浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 基本圖形(二)第23講 直線與圓的位置關(guān)系講解篇

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1、 第23講　直線與圓的位置關(guān)系 1．直線和圓的位置關(guān)系： 考試內(nèi)容 考試 要求 直線和圓 的位置 圖形(設(shè)r是⊙O的半徑，d是圓心O到直線l的距離) 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 圓心到直線的距離 d與半徑r的關(guān)系 公共點(diǎn)名稱 直線名稱 a 相交 2 dr 無(wú) 無(wú) 2.圓的切線 考試內(nèi)容 考試 要求 切線的 判定　 (1)與圓有____________________公共點(diǎn)的直線是圓的切線(定義法). b c (2)到圓心的距離等于___________

2、_________的直線是圓的切線. (3)過(guò)半徑外端點(diǎn)且 半徑的直線是圓的切線． 切線的 性質(zhì)　 (1)切線與圓只有____________________公共點(diǎn). (2)切線到圓心的距離等于圓的____________________. (3)切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的 ． 切線長(zhǎng) 過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和 之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)． 切線長(zhǎng) 定理　 從圓外一點(diǎn)可以引圓的____________________條切線，它們的切線長(zhǎng)________

3、____________，這一點(diǎn)和圓心的連線____________________兩條切線的夾角. 3.三角形與圓 考試內(nèi)容 考試 要求 確定圓 的條件 不在 直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓． b 三角形 的外心 經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓， 的圓心叫做三角形的 ，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形；外心到三角形 的距離相等． a b 三角形 的內(nèi)心 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心叫做三

4、角形的 ，這個(gè)三角形叫圓的外切三角形，內(nèi)心到三角形 的距離相等． 拓展 直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法： 若a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則：①直角三角形的外接圓半徑R＝；②直角三角形的內(nèi)切圓半徑r＝. 考試內(nèi)容 考試 要求 基本 思想 分類討論思想：圓是一種極為重要的幾何圖形，由于圖形位置、形狀及大小的不確定，經(jīng)常出現(xiàn)多結(jié)論情況，解題時(shí)漏解出錯(cuò)時(shí)有發(fā)生，解決這類問(wèn)題，一定要仔細(xì)分析，縝密思考，分類討論，逐一解答． (1)由于點(diǎn)在圓周上的位置的不確定而分類討論； (2)由于弦所對(duì)弧

5、的優(yōu)劣情況的不確定而分類討論； (3)由于弦的位置不確定而分類討論； (4)由于直線與圓的位置關(guān)系的不確定而分類討論． c 基本 方法 判斷一直線是否為圓的切線的方法：①連半徑，證垂直；②作垂線，證半徑． 1． (2016·衢州)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若∠A＝30°，則sin∠E的值為(　　) A. B. C. D. 2．(2015·湖州)如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，OA交小圓于點(diǎn)D，若OD

6、＝2，tan∠OAB＝，則AB的長(zhǎng)是(　　) A．4 B．2 C．8 D．4 3． (2015·嘉興)如圖，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為(　　) A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 4． (2017·杭州)如圖，AT切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT＝40°，則∠ATB＝____________________. 【問(wèn)題

7、】(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為________． (2)通過(guò)(1)的解答，你能聯(lián)想直線與圓相切的哪些知識(shí)． 　　　　　　 【歸納】通過(guò)開放式問(wèn)題，歸納、疏理直線與圓的位置關(guān)系，以及切線的判定和性質(zhì)． 類型一　直線與圓位置關(guān)系的判斷 　(2017·無(wú)錫模擬)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知P(6，8)，M為OP中點(diǎn)，以P為圓心，6為半徑作⊙P，則下列判斷正確的有________． ①點(diǎn)O在⊙P外；②點(diǎn)M在⊙P上；③x軸與⊙P相離；④y軸與⊙P相切．

8、 【解后感悟】直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r. 1． (1)(2015·張家界)如圖，∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能 (2)(2017·鎮(zhèn)江模擬)已知⊙O的半徑r＝3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，給出下列命題： ①若d＞5，則m＝0；②若d＝5，則m＝1；③

9、若1＜d＜5，則m＝3；④若d＝1，則m＝2；⑤若d＜1，則m＝4. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．5 類型二　圓的切線性質(zhì)的運(yùn)用 　(2015·銅仁)如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B.AC經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C，過(guò)C作直線CE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證：CB平分∠ACE； (2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半徑． 【解后感悟】本題運(yùn)用了切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角

10、定理，平行線的判定和性質(zhì)，連結(jié)切點(diǎn)和圓心構(gòu)造垂直或直角三角形是進(jìn)行有關(guān)證明和計(jì)算的常用方法，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵． 2．(1)(2015·瀘州)如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，若∠C＝65°，則∠P的度數(shù)為(　　) A．65° B．130° C．50° D．100° (2)(2016·隨州)如圖1，PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2＝PA·PB.請(qǐng)應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問(wèn)題：如圖2，PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA＝2，PB＝7，PC＝3，則CD＝　　　　　　　　.

