六年級數(shù)學(xué)下冊 第5單元《數(shù)學(xué)廣角 （鴿巢問題）》鴿巢問題教案 新人教版

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1、5數(shù)學(xué)廣角——鴿巢問題 【教學(xué)目標(biāo)】 1.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測、實驗推理等活動，經(jīng)歷探究鴿巢問題的過程，初步了解鴿巢問題，會用鴿巢問題解決簡單的生活問題。 2.培養(yǎng)學(xué)生解決簡單實際問題的能力。 3.通過鴿巢問題的靈活運用，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。 【重點難點】 重點：靈活應(yīng)用鴿巢問題解決實際問題。 難點：理解鴿巢問題。 【教學(xué)指導(dǎo)】 1.讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。可以鼓勵引導(dǎo)學(xué)生借用學(xué)具、實物操作或畫草圖的方法進行說理。通過說理的方式理解鴿巢問題的過程是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通過這樣的方式，有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后思維嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明做準(zhǔn)備。 2

2、.有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。當(dāng)我們面對一個具體問題時，能否將這個具體問題和鴿巢問題聯(lián)系起來，能否找到該問題的具體情境與鴿巢問題的一般化模型之間的內(nèi)在關(guān)系，找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“鴿巢”，是解決該問題的關(guān)鍵。教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬于鴿巢問題的范疇，再思考如何尋找隱藏在其背后的鴿巢問題的一般模型。這個過程是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程，從復(fù)雜的現(xiàn)實素材中找出最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，是體現(xiàn)學(xué)生思維和能力的重要方面。 3.要適當(dāng)把握教學(xué)要求。鴿巢問題本身或許并不復(fù)雜，但其應(yīng)用廣泛且靈活多變。因此，用鴿巢問題解決實際問題時，經(jīng)常會遇到一些困難，所以有時找到實際問題與鴿巢

3、問題之間的聯(lián)系并不容易,即使找到了，也很難確定用什么作為“鴿巢”。因此，教學(xué)時，不必過分要求學(xué)生說理的嚴(yán)密性，只要能結(jié)合具體問題，把大致意思說出來就行了，鼓勵學(xué)生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。 【課時安排】 建議共分2課時： 數(shù)學(xué)廣角…………………………………………………………………2課時 【知識結(jié)構(gòu)】 第1課時 鴿巢問題（1） 【教學(xué)內(nèi)容】最簡單的鴿巢問題（教材第68頁例1和第69頁例2）。 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解簡單的鴿巢問題及鴿巢問題的一般形式，引導(dǎo)學(xué)生采用操作的方法進行枚舉及假設(shè)法探究“鴿巢問題”。 2.體會數(shù)學(xué)知識在日常生活中的廣泛應(yīng)用，

4、培養(yǎng)學(xué)生的探究意識。 【重點難點】了解簡單的鴿巢問題，理解“總有”和“至少”的含義。 【教學(xué)準(zhǔn)備】實物投影，每組3個文具盒和4枝鉛筆。 【情景導(dǎo)入】 教師：同學(xué)們，你們在一些公共場所或旅游景點見過電腦算命嗎？“電腦算命”看起來很深奧，只要你報出自己的出生年月日和性別，一按鍵，屏幕上就會出現(xiàn)所謂性格、命運的句子。通過今天的學(xué)習(xí)，我們掌握了“鴿巢問題”之后，你就不難證明這種“電腦算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戲了。(板書課題：鴿巢問題) 教師：通過學(xué)習(xí)，你想解決哪些問題？ 根據(jù)學(xué)生回答，教師把學(xué)生提出的問題歸結(jié)為：“鴿巢問題”是怎樣的？這里的“鴿巢”是指什么？運用“鴿

5、巢問題”能解決哪些問題？怎樣運用“鴿巢問題”解決問題？ 【新課講授】 1.教師用投影儀展示例1的問題。 同學(xué)們手中都有鉛筆和文具盒，現(xiàn)在分小組形式動手操作：把四支鉛筆放進三個標(biāo)有序號的文具盒中，看看能得出什么樣的結(jié)論。 組織學(xué)生分組操作，并在小組中議一議，用鉛筆在文具盒里放一放。 教師指名匯報。 學(xué)生匯報時會說出：1號文具盒放4枝鉛筆，2號、3號文具盒均放0枝鉛筆。 教師：不妨將這種放法記為（4,0,0）?！舶鍟海?,0,0）〕 教師提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）為一種放法。 教師：除了這種放法，還有其他的方法嗎？教師再指名匯報。學(xué)生會有（4，0，0）（

