第十五章 波與粒子

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1、word 第十五章 波與粒子 15-1　在恒星演化過程中，當(dāng)能源耗盡時(shí)，星體將在萬有引力作用下發(fā)生坍縮，而成為密度極高的星體。同時(shí)，由于先前的核燃燒，這種星體的溫度仍然很高，因而發(fā)出白光，故得名為白矮星。天狼星的一個(gè)伴星，是人們發(fā)現(xiàn)的第一顆白矮星，如果測(cè)得其最大單色輻出度所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為，試根據(jù)維恩位移律估計(jì)它的表面溫度。 解　根據(jù)維恩位移律：可以計(jì)算這顆白矮星的表面溫度，為： 15-2　三個(gè)大小相同并可看作為黑體的球體，測(cè)得其最大單色輻出度所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)分別為、和，試求它們的溫度以及它們?cè)趩挝粫r(shí)間向空間輻射的能量之比。 解　根據(jù)維恩位移律可以求得它們的溫度，分別為： ，，. 根

2、據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律：和上面已經(jīng)得到的溫度，就可以求出它們的輻出度。輻出度是表示該黑體在單位時(shí)間從其表面單位面積上輻射出的能量，因?yàn)槿齻€(gè)球體大小相同，它們?cè)趩挝粫r(shí)間向空間輻射的能量之比，就等于它們的輻出度之比，即： 15-3　試由普朗克公式在短波近似情況下導(dǎo)出維恩公式，在長(zhǎng)波近似情況下導(dǎo)出瑞利-金斯公式。 解：黑體的單色輻出度可以用普朗克公式表示： (1) （1）在短波近似情況下，有：?, 所以： 這樣就可以在普朗克公式中略去1，而成為下面的形式： （2） 令：、，并代入上式，得：這正是維恩公式。 （2）在長(zhǎng)波近似情況下，有：，所以： 于是，普朗克公式稱為下面的形式：這

3、正是瑞利-金斯公式。 15-4什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有哪些重要規(guī)律？在解釋這些規(guī)律時(shí)經(jīng)典理論遇到什么困難？在這些困難中，你認(rèn)為最突出的是什么？ 答：金屬中的自由電子在光的照射下，吸收光能而逸出金屬表面，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。 光電效應(yīng)有下列四條重要規(guī)律：（1）單位時(shí)間逸出金屬表面的光電子數(shù)與入射光強(qiáng)成正比。（2）光電子的初動(dòng)能隨入射光的頻率上升而線性增大，與入射光強(qiáng)無關(guān)。（3）如果入射光的頻率低于該金屬的紅限，則無論入射光強(qiáng)多大，都不會(huì)使這種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)。（4）只要入射光的頻率大于該金屬的紅限，當(dāng)光照射到這種金屬的表面時(shí)，幾乎立即產(chǎn)生光電子，而無論光強(qiáng)多小。 從波動(dòng)論看，作為電磁

4、波的光波投射到金屬表面上，引起金屬中自由電子的受迫振動(dòng)，當(dāng)自由電子從入射光波中吸收到足夠的能量后，就可以克服金屬表面的約束而逸出，成為光電子，用這個(gè)觀點(diǎn)解釋光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，所遇到的主要困難有以下幾點(diǎn)。(1)光電子初動(dòng)能問題：從上述觀點(diǎn)看，光電子初動(dòng)能應(yīng)正比于入射光的強(qiáng)度，光強(qiáng)度又正比于光波振幅的平方，所以光電子的初動(dòng)能應(yīng)正比于入射光的振幅的平方。而實(shí)際上光電子的初動(dòng)能正比于入射光的頻率，與入射光的強(qiáng)度無關(guān)，與人射光的振幅無關(guān)。 (2)光電效應(yīng)的紅限問題：按照波動(dòng)論，光強(qiáng)度正比于光波振幅的平方，如果入射光的頻率較低，總可以用增大振幅的方法，使入射光達(dá)到足夠的強(qiáng)度，使自由電子獲得足夠的能

