是3和5，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能是（ ） A.15 B.16 C. 8 D.7 8. 現(xiàn)有2厘米、4厘米、5厘米、8厘米的四根木棒，任意選取三根組成一個(gè)三角形，那么可以組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè) 9.若△ABC的三邊長(zhǎng)是整數(shù)，周長(zhǎng)為11，且有一邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10.1

13、.如果線段能組成一個(gè)三角形，則他們的長(zhǎng)度之比可能是（ ） A. B. C. D. 課時(shí)4 三角形的內(nèi)角和（1） 一、自學(xué)導(dǎo)航 1．三角形的內(nèi)角和定理： 。 2. 探究三角形內(nèi)角和定理的辦法： ⑴通過作平行線，把三角形轉(zhuǎn)化到一個(gè)頂點(diǎn)上去，利用平角得證； ⑵通過作平行線，把三角形放到一組平行的同旁內(nèi)角里得證； ⑶把三個(gè)角同時(shí)移到某邊的一點(diǎn)上，利用平角得證。 3. 三角形的分類：三角形的分類： 4. 直角三角形的兩銳角

14、 。 5. 多邊形內(nèi)角和定理： 二、問題探究 問題一：利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行有關(guān)角度的計(jì)算。 【解析】：靈活運(yùn)用內(nèi)角和定理，注意體會(huì)等量代換在解數(shù)學(xué)題中的妙用。 例1. 例2. 三、當(dāng)綜合運(yùn)用： 1. 在 2. 3. 一個(gè)三角形中最多有 個(gè)直角，最多有 個(gè)鈍角，最多有 個(gè)銳角。 4. 三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2︰3︰7，這個(gè)三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 5. 在 A．

15、 B． C． D． A B C 1 2 6. 如圖，已知在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1＋∠2的度數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 7. 如圖，中，，過點(diǎn)且平行于，若，則的度數(shù)為（ ） A. B. C. D. 四、拓展提高： A B C E 1. 如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝80°，AE平分BAC，∠B＝60°。求∠AEC的度數(shù)。 課時(shí)5. 三角形的內(nèi)角

16、和（2） 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的 組成的角，叫作三角形的外角。 2. 三角形外角的性質(zhì)： ⑴三角形的外角與相鄰內(nèi)角 ； ⑵三角形的一個(gè)外角 和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； ⑶三角形的一個(gè)外角 任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 3. 三角形外角和定理：三角形的三個(gè)外角和為 。 4. 多邊形外角和定理：三角形的三個(gè)外角和為 。 二、問題探究 問題一：利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算。 【解析】：將已知角和未知角集中在一個(gè)三角形中進(jìn)行研究，是解

17、決問題的常用方法。 例1. 如圖， 已知∠1＝27.5°∠2＝95°，∠3＝38.5°，求∠4的度數(shù)。 F A B C E D 1 3 4 2 問題二： 利用三角形外交和的應(yīng)用。 【解析】：因?yàn)槿切蔚囊粋€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是互補(bǔ)關(guān)系，所以可由三角形的外角和、內(nèi)角和定理交互運(yùn)用解決。 例2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角的度數(shù)比為，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)。 三、綜合運(yùn)用： 1. 已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是40°，且∠A＝∠B，則∠C的外角大小是 。 2. 如圖，已知∠1

18、=100°， ∠2=140°，那么∠3=___ _。 3.下列命題：①一個(gè)外角小于內(nèi)角的三角形是鈍角三角形；②一個(gè)外角大于內(nèi)角的三角形是銳角三角形；③菱形的四條邊都相等；④等腰三角形的底角必定是銳角；⑤等腰三角形一邊上的高就是這樣上的中線,其中正確說法有（ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4. 下列命題中假命題是（ ） A. 一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于60度； B. 有一個(gè)外角是銳角的三角形是鈍角三角形； C. 銳角三角形中，兩個(gè)角的和小于直角； D. 直角三角形中，有一個(gè)外角等于和它的相鄰的內(nèi)角

19、。 5. 一多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則這個(gè)多邊形是（ ） A. 十二邊形 B. 十邊形 C. 八邊形 D. 六邊形 A 1 2 B 6. 如圖

20、所示，三角形紙片ABC中，∠A＝65o，∠B＝75o，將紙片的一角折疊，頂點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20o，則∠2的度數(shù)為___ ___。 A B C P 3. 如圖，P為三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，試比較∠BPC與∠A的大小。 課時(shí)6 角平分線的性質(zhì) 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 角平分線的定義：把一個(gè)角分成兩個(gè) 的角的 ，叫作角平分線。 2. 角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的 點(diǎn) 。 逆定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn) 在

