2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.10.2 圓錐曲線中的探究性問題練習(xí) 理 北師大版

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1、10.10.2 圓錐曲線中的探究性問題核心考點精準研析考點一探究數(shù)量關(guān)系【典例】(2021宜昌模擬)橢圓P:+=1(ab0)的離心率為,橢圓上的點到左焦點的最小值為2-. (1)求橢圓P的方程.(2)直線x=1與x軸交于點M,過點M的直線AB與P交于A、B兩點,點P為直線x=1上任意一點,設(shè)直線AB與直線x=4交于點N,記PA,PB,PN的斜率分別為k1,k2,k0,那么是否存在實數(shù),使得k1+k2=k0恒成立?假設(shè)是,請求出的值;假設(shè)不是,請說明理由.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)根據(jù)題干條件列出a,b,c的關(guān)系求解(2)將直線AB與橢圓P的方程聯(lián)立,消元后建立兩點坐標之間的關(guān)系,兩點坐標求

2、三個斜率值,代入等式確定實數(shù)的值【解析】(1)橢圓上的左頂點到左焦點的距離最小為2-=a-c,結(jié)合題干條件得到 解之得 ,故橢圓P的方程為:+y2=1.(2)設(shè)A,B,P,M,假設(shè)直線AB與x軸不重合時,設(shè)直線AB的方程為x=my+1,點N,k0=,將直線代入橢圓方程整理得:y2+2my-3=0,顯然0,那么y1+y2=-,y1y2=-,k1+k2=+ = =2=2k0,假設(shè)直線AB與x軸重合時,那么B,A,N,此時k1+k2=+=-t,而k0=-t,故k1+k2=2k0. 綜上所述,存在實數(shù)=2符合題意.1.探究性問題求解的思路及策略(1)思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,假設(shè)結(jié)論正確,

3、那么存在;假設(shè)結(jié)論不正確,那么不存在.(2)策略:當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件.在這個解題思路指導(dǎo)下解決探索性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差異.2.解決存在性問題的一些技巧(1)特殊值(點)法:對于一些復(fù)雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立.(2)核心變量的選取:因為解決存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量,其余變量作為輔助變量,必要的時候消去.(3)核心變量的求法:直接法:利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進行求解,間接法:假設(shè)無法直

4、接求出要素,那么可將核心變量參與到條件中,列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程(組),運用方程思想求解.(2021廣州模擬)橢圓E:+=1(ab0)的離心率為,且點P在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程.(2)過點M(1,1)任作一條直線l,l與橢圓E交于不同于P點的A,B兩點,l與直線m:3x+4y-12=0交于C點,記直線PA,PB,PC的斜率分別為k1,k2,k3.試探究k1+k2與k3的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)因為橢圓E:+=1(ab0)的離心率為,所以e=a=2c,因為a2=b2+c2,所以b=c.故可設(shè)橢圓E的方程為:+=1,因為點P在橢圓E上,所以將其代入橢圓E的方程得+=1c

5、2=1.所以橢圓E的方程為+=1.(2)依題意,直線l不可能與x軸垂直,故可設(shè)直線l的方程為:y-1=k(x-1), 即y=kx-k+1,A(x1,y1),B(x2,y2)為l與橢圓E的兩個交點.將y=kx-k+1代入方程3x2+4y2-12=0化簡得(4k2+3)x2-8(k2-k)x+4k2-8k-8=0.所以x1+x2=,x1x2=.所以k1+k2=+=+=2k-=2k-=2k-=,又由3x+4(kx-k+1)-12=0,解得x=,y=,即C點的坐標為,所以k3=.因此,k1+k2與k3的關(guān)系為:k1+k2=2k3. 考點二探究定點與定值【典例】(2021成都模擬)橢圓C:+=1(ab0

6、)的離心率為,直線x+y-1=0被圓x2+y2=b2截得的弦長為.(1)求橢圓C的方程;(2)過點(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點,在x軸上是否存在定點P,使得為定值?假設(shè)存在,求出點P的坐標和的值;假設(shè)不存在,請說明理由.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系,與離心率為聯(lián)立求a,b.(2)將直線AB與橢圓C的方程聯(lián)立,建立交點坐標之間的關(guān)系.需要注意直線是否與x軸重合的處理.【解析】(1)因為橢圓C的離心率為,所以a=b,因為圓x2+y2=b2的圓心到直線x+y-1=0的距離為d=,所以直線x+y-1=0被圓x2+y2=b2截得的

7、弦長為2=2=.解得b=1,故a=b=,所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)設(shè)P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),當直線l與x軸不重合時,設(shè)l的方程:x=my+1.由得(m2+2)y2+2my-1=0, 所以x1+x2=,x1x2=+1,=(x1-t,y1)(x2-t,y2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+y1y2=+t2+1=-+t2+1,當=2,即t=時,的值與m無關(guān),此時=-.當直線l與x軸重合且t=時,=-2=-.所以存在點P,使得為定值-.定點與定值的探究性問題,一般采用假設(shè)法.首先根據(jù)所解決的問題設(shè)出參數(shù);然后假設(shè)定點存在,定值成立,再根據(jù)定點與定值問題的解決方法