5、量而逸出金屬表面。所以，按波動(dòng)論的觀點(diǎn)，光電效應(yīng)不應(yīng)該存在紅限。而實(shí)際上每一種金屬都存在確定的紅限值，當(dāng)入射光的頻率低于該金屬的紅限時(shí)，無論光強(qiáng)多大，都無電子逸出。(3)發(fā)生光電效應(yīng)的時(shí)間問題：根據(jù)波動(dòng)論的解釋，自由電子從入射光波中獲得能量需要一個(gè)積累的過程，特別是當(dāng)入射光強(qiáng)度較弱時(shí)，更需要較長(zhǎng)的時(shí)間積累能量。而實(shí)際上光電子出現(xiàn)的時(shí)間均小于s，且與人射光的強(qiáng)弱無關(guān)。 其中最突出的問題是：光電效應(yīng)的紅限問題和發(fā)生光電效應(yīng)的時(shí)間問題。 15-5　試求波長(zhǎng)為下列數(shù)值的光子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量：(1)波長(zhǎng)為的紅外線；(2)波長(zhǎng)為的可見光；(3)波長(zhǎng)為的紫外線；(4)波長(zhǎng)為的X射線；(5)波長(zhǎng)為的射線

6、。 解：(1)對(duì)于波長(zhǎng)為的紅外線，能量為：； 動(dòng)量為：；質(zhì)量為：. (2)對(duì)于波長(zhǎng)為的可見光，能量為: 動(dòng)量為：；質(zhì)量為： (3)對(duì)于波長(zhǎng)為的紫外線，能量為：； 動(dòng)量為：；質(zhì)量為： (4)對(duì)于波長(zhǎng)為的X射線，能量為：； 動(dòng)量為：；質(zhì)量為： (5)對(duì)于波長(zhǎng)為的射線，能量為：； 動(dòng)量為：；質(zhì)量為： 15-6　已知金屬鎢的逸出功為4.38 eV，若用波長(zhǎng)為429 nm的紫光照射其表面，問能否產(chǎn)生光電子？若在鎢的表面涂敷一層銫，其逸出功變?yōu)?.61 eV，結(jié)果又將如何？若能產(chǎn)生光電子，求光電子的最大初動(dòng)能。 解：入射光子的能量為： 金屬鎢的逸出功為：因?yàn)椋圆荒墚a(chǎn)生光電子。

7、 當(dāng)在鎢表面涂敷銫，逸出功變?yōu)椋? 這時(shí)，所以能夠產(chǎn)生光電子。根據(jù)光電效應(yīng)的愛因斯坦方程： 光電子的最大出動(dòng)能為： 15-7　金屬鉀的紅限為，若用波長(zhǎng)為436 nm的光照射，求光電子的最大初速度。 解：根據(jù)紅限的定義，可以求得金屬鉀的逸出功： 光電子的最大初動(dòng)能為： 光電子的最大初速度為： 15-8　金屬鈉的紅限為，求：(1)金屬鈉的逸出功；(2)用波長(zhǎng)為500 nm的光照射時(shí)的遏止電勢(shì)差。 解：(1)金屬鈉的逸出功為： (2)因?yàn)槎糁闺妱?shì)差表征了光電子的最大初動(dòng)能，故有： 將此關(guān)系代入光電效應(yīng)的愛因斯坦方程，得： 于是有：所以，遏止電勢(shì)差為-0.666 V 。 15-

8、9 什么是康普頓效應(yīng)？康普頓效應(yīng)有些什么規(guī)律？經(jīng)典理論是如何解釋光散射的？ 答：1．康普頓效應(yīng)及其規(guī)律 (1)短波射線(如x射線、Y射線)經(jīng)物質(zhì)散射后，在散射線中除有與入射線同波長(zhǎng)的成分外，還有比入射線波長(zhǎng)更長(zhǎng)的射線產(chǎn)生出來。這就是康普頓效應(yīng)。波動(dòng)論對(duì)這個(gè)效應(yīng)同樣無法解釋，而再次陷入困難的境地。 (2)康普頓效應(yīng)的核心之點(diǎn)就是在散射波中存在波長(zhǎng)變長(zhǎng)的部分。但從波動(dòng)論看，入射波的散射是物質(zhì)中的帶電粒子在入射波的作用下發(fā)生受迫振動(dòng)，而向四周發(fā)出的輻射。我們知道，穩(wěn)定的受迫振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力同頻率，所以散射波一定與入射波同頻率，不可能發(fā)生波長(zhǎng)變長(zhǎng)的現(xiàn)象。 2．光子論對(duì)康普頓

