浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第22講 圓的基本性質(zhì)講解篇

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1、 第22講　圓的基本性質(zhì) 1．圓的有關(guān)概念 考試內(nèi)容 考試 要求 圓的定義 定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫做圓． b 定義2：圓是到定點(diǎn)的距離 定長的所有點(diǎn)組成的圖形． 弦 連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的 叫做弦． 直徑 直徑是經(jīng)過圓心的 ，是圓內(nèi)最 的弦． 弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，弧有____________________之分，能夠完全重合的弧叫做____________________.

2、a 等圓 能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓. 同心圓 圓心相同的圓叫做同心圓． 2.圓的對稱性 考試內(nèi)容 考試 要求 圓的對稱性 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條經(jīng)過 的直線． c 圓是中心對稱圖形，對稱中心為____________________. 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧或兩條弦中有一組量 ，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等． 3.圓周角 考試內(nèi)容 考試 要求 圓周角的定義 頂點(diǎn)在圓上，并且 都和圓相交的角叫做圓周角． b 圓周角定理 一

3、條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 ． c 推論1 同弧或等弧所對的圓周角 ． 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是 ；90°的圓周角所對的弦是 ． 推論3 圓內(nèi)接四邊形的對角 ． 4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 考試內(nèi)容 考試 要求 位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外 b 數(shù)量(d與r)的大小關(guān)系(設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d) _________________ ______

4、___________ _____________ 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 分類討論思想：在很多沒有給定圖形的題目中，常常不能根據(jù)題目的條件把圖形確定下來，因此會(huì)導(dǎo)致解的不唯一性．對于這種多解題必須要分類討論，分類時(shí)要注意標(biāo)準(zhǔn)一致，不重不漏．如：圓周角所對的弦是唯一的，但是弦所對的圓周角不是唯一的． c 基本 方法 輔助線： 有關(guān)直徑的問題，如圖，常作直徑所對的圓周角． 1． (2016·紹興)如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A、C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是(　　) A．60° B．45

5、° C．35° D．30° 2． (2015·寧波)如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠A＝72°，則∠BCO的度數(shù)為(　　) A．15° B．18° C．20° D．28° 3．(2017·紹興)如圖，一塊含45°角的直角三角板，它的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A在⊙O上，邊AB，AC分別與⊙O交于點(diǎn)D，E，則∠DOE的度數(shù)為____________________． 第3題圖　 第4題圖 4．(2017·湖州)如圖，已知在△ABC中，AB＝AC

6、.以AB為直徑作半圓O，交BC于點(diǎn)D.若∠BAC＝40°，則的度數(shù)是____________________度． 【問題】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，CE是直徑． (1)觀察圖形，你能得到哪些信息？ (2)若∠ADC＝130°，則∠B＝______，∠AOC＝______，的度數(shù)為____； (3) 若AC＝6，AO＝5，則AE＝________． 【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理圓的有關(guān)性質(zhì)，弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形等． 類型一　圓的有關(guān)概念 　下列語句中，正確的是__________________． ①半

7、圓是??；②長度相等的弧是等??；③相等的圓心角所對的弧相等；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是對稱軸；⑤經(jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑；⑥三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；⑦直徑是圓中最長的弦；⑧一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距離為6cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是1.5cm或7.5cm；⑨⊙A的半徑為6，圓心A(3，5)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在⊙A內(nèi)． 【解后感悟】圓中相關(guān)概念經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，需要辨析，如在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等． 1．(1)A、B是半徑為5cm的⊙O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是(　　) 　A．AB>0 B．0

8、．0

9、E＝∠F時(shí)，求證：∠ADC＝∠ABC； (2)若∠E＝∠F＝42°時(shí)，求∠A的度數(shù)； (3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.請你用含有α、β的代數(shù)式表示∠A的大?。? 【解后感悟】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對角，而不是鄰角互補(bǔ)． 2．(1)(2015·杭州)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A＝70°，則∠C＝(　　) A．20° B．30° C．70° D．110° (2) 如圖，

10、四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為(　　) A．45° B．50° C．60° D．75° (3)(2015·南京)如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD＝35°，則∠B＋∠E＝____________________. 類型三　圓心角與圓周角的關(guān)系 　(1)如圖，AB為⊙O的直徑，諸角p，q，r，s之間的關(guān)系①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正確的是(　　) A．只有①和② B．只有①和③ C．只有②和③