21、 。 3. 三角形的角平分線性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊的距離 。 4. 角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是 。 二、問題探究 問題一：有關(guān)角平分線的性質(zhì)計(jì)算和解決問題。 【解析】：運(yùn)用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角度和解決問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住符合該性質(zhì)的條件，進(jìn)而準(zhǔn)確的把線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移。 例1. 在△ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC的平分線，∠A=20o，求∠BDC的度數(shù)。 B A C D F E 例2. 如圖，已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，EF⊥D

22、C，DE平分∠AEF，CE平分∠BEF，請(qǐng)你說明AD＋BC與CD的關(guān)系，并說明理由。 三、當(dāng)堂訓(xùn)練： B P D A 0 C 1. 如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線OM上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，若PC＝3，那么PD的長(zhǎng)為（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 如圖（與1題同圖），點(diǎn)P是∠AOB平分線OM上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，若∠AOB＝66°，那么∠CPO的度數(shù)為（ ） A. 45° B.50°

23、 C. 57° D. 66° 3. 如圖（與1題同圖），點(diǎn)P是∠AOB平分線OM上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，若OC＝6cm，PC＝2cm，那么 。 4. 如圖（與1題同圖），點(diǎn)P是∠AOB平分線OM上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D，若 ，則PD＝ 。 5. 近年來，國家實(shí)施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P，張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)(如圖所示)。醫(yī)療站必須滿足下列條件： ①使其到兩公路距離相等； ②到張、李兩村的距離也相等，請(qǐng)你通過作圖確

24、定P點(diǎn)的位置。 D E B A C 6. 如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)C落在AB邊E處，折痕為AD，若∠B＝40°,∠CAD＝25°，AC＝8cm，求AE的長(zhǎng)。 課時(shí)7 等腰三角形的性質(zhì) 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 定義：有 的三角形叫做等腰三角形，其中，相等的兩邊叫做 ，另一邊叫做 ，兩腰的夾角叫做 ，底邊與腰的夾角叫做 。 2. 等腰三角形的性質(zhì)定理： ⑴ 等腰三角形的兩底角 。（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。 ⑵ 等腰三角形 的平分線平分

25、 ，并且垂直于 。（簡(jiǎn)稱“三線合一”） ⑶ 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是 。 3. 等腰三角形三邊，三角的關(guān)系： ⑴ 設(shè)腰長(zhǎng)為，底邊為，則0＜＜； ⑵ 設(shè)底角為α，頂角為β，則。 4. 等腰三角形常用的輔助線： ⑴ 作底邊的高、中線或頂角的平分線； ⑵ 底邊有中點(diǎn)，作底邊的高； ⑶ 作底邊的平行線。 二、問題探究 問題一：利用等腰三角形的性質(zhì)求邊或角的應(yīng)用。 例1. 等腰三角形的周長(zhǎng)為30，腰上的中線把它分成兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為6，求各邊的長(zhǎng)。

26、 例2. 在 D B A C 三、綜合訓(xùn)練： 1. 若等腰三角形的一個(gè)外角等于70°，這它的底角為 度。 2. 若等腰三角形一個(gè)角為72°，那么頂角為 。 3. 若等腰三角形一邊為2，一邊為5，則第三邊為 。 4. △ABC中，AB＝AC，AD是它的頂角平分線，如果AD＝5，△ABC的周長(zhǎng)為13，那么 5. 若某等腰三角形的周長(zhǎng)為24，一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形分成周長(zhǎng)之差為3的兩個(gè)三角形，則此等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

27、 ） A．7 B．8 C．9 D．7或9 6. 如圖，中，的平分線相交于點(diǎn)，過作，若，則等于（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 7. 已知：如圖△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，試判斷三角形EDC的形狀，并說明理由。 8.如右圖，在△ABC中，AB＝AC，D是AC邊上一點(diǎn)，且BD＝BC＝AD，試求∠A的度數(shù)。 D C

28、 B A 9. 如圖，等腰直角三角形ABC直角邊長(zhǎng)為1，以它的斜邊上的高為腰做第一個(gè)等腰直角三角形；再以所做的第一個(gè)等腰直角三角形的斜邊上的高為腰做第二個(gè)等腰直角三角形；……以此類推，這樣所做的第個(gè)等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為 。 10. 在在△ABC中，AB＝AC，D為CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥BC，試說明∠ADE＝∠AED。 A E D C B F 課

