浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第21講 矩形講解篇

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1、 第21講　矩形、菱形與正方形 1．矩形 考試內(nèi)容 考試 要求 矩形的定義 有一個(gè)角是 的平行四邊形叫做矩形． b 矩形的性質(zhì) (1)矩形具有平行四邊形所有的性質(zhì)． c (2)矩形的四個(gè)角都是 ，對(duì)角線互相平分并且 ． (3)矩形既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心就是 ． 矩形的判定 (1)定義法. (2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． (3) 的平行四邊形是矩形． 2.菱形 考試內(nèi)容 考試 要

2、求 菱形的定義 有一組 的平行四邊形叫做菱形． b 菱形的性質(zhì) (1)菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)． c (2)菱形的四條邊 ，對(duì)角線互相 ，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角． (3)菱形既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸；又是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心就是 ． (4)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的 ． 菱形的判定 (1)定義法． (2)四條邊 的四邊形是菱形． (3)對(duì)角

3、線 的平行四邊形是菱形． 3.正方形 考試內(nèi)容 考試 要求 正方形 的定義 有一組鄰邊 ，并且有一個(gè)角是_______________的平行四邊形叫做正方形． b 正方形 的性質(zhì) (1)正方形的四條邊 ，四個(gè)角都是 ，對(duì)角線互相 且 ，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，具有矩形和菱形的所有性質(zhì)． c (2)正方形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有_____________條，對(duì)稱中心是對(duì)角線的

4、交點(diǎn)． 正方形 的判定 (1)有一組鄰邊相等的____________________是正方形. (2)有一個(gè)角是直角的 是正方形． (3)對(duì)角線 的四邊形是正方形． 4.平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 方法 正方形的判定可簡(jiǎn)記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)． c 1．(2016·杭州)在菱形ABCD中，∠A＝

5、30°，在同一平面內(nèi)，以對(duì)角線BD為底邊作頂角為120°的等腰三角形BDE，則∠EBC的度數(shù)為____________________． 2．(2016·衢州)如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線． (1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD、BC于E、F(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)． (2)連結(jié)BE，DF，問(wèn)四邊形BEDF是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由． 　　　　　　　　 【問(wèn)題】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形．正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊菱形．因此，我們可以利用矩形

6、、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題，回答下列問(wèn)題： (1)將平行四邊形、矩形、菱形、正方形填入它們的包含關(guān)系圖中： (2)要證明一個(gè)四邊形是正方形，可以先證明四邊形是矩形，再證明這個(gè)矩形的________相等；或者先證明四邊形是菱形，再證明這個(gè)菱形有一角是________． (3)如圖菱形ABCD，某同學(xué)根據(jù)菱形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出對(duì)角線長(zhǎng)為a的正方形面積是S＝a2，對(duì)此結(jié)論，你認(rèn)為是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；若不正確，舉出一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明． 【歸納】通過(guò)開放式問(wèn)題，歸納、疏理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系，以及性質(zhì)與判定． 類型一

7、　矩形的性質(zhì)與判定 　(1)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是(　) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD (2)如圖，在矩形ABCD中，有以下結(jié)論： ①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤當(dāng)∠ABD＝45°時(shí)，矩形ABCD會(huì)變成正方形；⑥AC所在直線為對(duì)稱軸；⑦矩形ABCD的周長(zhǎng)是28，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AC＝10時(shí)，△DOE的周長(zhǎng)是12.則正確結(jié)論的序號(hào)是________． 【解后感悟】(1)結(jié)合圖形，利用圖形條

8、件、已知條件綜合判定；(2)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質(zhì)、揭示圖形的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 1． (1)(2015·南昌)如圖，小賢為了檢驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化，下列判斷錯(cuò)誤的是(　　) A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? B．BD的長(zhǎng)度增大 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變 (2)(2015·臨沂)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連結(jié)EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是(　

9、　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．AB＝BE B．DE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 2．(2017·南京模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，P是AD上的點(diǎn)，且∠PNB＝3∠CBN. (1)求證：∠PNM＝2∠CBN； (2)求線段AP的長(zhǎng)． 類型二　菱形的性質(zhì)與判定 　(1)如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，連結(jié)OE， ①若菱形的邊長(zhǎng)是1