6、0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）四種不同的方法。教師板書。 教師：還有不同的放法嗎? 教師：通過剛才的操作，你能發(fā)現(xiàn)什么?（不管怎么放,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。） 教師:“總有”是什么意思?（一定有） 教師:“至少”有2枝什么意思?（不少于兩只,可能是2枝,也可能是多于2枝） 教師：就是不能少于2枝。(通過操作讓學(xué)生充分體驗感受) 教師進一步引導(dǎo)學(xué)生探究：把5枝鉛筆放進4個文具盒，總有一個文具盒要放進幾枝鉛筆？指名學(xué)生說一說，并且說一說為什么？教師:把4枝筆放進3個盒子里,和把5枝筆放進4個盒子里,不管怎么放,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。這是我們通過實際操作發(fā)現(xiàn)的這

7、個結(jié)論。那么,我們能不能找到一種更為直接的方法,只擺一種情況,也能得到這個結(jié)論呢? 學(xué)生思考——組內(nèi)交流——匯報 教師:哪一組同學(xué)能把你們的想法匯報一下? 學(xué)生會說:我們發(fā)現(xiàn)如果每個盒子里放1枝鉛筆,最多放3枝,剩下的1枝不管放進哪一個盒子里,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。 教師:你能結(jié)合操作給大家演示一遍嗎?(學(xué)生操作演示) 教師:同學(xué)們自己說說看,同桌之間邊演示邊說一說好嗎? 教師:這種分法,實際就是先怎么分的? 學(xué)生：平均分。 教師:為什么要先平均分?(組織學(xué)生討論) 學(xué)生匯報：要想發(fā)現(xiàn)存在著“總有一個盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在哪個盒子里,一定

8、會出現(xiàn)“總有一個盒子里一定至少有2枝”。 這樣分,只分一次就能確定總有一個盒子至少有幾枝筆了? 教師:同意嗎?那么把5枝筆放進4個盒子里呢?(可以結(jié)合操作,說一說) 教師:哪位同學(xué)能把你的想法匯報一下？ 學(xué)生:(一邊演示一邊說)5枝鉛筆放在4個盒子里,不管怎么放,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。 師:把6枝筆放進5個盒子里呢?還用擺嗎? 生:6枝鉛筆放在5個盒子里,不管怎么放,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。 師:把7枝筆放進6個盒子里呢?把8枝筆放進7個盒子里呢?把9枝筆放進8個盒子里呢?…… 教師：你發(fā)現(xiàn)什么? 學(xué)生：鉛筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1,不管怎么放,總有一個盒子里至少有2

9、枝鉛筆。 教師:你們的發(fā)現(xiàn)和他一樣嗎?(一樣)你們太了不起了!同桌互相說一遍。把100枝鉛筆放進99個文具盒里會有什么結(jié)論？一起說。 鞏固練習(xí)：教材第68頁“做一做”。 A組織學(xué)生在小組中交流解答。 B指名學(xué)生匯報解答思路及過程。 2.教學(xué)例2。 ①出示題目:把7本書放進3個抽屜里,不管怎么放,總有一個抽屜里至少有幾本書?請同學(xué)們小組合作探究。探究時，可以利用每組桌上的7本書。 活動要求： a.每人限獨立思考。b.把自己的想法和小組同學(xué)交流。c.如果需要動手操作，可以利用每桌上的7本書，要有分工，并要全面考慮問題。(誰分鉛筆，誰當(dāng)抽屜，誰記錄等)d.在全班交流匯報。(師巡視了解

10、各種情況) 學(xué)生匯報。 哪個小組愿意說說你們的方法？把你們的發(fā)現(xiàn)和大家一起分享，學(xué)生可能會有以下方法： a.動手操作列舉法。 學(xué)生：通過操作，我們把7本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放進3本書。 b.數(shù)的分解法。 把7分解成三個數(shù)，有（7,0），（6,1），（5,2），（4,3）四種情況。在任何一種情況下，總有一個數(shù)不小于3。 教師：通過動手?jǐn)[放及把數(shù)分解兩種方法，我們知道把7本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放進幾本書?(3本) ②教師質(zhì)疑引出假設(shè)法。 教師：同學(xué)們通過以上兩種方法，知道了把7本書放進3個抽屜，總有一個抽屜至少放進3本書，但隨著書的本數(shù)越多，數(shù)據(jù)變大，如：

11、要把155本書放進3個抽屜呢？用列舉法、數(shù)的分解法會怎么樣？（繁瑣）我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的方法呢？請同學(xué)們想想。 板書:7本3個2本……余1本(總有一個抽屜里至少有3本書) 8本3個2本……余2本(總有一個抽屜里至少有3本書) 10本3個3本……余1本(總有一個抽屜里至少有4本書) 師:2本、3本、4本是怎么得到的? 生：完成除法算式。 7÷3=2本……1本(商加1) 8÷3=2本……2本(商加1) 10÷3=3本……1本(商加1) 師:觀察板書你能發(fā)現(xiàn)什么? 學(xué)生：“總有一個抽屜里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。 師:如果把5本書放進3個抽屜里,不