9、效應(yīng)的解釋 (1)從光子論看，入射光是能量為的光子流，進(jìn)入物質(zhì)的光子將與物質(zhì)粒子發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程遵從能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律。光子與點(diǎn)陣離子和自由電子的彈性碰撞，將分別得到波長(zhǎng)不變和波長(zhǎng)變長(zhǎng)的散射波成分，從而圓滿地解釋了康普頓效應(yīng)。 (2)認(rèn)為碰撞前自由電子是靜止的，其總能量等于靜能，碰撞后其總能量變?yōu)?；碰撞前光子的?dòng)量為，碰撞后變?yōu)?。這些能量和動(dòng)量的表示都是從相對(duì)論關(guān)系中得到的。由于運(yùn)用了這些關(guān)系，康普頓效應(yīng)才得到圓滿解釋，所以說，康普頓效應(yīng)是一種相對(duì)論效應(yīng)。 15-10　在康普頓效應(yīng)中，入射X射線的波長(zhǎng)是，求在散射角、和的方向上散射線的波長(zhǎng)。 解：根據(jù)

10、波長(zhǎng)改變公式： 散射線的波長(zhǎng)可以表示為： 對(duì)于： 對(duì)于： 對(duì)于： 15-11　波長(zhǎng)為的X射線被某散射體所散射，求在散射角為的方向上散射X射線的波長(zhǎng)和引起這種散射的反沖電子所獲得的動(dòng)能。 解　在散射角為的方向上散射X射線的波長(zhǎng)為： 反沖電子所獲得的動(dòng)能等于X光子損失的能量，即： 15-12　波長(zhǎng)為的入射光子與散射物質(zhì)中的自由電子發(fā)生碰撞，碰撞后電子的速度達(dá)到了。求散射光子的波長(zhǎng)和散射角。 解　先求波長(zhǎng)的改變量，再求散射光子的波長(zhǎng)，最后求散射角。 求波長(zhǎng)的改變量， 反沖電子的質(zhì)量： 反沖電子獲得的動(dòng)能為： 反沖電子獲得的動(dòng)能就等于光子損失的能量，而光子損失的能量與波長(zhǎng)

11、的改變量有如下關(guān)系： 則得： 由波長(zhǎng)改變量即可求得散射光子的波長(zhǎng)，為： 由波長(zhǎng)改變量可求得散射角： 即得： 15-13 如何理解光的波、粒兩重性問題？ 答：光子論被黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)以及其他實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，說明它具有一定的正確性。而早已被大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)了的光的波動(dòng)論以及其他經(jīng)典物理理論的正確性, 也是無可非議的。因此，在對(duì)光的本性的解釋上，不應(yīng)該在光子論和波動(dòng)論之間進(jìn)行取舍，而應(yīng)該把它們同樣地看作是光的本性的不同側(cè)面的描述。光在傳播過程中表現(xiàn)出波的特性，而在與物質(zhì)相互作用的過程中表現(xiàn)出粒子的特性。這就是說，光具有波和粒子這兩方面的特性，這稱為光的波粒二象性。 既是

12、粒子，也是波，這在人們的經(jīng)典觀念中是不容易接受的。但是, 用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)可以把兩者統(tǒng)一起來。光是由具有一定能量、動(dòng)量和質(zhì)量的微觀粒子組成的，在它們運(yùn)動(dòng)的過程中，在空間某處發(fā)現(xiàn)它們的概率卻遵從波動(dòng)的規(guī)律。 實(shí)際上，這里所說的粒子和波，都是人們經(jīng)典觀念中對(duì)物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)上的一種抽象和近似。這種抽象和近似是不能用來對(duì)微觀世界的事物作出恰當(dāng)?shù)拿枋龅模驗(yàn)槲⒂^世界的事物有著與宏觀世界的事物不同的性質(zhì)和規(guī)律。從這個(gè)意義上說，光既不是粒子，也不是波，即既不是經(jīng)典觀念中的粒子，也不是經(jīng)典觀念中的波。 15-14 從粒子散射實(shí)驗(yàn)中可以得到哪些關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的信息？ 答：粒子是氦原子核，是由放射性物質(zhì)發(fā)射出來的帶