29、時(shí)8 等腰三角形的判定 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 等腰三角形的判定定理：在一個(gè)三角形中，相等的角，所對(duì)的邊 簡(jiǎn)寫成（“等角對(duì)等邊”）。 作用：是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)。 2. 等腰三角形的尺規(guī)作圖： 利用線段的垂直平分線性質(zhì)作為依據(jù)作等腰三角形。 3. 等腰直角三角形的有關(guān)知識(shí)： ⑴ 等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，并且都等于 °； ⑵ 等腰直角三角形的斜邊上的中點(diǎn)到兩直角邊的距離相等，且斜邊上的中線等于斜邊的一半。 二、問題探究 問題一：等腰三角形判

30、定定理的運(yùn)用。 【解析】：判斷等腰三角形，除利用定義外，能找到相等的角也可。 例1. 如圖，中，的平分線相交于點(diǎn)，過作，交AB于D，交AC于E，若的兩邊AB、AC的長(zhǎng)分別為12cm，10cm，求的周長(zhǎng)。 問題二、等腰三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用。 C B A D 例2. 如圖，,試求：BC＝DC。 問題三：等腰三角形的性質(zhì)與判定定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用。 例2. 一輪船由西向東航行，在A處測(cè)得小 島P的方位是北偏東75°，又航行7海里后， 在B處

31、測(cè)得小島P的方位是北偏東60°，問 此時(shí)輪船距小島多少海里？ 問題四：利用尺規(guī)作圖，根據(jù)已知條件（已知線段）作等腰三角形。 例1. 已知：線段， 求作:等腰△ABC，使，.（可參見教材） 三、綜合運(yùn)用： D C B A 1. 如圖，在△ABC中， ，，那么： ⑴ ⑵ ⑶ 圖中的等腰三角形分別有 。 2. 等腰直角三角形的面積為4，那么底邊上 的高位 。 3. 如圖，中，，D、 E是BC上兩點(diǎn)，且，則圖 E D B

32、 A C 中等腰三角形 的個(gè)數(shù)有（ ） A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè) 4. 已知一等腰三角形的一個(gè)外角為110°，則這個(gè)等腰三角形的底角為 。 F B C E A 5. 如圖，已知：AB∥EF，CE=CA，∠E=，則∠CAB的度數(shù)為（ ） A. 25° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點(diǎn) F是CD的中點(diǎn)。⑴求證：AF⊥CD． ⑵在你連接BE 后，還能得出什么 新的結(jié)論？請(qǐng)寫 出三個(gè)．（不用證

33、 明） 7. 在四邊形ABCD中，，試說明。 D B A C 8. 如圖在Rt△ABC中，∠B=90°，ED垂直平分AC交AC于D，BC于E，， 求：∠C的度數(shù)。 9. 已知腰長(zhǎng)和底邊上的高，作等腰三角形。 已知：線段， 求作：等腰△ABC，使腰AB＝AC＝ ，底邊BC的高AD＝， 課時(shí)9 等邊三角形 一、自學(xué)導(dǎo)航 1. 等邊三角形： 的三角形叫作等邊三角形。 2. 等邊三角形的性質(zhì)： ⑴ 等邊三角形的三條邊都

34、 ； ⑵ 等邊三角形的三個(gè)角都 ，并且每個(gè)角都等于 ； ⑶ 等邊三角形每條邊上的都有“三線合一”； ⑷ 等邊三角形是 對(duì)稱圖形，有 條對(duì)稱軸。 3.等邊三角形的判定： ⑴ 三條邊都 的三角形是等邊三角形； ⑵ 三個(gè)角都 的三角形是等邊三角形，或三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形； ⑶ 有一個(gè)角是60°的 是等邊三角形。 4. 直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的 。 二、問題

35、探究 問題一：等邊三角形的性質(zhì)與判定的運(yùn)用。 【解析】：解決此類問題，需要充分利用“等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊”及等邊三角形內(nèi)角都是60°的性質(zhì)。 例1. 在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC大點(diǎn)E，使， 求：⑴ BE的長(zhǎng)； ⑵ BD＝ED嗎？為什么？ E D B A C 問題二：含30°的角的直角三角形的應(yīng)用。 【解析】：準(zhǔn)確作出高并利用直角三角形的性質(zhì)是解決本類問題的關(guān)鍵，含30°角的直角三角形的性質(zhì)在計(jì)算中應(yīng)用十分廣泛。 例2. 如圖，，求腰AB上的高。 B A C