12、管怎么放,總有一個抽屜里至少有幾本書? 學(xué)生:“總有一個抽屜里至少有3本”只要用5÷3=1本……2本,用“商+2”就可以了。 學(xué)生有可能會說：不同意!先把5本書平均分放到3個抽屜里,每個抽屜里先放1本,還剩2本,這2本書再平均分,不管分到哪兩個抽屜里,總有一個抽屜里至少有2本書,不是3本書。 師:到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”呢?誰的結(jié)論對呢?在小組里進行研究、討論、交流、說理活動。 可能有三種說法：a.我們組通過討論并且實際分了分,結(jié)論是總有一個抽屜里至少有2本書,不是3本書。 b.把5本書平均分放到3個抽屜里,每個抽屜里先放1本,余下的2本可以在2個抽屜里再各放1本,結(jié)論是“總

13、有一個抽屜里至少有2本書”。 c.我們組的結(jié)論是5本書平均分放到3個抽屜里,“總有一個抽屜里至少有2本書”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。 教師:現(xiàn)在大家都明白了吧?那么怎樣才能夠確定總有一個抽屜里至少有幾個物體呢? 學(xué)生回答：如果書的本數(shù)是奇數(shù),用書的本數(shù)除以抽屜數(shù),再用所得的商加1,就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至少有商加1本書”了。 教師講解：同學(xué)們的這一發(fā)現(xiàn),稱為“抽屜原理”,“抽屜原理”又稱“鴿籠原理”,最先是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄里克雷提出來的,所以又稱“狄里克雷原理”,也稱為“鴿巢原理”。這一原理在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼钡膽?yīng)用是千變?nèi)f化的,用它可以解

14、決許多有趣的問題,并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。 提問：盡量把書平均分給各個抽屜，看每個抽屜能分到多少本書，你們能用什么方式表示這一平均的過程呢？ 學(xué)生在練習(xí)本上列式：7÷3=2……1。 集體訂正后提問：這個有余數(shù)的除法算式說明了什么問題？ 生：把7本書平均放進3個抽屜，每個抽屜有兩本書，還剩一本，把剩下的一本不管放進哪個抽屜，總有一個抽屜至少放三本書。 ③引導(dǎo)學(xué)生歸納鴿巢問題的一般規(guī)律。 a.提問：如果把10本書放進3個抽屜會怎樣？13本呢？ b.學(xué)生列式回答。 c.教師板書算式：10÷3=3……1（總有一個抽屜至少放4本書） 13÷3=4

15、……1（總有一個抽屜至少放5本書） ④觀察特點，尋找規(guī)律。 提問：觀察3組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出：把某一數(shù)量（奇數(shù)）的書放進三個抽屜，只要用這個數(shù)除以3，總有一個抽屜至少放進書的本數(shù)比商多一。 ⑤提問：如果把8本書放進3個抽屜里會怎樣，為什么？ 8÷3=2……2 學(xué)生匯報。可能出現(xiàn)兩種情況：一種認(rèn)為總有一個抽屜至少放3本書；一種認(rèn)為總有一個抽屜至少放4本書。 學(xué)生討論。討論后，學(xué)生明白：不是商加余數(shù)2，而是商加1。因為剩下兩本，也可能分別放進兩個抽屜里，一個抽屜一本，相當(dāng)于數(shù)的分解（3,3,2）。所以，總有一個抽屜至少放3本書。 ⑥總結(jié)歸納鴿巢問題的一般規(guī)

16、律。 要把a個物體放進n個抽屜里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一個抽屜至少放（b+1）個物體。 【課堂作業(yè)】 教材第69頁“做一做”。 （1）組織學(xué)生在小組中交流解答。 （2）指名學(xué)生匯報解答思路及過程。 答案： （1）∵11÷4=2（只）……3（只） 2+1=3(只) ∴一定有一個鴿籠至少飛進3只鴿子。 （2）∵5÷4=1（人）……1（人） 1+1=2(人) ∴一定有一把椅子上至少坐2人。 【課堂小結(jié)】通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？ 【課后作業(yè)】完成練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 第1課時鴿巢問題（1） （4，0，0）（0，1，3）（2,

17、2,0）（2,1,1） 學(xué)生鉛筆的枝數(shù)比盒子數(shù)多1,不管怎么放,總有一個盒子里至少有2枝鉛筆。 5÷2=2……1 7÷2=3……1 9÷2=4……1 要把a個物體放進n個抽屜里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一個抽屜至少放（b+1）個物體。 1.小組活動很容易抓住學(xué)生的注意力，讓學(xué)生覺得這節(jié)課要探究的問題既好玩又有意義。 2.理解“鴿巢問題”對于學(xué)生來說有著一定的難度。 3.大部分學(xué)生很難判斷誰是物體，誰是抽屜。 4.學(xué)生對“至少”理解不夠，給建模帶來一定的難度。 5.培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，借助直觀操作和假設(shè)法，將問題轉(zhuǎn)化為“有余數(shù)的除法”的形式。可以使學(xué)生更好地理解“抽屜原理”的一般思路。 6.經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在運用新知識靈活巧妙地解決實際問題的過程中進一步體驗數(shù)學(xué)的價值，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。