13、正電的微觀粒子，粒子的散射實(shí)驗(yàn)表示了。粒子與原子的相互作用，可以為原子的結(jié)構(gòu)提供有用的信息： a)絕大多數(shù)。粒子幾乎按原方向出射，偏轉(zhuǎn)角只有一這表示原子部是空曠的，粒子從這個(gè)空間穿越，幾乎不受到原子中電荷的作用； b)個(gè)別粒子發(fā)生了大角度散射，甚至被反彈的現(xiàn)象表明，原子中心存在一個(gè)很小的堅(jiān)實(shí)體，它集中了原子的幾乎全部質(zhì)量，并且?guī)в姓姾?，這個(gè)堅(jiān)實(shí)體就是原子核。同時(shí)可以推斷，既然原子核帶正電，那么原子中等量的負(fù)電荷一定分布在原子核周圍的空曠空間里。 根據(jù)粒子散射實(shí)驗(yàn)，可以得到原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)；反之，根據(jù)原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)，又可以從理論上計(jì)算出散射。粒子數(shù)隨

14、散射角的分布規(guī)律，并且由計(jì)算所得的規(guī)律與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果的一致性，進(jìn)一步證實(shí)了原子的核型模型假設(shè)的正確性。 15-15原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典理論存在哪些矛盾？ 答：原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典概念是不相容的，表現(xiàn)在下面兩點(diǎn)： a)按照經(jīng)典理論，電子繞原子核旋轉(zhuǎn)必定要輻射電磁波，并且所發(fā)射的電波是連續(xù)譜。實(shí)際上，通常情況下的原子并不輻射電磁波，只有從外界吸收了能量之后，才可能發(fā)射電磁波，并且發(fā)射的電磁波頻譜是分立譜，不是連續(xù)譜； b)隨著系統(tǒng)自身能量的不斷減少，電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑將隨之減小，最后電子必定落在原子核上，可見，按照經(jīng)典理論，原子的核型結(jié)構(gòu)不是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。實(shí)際上

15、，正常情況下的原于是十分穩(wěn)定的。 15-16　計(jì)算氫原子光譜的萊曼系譜線和巴耳末系譜線的波長(zhǎng)圍。 解：(1)巴耳末系譜線的波長(zhǎng)圍： 巴耳末系可以表示為： 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)與長(zhǎng)波限的波數(shù)： 波長(zhǎng)為： 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長(zhǎng)為： (2)萊曼系譜線的波長(zhǎng)圍： 萊曼系可以表示為： 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)與長(zhǎng)波限的波數(shù)： 波長(zhǎng)為： 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長(zhǎng)為： 15-17　在氫原子的紫外光譜中有一條波長(zhǎng)為121.57 nm的譜線，問這條譜線屬于哪個(gè)線系？它是原子在哪兩個(gè)能級(jí)之間躍遷產(chǎn)生的？ 解：波長(zhǎng)為121.57 nm的譜線屬于萊曼系，是從能級(jí)到能級(jí)的躍遷產(chǎn)生的。 15

16、-18　依照玻爾理論求出處于基態(tài)的氫原子的下列各量：量子數(shù)、軌道半徑、角動(dòng)量和動(dòng)量、電子所受的力、電子的角速度、速率、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能以及總能量。 解：量子數(shù)： ； 軌道半徑： ； 角動(dòng)量：； 動(dòng)量：； 速率：； 角速度：； 受力：加速度：; 動(dòng)能：勢(shì)能：； 總能量： 15-19　計(jì)算的氫原子的直徑和電子的運(yùn)動(dòng)速率。 解　將代入半徑的表達(dá)式，得： 原子的直徑為： 動(dòng)量為：所以： 15-20　若氫原子處于激發(fā)態(tài)的平均時(shí)間為，問氫原子中電子在的軌道上運(yùn)行多少圈才躍遷到基態(tài)并放出光子？