36、 三、綜合運(yùn)用： 1. 有一個(gè)角為60°的等腰三角形是 三角形。 2. 若等腰三角形的頂角為120°，腰長(zhǎng)為2，則該三角形底邊上的高為 。 3. 已知，在△ABC中， 的平分線交BC于點(diǎn)D ，則BD＝ 。 5. 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40cm，以一腰為邊的等腰三角形，其周長(zhǎng)為45cm，則原三角形的底邊長(zhǎng)為（ ） A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm 6. 在等邊三角形ABC所在平面內(nèi)求一點(diǎn)p，使△PAB、△PB

37、C、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)一共有（ ） A.1個(gè) B. 4個(gè) C. 7個(gè) D. 10個(gè) 7. △ABC的三邊滿足關(guān)系式 ，則這個(gè)三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8.如圖，P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且 Q B A C P ， 則的大小為 。 9. 已知，如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，CD⊥AB。 求證：（1）AB＝2BC；

38、 （2）CE＝AE＝EB 10. 如圖， ，試求 的度數(shù)。 D B A C 11. 如圖，在△ABC中，AD交BC邊于點(diǎn)D，CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°,DC＝2BD，試求∠C的度數(shù)。 A C B D E 第5章單元測(cè)試題 一、選擇題(每小題3分，滿分24分) 1.

39、下列四個(gè)圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 2. 已知直線MN是線段AB的垂直平分線，下列說法中正確的是（ ） A、與線段AB距離相等的點(diǎn)在直線MN上 B、與點(diǎn)A和點(diǎn)B距離相等的點(diǎn)在直線MN上 C、與直線MN距離相等的點(diǎn)在直線AB上 D、線段AB的垂直平分線MN 3. 點(diǎn)P為∠AOB的角平分線OM上一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO

40、 D．OC＝PD 4. 已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則下列長(zhǎng)度的線段中能作為第三條邊的是（ ） A．13cm B．6cm C． 5cm D． 4cm E D B A C 5. 如圖，中，，D、E是BC上兩點(diǎn)，且，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有（ ） A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè) 6. 等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5cm，另一邊長(zhǎng)為7cm，則其周長(zhǎng)為（ ） A．12cm B．17cm C． 19cm D． 17

41、cm或19cm 7. 如圖，中，的平分線相交于點(diǎn)，過作，若，則等于（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 8. 已知等腰三角形ABC的 底邊BC＝8㎝，且∣AC－BC∣＝2㎝，則腰AC的長(zhǎng)為（ ） A．10㎝或6 ㎝ B. 10 ㎝ C. 6 ㎝ D. 8㎝或6 ㎝ 二、填空題(每小題3分，滿分30分) 9. 角是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是________________________所在的直線． 10.如圖，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于D點(diǎn)，AE∥DC交BC

42、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠E=36°，則∠B= 度． 11.若在四條長(zhǎng)度分別為1cm，2cm，3cm，4cm的線段中任選其中三條組成三角形，則所組成的三角形中周長(zhǎng)最小為 。 12.若三角形的一邊的中線把它分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)分別為9cm和6cm，則此三角形的另兩邊之差為 cm。 13.△ABC中，AB=AC，BD是三角形的角平分線，∠BDC=75°，則∠A= 。 14.?已知，P為等邊△ABC所在平面上一點(diǎn),且△PAB,△PBC,△PCA都是等腰三角形,這樣的點(diǎn)P有___ ____個(gè)。 15. 等腰三角形的一個(gè)

43、底角為，則頂角的度數(shù)是 度． C B D E A 16. 如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周長(zhǎng)等于AB+BC；（4）D是AC中點(diǎn)。其中正確的命題序號(hào)是 。 E B D C A 三、解答題：（共5個(gè)小題，滿分52分） 21. （10分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分斜邊AB，分別交AB，BC于D，E。若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB。 Q B A C P

44、 22. （10分）如圖，P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且 ，試求的大小。 O C · B A 24.（10分）某玫舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，BO桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？（尺規(guī)作圖，并寫出作法） F E D C B A 23.（10分）如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)AF。求證：∠B=∠CAF。 F E D C B A 25．（12分）如圖，△DEF中，DE=DF，過EF上一點(diǎn)A作直線分別與DE、DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，C，且BE=CF。 （1）求證：AB=AC。 （2）若AB=AC，則BE、CF之間有何關(guān)系？為什么？