11、D．①，②和③ (2)(2015·臺(tái)州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在對角線AC上，EC＝BC＝DC. ①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度數(shù)； ②求證：∠1＝∠2. 　　　　　　　　 【解后感悟】解題利用圖形聯(lián)想，揭示數(shù)量關(guān)系，如等腰三角形、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等知識(shí)；圓周角定理及其推論建立了圓心角、弦、弧、圓周角之間的關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉(zhuǎn)化；當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí)，常?？紤]到弧所對的圓周角或圓心角，“一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半”，通過弧把角聯(lián)系起來．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3． (1)(2017·衢州模擬)如

12、圖，已知⊙O是△ABD的外接圓，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD等于____________________． (2)(2017·巴中模擬)如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O的直徑BE上，連結(jié)AE，∠E＝36°，則∠ADC的度數(shù)是____________________． (3) (2017·濰坊模擬)如圖，半徑為5的⊙A中，弦BC，ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，則弦BC的弦心距等于____________________． 類型四　圓的綜合運(yùn)用 　(2017·臺(tái)州)如

13、圖，已知等腰直角三角形ABC，點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B，C重合)，PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑． (1)求證：△APE是等腰直角三角形； (2)若⊙O的直徑為2，求PC2＋PB2的值． 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用． 4．(2017·麗水)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E. (1)求證：∠A＝∠ADE； (2)若AD＝16，DE＝10，求BC的長． 【探索研究題】 (2017·杭州)如圖，已知△A

14、BC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，設(shè)∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ， (1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù)： α 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ 150° 140° 130° 120° 猜想：β關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，γ關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明； (2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長．

15、 【方法與對策】本題涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，這樣要聯(lián)想，并及時(shí)調(diào)整圖形，揭示數(shù)量關(guān)系特征，從而解決問題，這是中考命題的熱點(diǎn)． 【忽視圓周角頂點(diǎn)可能在優(yōu)弧上，也可能在劣弧上】 一條弦的長度等于它所在的圓的半徑，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________． 參考答案 第22講　圓的基本性質(zhì) 【考點(diǎn)概要】 1．等于　線段　弦　長　優(yōu)弧、半圓、劣弧　等弧 2．圓心　圓心　相等　3.兩邊　一半　相等　直角　直徑　互補(bǔ)　4.d＜r　d＝r　d＞r 【考題體驗(yàn)】 1．D　2.B　3.90

16、°　4.140 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)由圓心角、圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形可知：∠B＝∠E＝∠AOC, ∠B＋∠D＝180°， ∠CAE＝90°等；　(2)50°，100°，80°；　(3)8. 【例題精析】 例1?、佗堍撷啖帷? 例2　(1)∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∴∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；　(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°－42°＝48°； (3)連結(jié)EF，如圖，∵四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1＋∠

17、2，∴∠A＝∠1＋∠2，∵∠A＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A＝90°－.　例3　(1)A；(2)①∵BC＝CD，∴＝.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2. 　例4　(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°，∵PE是直徑，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，∴

18、△PAE是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，則四邊形PMAN是矩形，∴PM＝AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC＝PM，PB＝PN，∴PC2＋PB2＝2(PM2＋PN2)＝2(AN2＋PN2)＝2PA2＝PE2＝22＝4.(也可以證明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形) 【變式拓展】 1． (1)D　(2)C　(3)3

19、0°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A.　(2)連結(jié)CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20，在Rt△ADC中，DC＝＝12，設(shè)BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9，∴BC＝＝15. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，連結(jié)OB，∴由圓周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB＝OA，∴∠O

20、BA＝∠OAB＝α，∴∠BOA＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，∴OE是線段BC的垂直平分線，∴BE＝CE，∠BED＝∠CED，∠EDC＝90°，∵∠BCA＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED＝α，∴∠CED＝∠OBA＝α，∴O、A、E、B四點(diǎn)共圓，∴∠EBO＋∠EAG＝180°，∴∠EBA＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°； (2)當(dāng)γ＝135°時(shí)，此時(shí)圖形如圖所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA＝90°，∠BCE＝45°，由(1)可知：O、A、E、B四點(diǎn)共圓，∴∠BEC＝90°，∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，∴＝4，∴＝3，設(shè)CE＝3x，AC＝x，由(1)可知：BC＝2CD＝6，∵∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3x，∴由勾股定理可知：(3x)2＋(3x)2＝62，x＝，∴BE＝CE＝3，AC＝，∴AE＝AC＋CE＝4，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2＝(3)2＋(4)2，∴AB＝5，∵∠BAO＝45°，∴∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，設(shè)半徑為r，由勾股定理可知：AB2＝2r2，∴r＝5，∴⊙O半徑的長為5. 【錯(cuò)誤警示】30°或150° 12