8、,列出參數(shù)所滿足的等式關(guān)系,那么可將探究性問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的解的存在性問題.(2021九江模擬)F1,F2是離心率為的橢圓E:+=1 (ab0)的兩焦點,假設(shè)存在直線l,使得F1,F2關(guān)于l的對稱點的連線恰好是圓C:x2+y2-2mx-4my+5m2-1=0 的一條直徑.(1)求橢圓E的方程;(2)過橢圓E的上頂點A作斜率為k1,k2的兩條直線AB,AC,兩直線分別與橢圓交于B,C兩點,當k1k2=-2時,直線BC是否過定點?假設(shè)是,求出該定點,假設(shè)不是,請說明理由.【解析】(1)將圓C的方程配方得+=1,所以其圓心為,半徑為1.由題意知,橢圓E的焦距2c等于圓C的直徑,所以c=1,又e

9、=,所以a=,b2=a2-c2=1,所以橢圓E的方程為+y2=1.(2)因為k1k2=-21),設(shè)A為圓C與x軸負半軸的交點,過點A作圓C的弦AM,并使弦AM的中點恰好落在y軸上.(1)求點M的軌跡E的方程.(2)延長MC交曲線E于點N,曲線E在點N處的切線與直線AM交于點B,試判斷以點B為圓心,線段BC長為半徑的圓與直線MN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)相關(guān)點法求點的軌跡方程(2)圓心為B,半徑為|BC|,故只需比擬點B到直線MN的距離與|BC|的大小即可【解析】(1)設(shè)M(x,y),由題意可知,A(1-r,0),AM的中點D,x0,因為C(1,0),所以=,=.

10、在C中,因為CDDM,所以=0,所以x-=0,即y2=4x(x0),所以點M的軌跡E的方程為y2=4x(x0).(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),y2-4my-4=0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4,又r-1=x1,那么點A(-x1,0),所以直線AM的方程為y=x+.設(shè)直線BN的方程為y=k+y2,聯(lián)立整理得ky2-4y+4y2-k=0,由=0可得k=,那么直線BN的方程為y=x+.聯(lián)立可得xB=-1,yB=2m,所以點B(-1,2m),|BC|=2,所以點B到直線MN的距離d=2=|BC|,所以B與直線MN相切.直線與曲線位置關(guān)系的探究性問題,

11、關(guān)鍵是利用代數(shù)法或幾何法將直線和曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的探究問題來解決.如該題中探究直線和圓的位置關(guān)系,只需比擬圓的半徑與圓心到直線的距離大小即可.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(ab0)的焦距為4,且過點(2,).(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓C的上頂點為B,右焦點為F,直線l與橢圓交于M,N兩點,問是否存在直線l,使得F為BMN的垂心,假設(shè)存在,求出直線l的方程;假設(shè)不存在,說明理由.【解析】(1)由可得,解得a2=8,b2=4,c=2,所以橢圓C的方程為+=1.(2)由可得,B(0,2),F(2,0),所以kBF=-1.因為BFl,所以可

12、設(shè)直線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程整理,得3x2+4mx+2m2-8=0.那么=(4m)2-12(2m2-8)=96-8m20,得m212.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),那么x1+x2=-,x1x2=,因為BNMF,所以=-1.即y1y2+x1x2-2y1-2x2=0.因為y1=x1+m,y2=x2+m,所以(x1+m)(x2+m)+x1x2-2(x1+m)-2x2=0,即2x1x2+(m-2)(x1+x2)+m2-2m=0,所以2+(m-2)+m2-2m=0.所以3m2+2m-16=0,所以m=-或m=2.又m=2時,直線l過B點,不合要求,所以m=-,故存在直線l:y=x-滿

13、足題設(shè)條件.【變式備選】1.(2021人大附中模擬)橢圓C:+=1的離心率等于,P,Q(2,-3)是橢圓上的兩點.(1)求橢圓C的方程.(2)A,B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點.當A,B運動時,滿足APQ=BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值?如果為定值,請求出此定值;如果不是定值,請說明理由.【解析】(1)由題意可得 ,解得a=4,b=2,c=2.所以橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),當APQ=BPQ時,那么PA、PB的斜率之和為0,設(shè)直線PA的斜率為k,那么PB的斜率為-k,PA的直線方程為y-3=k(x-2),聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2+8k(3-2k

14、)x+4(3-2k)2-48=0.所以x1+2=.同理PB的直線方程為y-3=-k(x-2),可得x2+2=.所以x1+x2=,x1-x2=,kAB= =,所以直線AB的斜率為定值.2.如圖,A,B是橢圓C:+y2=1長軸的兩個端點,M,N是橢圓上與A,B均不重合的相異兩點,設(shè)直線AM,BN,AN的斜率分別是k1,k2,k3.(1)求k2k3的值.(2)假設(shè)直線MN過點,求證:k1k3=-.(3)設(shè)直線MN與x軸的交點為(t,0)(t為常數(shù)且t0),試探究直線AM與直線BN的交點Q是否落在某條定直線上?假設(shè)是,請求出該定直線的方程;假設(shè)不是,請說明理由.【解析】(1)設(shè)N(x0,y0),由于A

15、(-,0),B(,0),所以k2k3=,因為N(x0,y0)在橢圓C上,于是+=1,即-2=-2,所以k2k3=-. (2)設(shè)直線MN:x=my+,M(x1,y1),N(x2,y2),由得(m2+2)y2+my-=0.于是y1+y2=-,y1y2=-,k1k3=-.(3)由于直線MN與x軸的交點為(t,0),于是直線MN的方程:x=my+t,聯(lián)立直線MN:x=my+t與橢圓C:+y2=1的方程,可得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,于是y1+y2=-,y1y2=,因為直線AM:y=(x+),直線BN:y=(x-),兩式相除,可知=,于是xt=2,所以x=,即直線AM與直線BN的交點Q落在定直線x=上.- 16 -