10、0，一條對(duì)角線長(zhǎng)是12，則此菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)是______． ②若OE＝3，則菱形的周長(zhǎng)是________． ③若∠ABC＝60°，周長(zhǎng)是16，則菱形的面積是________． (2)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選一個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是菱形，現(xiàn)有下列四種選法，其中都正確的是(　) A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④ 【解后感悟】(1)熟記各種特殊幾何圖形，利用性質(zhì)、揭示圖形的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵；(2)結(jié)合圖形，利用

11、圖形條件、已知條件綜合判定． 3． (1)(2015·黔東南州)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，則DH＝(　　) A. B. C．12 D．24 (2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長(zhǎng)線上，且DE＝DF.給出下列條件： ①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC； 從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形，你認(rèn)為這個(gè)條件是____________________(只填寫序號(hào))． (3) (2016·梅州)如圖，在平行

12、四邊形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F，再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于BF長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連結(jié)EF. ①四邊形ABEF是____________________；(選“矩形”、“菱形”、“正方形”或“無(wú)法確定”)(直接填寫結(jié)果) ②AE，BF相交于點(diǎn)O，若四邊形ABEF的周長(zhǎng)為40，BF＝10，則AE的長(zhǎng)為____________________，∠ABC＝____________________°.(直接填寫結(jié)果) 4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE＝2DE，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝BE，連結(jié)C

13、F. (1)求證：四邊形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積． 類型三　正方形的性質(zhì)與判定 　如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF. 【解后感悟】正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì)．正方形的判定方法有兩條道路：(1)先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形；(2)先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形． 5． (1)(2015·

14、日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ (2)如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE＝(　　) A．2 B．3 C．2 D．2 (3) (201

15、5·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E.若∠CBF＝20°，則∠AED等于____________________度． 6．(2017·紹興模擬)如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E、G在正方形ABCD的邊AB、AD上，連結(jié)BF、DF. (1)求證：BF＝DF； (2)連結(jié)CF，請(qǐng)直接寫出BE∶CF的值(不必寫出計(jì)算過(guò)程)． 　　　　　　　　 類型四　特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用 　(2016·臨沂)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且CE＝BF.連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使EG＝DE，連結(jié)FG，F(xiàn)C. (1)

16、請(qǐng)判斷：FG與CE的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　　　，位置關(guān)系是　　　　　　　??； (2)如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CB，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)作出判斷并給予證明； (3)如圖3，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，(1)中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)直接寫出你的判斷． 【解后感悟】本題是三角形與四邊形綜合問(wèn)題，涉及全等三角形、平行四邊形、矩形、正方形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換，從而求證出平行四邊形． 7． 如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，P

17、E⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF.給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________________． 8．(2016·荊州)如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點(diǎn)D′未到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點(diǎn)F，連結(jié)EF，當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時(shí)，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請(qǐng)說(shuō)明理由． 　　　　　　　　

18、 【課本改變題】 教材母題－－浙教版八下第147頁(yè)，作業(yè)題第5題 (1)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點(diǎn)O，∠AOF＝90°. 求證：BE＝CF； 　 (2)如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長(zhǎng)； (3)已知點(diǎn)E，H，F(xiàn)，G分別在矩形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點(diǎn)O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案： ①如圖3，矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長(zhǎng)； ②如圖4，矩形ABCD由n個(gè)全等的

19、正方形組成，求GH的長(zhǎng)(用n的代數(shù)式表示)． 【方法與對(duì)策】這題是從特殊到一般的規(guī)律探究題．從課本題出發(fā)逐步提出問(wèn)題，解決問(wèn)題，然后根據(jù)這些解題體驗(yàn)，領(lǐng)悟解題方法，再來(lái)解決一般性問(wèn)題，這是中考命題熱點(diǎn)之一，平時(shí)學(xué)習(xí)要重視一些典型的基本圖形． 【由于思維定勢(shì)，對(duì)問(wèn)題考慮不全】 若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF＝AE，則BM的長(zhǎng)為________． 參考答案 第21講　矩形、菱形與正方形 【考點(diǎn)概要】 1．直角　直角　相等　對(duì)角線的交點(diǎn)　對(duì)角線相