17、解：由以下兩式： 可以求得電子的運(yùn)動(dòng)速率： 當(dāng)原子處于時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)速率為： 電子在此軌道上運(yùn)行一周所用的時(shí)間為： 電子在激發(fā)態(tài)運(yùn)行的平均周數(shù)為： 15-21　求處于以下兩種狀態(tài)的氫原子的電離能 (以eV為單位)： (1)基態(tài)；(2)?的激發(fā)態(tài)。 解：(1)基態(tài)的電離能，就是將電子從基態(tài)()激發(fā)到完全自由態(tài)()所需要的能量，可如下求得 (2)的激發(fā)態(tài)的電離能： 15-22　一個(gè)具有5.6 eV動(dòng)能的中子，與一個(gè)處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞，問這種碰撞是彈性碰撞，還是非彈性碰撞？ 解：當(dāng)具有一定動(dòng)能的中子與處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞時(shí)，如果中子的動(dòng)能的大小正好等于氫原子從基

18、態(tài)躍遷到某一激發(fā)態(tài)所需要的能量，碰撞后該中子的動(dòng)能就全部 被氫原子吸收，而使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，中子和氫原子的動(dòng)能都等于零。這樣的碰撞是完全非彈性的，否則碰撞就是彈性的。 氫原子從基態(tài)躍遷到最低的激發(fā)態(tài)()所需要的能量是： 因?yàn)橹凶拥膭?dòng)能, 所以，碰撞不足以使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，碰撞是完全彈性的。 15-23　求在溫度為3.0 K的液氦中冷凍著的中子的德布羅意波長(zhǎng)。 解：將冷凍中子系統(tǒng)看成理想氣體系統(tǒng)，該系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí)，中子的平均動(dòng)能為： 中子的動(dòng)量為： 于是可求得中子的波長(zhǎng)為： 15-24　分別計(jì)算動(dòng)能為0.10 MeV和1.0 GeV的電子的德布羅意波長(zhǎng)。 解

19、　設(shè)電子的靜質(zhì)量為，根據(jù)相對(duì)論關(guān)系：和 可以解得： 和 于是可以求得電子的波長(zhǎng)：? (1) 對(duì)于動(dòng)能為的電子，將動(dòng)能和其他有關(guān)量代入式(1)，可求得德布羅意波長(zhǎng)，為：。 對(duì)于動(dòng)能為的電子，由于，式(1)可以簡(jiǎn)化為： (2)所以，其德布羅意波長(zhǎng)為： 15-25　如果電子和光子的波長(zhǎng)都是0.20 nm，那么它們的動(dòng)量和能量各為多大？ 解：(1)動(dòng)量：由公式：可以看到，無論什么粒子，只要波長(zhǎng)相等，其動(dòng)量的大小就相同。所以電子和光子的動(dòng)量都為： (2)能量：對(duì)于光子，與波長(zhǎng)l相對(duì)應(yīng)的能量是其總能量，因?yàn)樗鼪]有靜能。 對(duì)于電子，與波長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的能量是其動(dòng)能。 15-26　電子運(yùn)動(dòng)速率為，其測(cè)量準(zhǔn)確度為0.01%，若要確定這個(gè)電子的位置，求位置的最小不確定量。 解：根據(jù)：電子位置的最小不確定量為： 15-27　若電子和質(zhì)量為10.0 g的子彈都以的速率運(yùn)動(dòng)，并且速率的測(cè)量準(zhǔn)確度都為0.01%，試比較它們的位置的最小不確定量。 解：上面已經(jīng)求得了電子位置的最小不確定量為 子彈位置的最小不確定量為 兩者相比可見，由于子彈的質(zhì)量比電子大得多，所以子彈的位置完全可以準(zhǔn)確測(cè)定。 13 / 13