20、等　2.鄰邊相等　相等　垂直平分　對(duì)角線的交點(diǎn)　一半 相等　互相垂直　3.相等　直角　相等　直角　垂直平分　相等　四　矩形　菱形　互相垂直平分且相等 4.兩組對(duì)邊分別平行　有一個(gè)角是直角　有一組鄰邊相等　有一組鄰邊相等　有一個(gè)角是直角 【考題體驗(yàn)】 1．105°或45°　 2． (1)如圖，EF為所求直線；　(2)四邊形BEDF為菱形，理由為：證明：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF為菱形． 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)根據(jù)

21、在平行四邊形中，鄰邊相等的是菱形，鄰邊垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四邊形是正方形，可根據(jù)此關(guān)系來(lái)畫圖．如圖 (2)根據(jù)正方形的判定方法進(jìn)行解答即可．即兩種常見的方法：①一組鄰邊相等的矩形是正方形．②一個(gè)角是直角的菱形是正方形．∴填：一組鄰邊，直角．(3)本題的證明方法有多種，可根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，將正方形分成四個(gè)直角三角形的面積和來(lái)求證，也可通過(guò)對(duì)角線求出正方形的邊長(zhǎng)來(lái)求證．∴結(jié)論正確．證明：S正方形ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4××a×a＝a2. 【例題精析】 例1　(1)B；(2)①②③⑤⑦　例2　(1)①16　②24?、?/p>

22、8　(2)D　 例3　證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OF＝OE，在Rt△AOE和Rt△DOF中，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即可得AM⊥DF.　 例4　(1)FG＝CE，F(xiàn)G∥CE；(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，在△HGE與△CED中，，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥B

23、F，∴四邊形GHBF是矩形，∴GF＝BH，F(xiàn)G∥CH，∴FG∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝EC，∴FG＝EC.　(3)成立．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF與△DCE中，，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴FG∥CE，F(xiàn)G＝CE. 【變式拓展】 1．

24、(1)C　(2)B　 2.(1)∵四邊形ABCD是矩形，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴MN∥BC，∴∠CBN＝∠MNB，∵∠PNB＝3∠CBN，∴∠PNM＝2∠CBN； (2)連結(jié)AN，根據(jù)矩形的軸對(duì)稱性，可知∠PAN＝∠CBN，∵M(jìn)N∥AD，∴∠PAN＝∠ANM，由(1)知∠PNM＝2∠CBN，∴∠PAN＝∠PNA，∴AP＝PN，∵AB＝CD＝4，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴DN＝2，設(shè)AP＝x，則PD＝6－x，在Rt△PDN中，PD2＋DN2＝PN2，∴(6－x)2＋22＝x2，解得：x＝，所以AP＝. 　3.(1)A　(2)③　(3)①菱形　②10　120　 4. (1

25、)略；　(2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為4，高為2，∴菱形的面積為4×2＝8.　 5. (1)B　(2)C (3)65　 6. (1)只要證明△BEF≌△DGF(SAS)，∴BF＝DF；　(2)∵BF＝DF，∴點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，∵AD∥EF∥BC，∴BE∶CF＝AE∶AF＝AE∶AE＝，∴BE∶CF＝.　 7.①②④⑤　 8.當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時(shí)，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠

26、DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形，∵四邊形DEFD′是菱形，∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中∴△A′DE≌△EFC′. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°.∵∠EOB＝∠AOF＝90°，∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.　 (2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM∥GH交BC于M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥EF交CD于N，AM與BN交于點(diǎn)O′，則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，∴EF＝BN，GH＝AM，∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A＝90°，故由(1)得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，∴GH＝EF＝4.　(3)①8?、?n. 【錯(cuò)誤警示】由題中射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F知有如下兩種情形： ∴BM＝或 14