11、 類型三　圓的切線判定的運(yùn)用 　(1)(2017·沈陽(yáng)模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，要使DE是⊙O的切線，需添加的條件是________________．(不添加其他字母和線條) (2) (2017·杭州市西湖區(qū)模擬)如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F.給出以下五個(gè)結(jié)論：①BD＝DC；②CF＝EF；③＝；④∠A＝2∠FDC；⑤DF是⊙O的切線．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 【解后感悟】(1)解決本類題目可以是將最終的結(jié)論當(dāng)做條件，而答案就是使得條件成立的結(jié)論；(2)解答此題的關(guān)鍵是兩

12、個(gè)基本圖形的公共部分(即點(diǎn)D，E和直徑AB)的運(yùn)用；在涉及切線問(wèn)題時(shí)，常連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過(guò)圓上某一點(diǎn)，則作出過(guò)這一點(diǎn)的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有確定，則應(yīng)過(guò)圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑． 3．(2017·黃石模擬)已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E. (1)請(qǐng)說(shuō)明DE是⊙O的切線； (2)若∠B＝30°，AB＝8，求DE的長(zhǎng)． 類型四　三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題 　(1)如圖，圓D是△AB

13、C的內(nèi)切圓，∠A＝40°，則∠BDC的度數(shù)是________． (2)在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則它的內(nèi)切圓半徑是________． 【解后感悟】①求證三角形內(nèi)切圓問(wèn)題時(shí)，常用到面積法：S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r為△ABC的內(nèi)切圓半徑，a，b，c為△ABC的三條邊的長(zhǎng)度； ②已知直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c(其中c為斜邊)，則其內(nèi)切圓半徑r＝； ③解三角形與圓相切問(wèn)題時(shí)，常利用切線長(zhǎng)定理及勾股定理等列方程(組)來(lái)求半徑的長(zhǎng)． 4．(1)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，內(nèi)切圓O與邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、

14、F，則∠DEF為(　　) A．55° B．60° C．75° D．80° (2)(2015·濱州)若等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為(　　) A. B．2－2 C．2－ D.－2 (3)(2015·遵義)將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于點(diǎn)E，AB＝，則四邊形AB1ED的內(nèi)切圓半徑為(　　) A. B.

15、 C. D. 類型五　圓的綜合性問(wèn)題 　如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連結(jié)OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E. (1)求證：直線CD是⊙O的切線； (2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值． 【解后感悟】此題運(yùn)用切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)解題．注意掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 5． (1)(2017·永新模擬)如圖，以點(diǎn)P(2，0)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)M(a，b)是⊙P上的一點(diǎn)，則的最大值是____________________． (2) (2017·衢州)如圖

16、，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為(－1，0)，半徑為1，點(diǎn)P為直線y＝－x＋3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值是____________________． 【探索研究題】 (2015·河池)我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y＝kx＋4與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB＝30°，點(diǎn)P在x軸上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 【方法與對(duì)

17、策】通過(guò)問(wèn)題中信息，理解整圓的概念，構(gòu)建半徑與點(diǎn)P橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，建模為二元一次方程整數(shù)解的問(wèn)題．這類定義型閱讀理解題是中考熱點(diǎn)題型． 【直線與圓的位置關(guān)系的陷阱】 已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點(diǎn)P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相離 C．相離或相切 D．相切或相交 參考答案 第23講　直線與圓的位置關(guān)系 【考點(diǎn)概要】 2．唯一　半徑　垂直于　一個(gè)　半徑　半徑　切點(diǎn)　兩　相等　平分　3.同一　外接圓　外心　三個(gè)頂點(diǎn) 內(nèi)切圓　內(nèi)心　三邊 【考題體驗(yàn)】 1．A　2.C　3.B　4

18、.50° 【知識(shí)引擎】 【解析】(1)當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5.∴平移的距離為1或5. (2)直線與圓的位置關(guān)系；切線的判定和性質(zhì)． 【例題精析】 例1?、佗邰堋? 例2 (1)證明：如圖1，連結(jié)OB，∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，∵CE⊥AB，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3，∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CB平分∠ACE；　(2)如圖2，連結(jié)BD，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴BC＝＝＝5，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC＝90°，∴∠E＝∠DBC，∴△DBC∽△BEC，∴＝，∴BC2＝C

19、D·CE，∴CD＝＝，∴OC＝CD＝，∴⊙O的半徑＝.　 例3　(1)D為BC中點(diǎn)(答案不唯一)； (2)①②④⑤　例4　(1)110°； (2)1　 例5　(1)證明：連結(jié)DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．　(2)∵△COD≌△COB.∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴ED＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO.∴＝＝. 【變式拓展】 1．

20、 (1)C　(2)C　 2.(1)C　(2)　 3.(1)連結(jié)OD，則OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴DE是⊙O的切線．　(2)連結(jié)AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴BD＝AB·cosB＝8×＝4.又∵AB＝AC，∴CD＝BD＝4，∠C＝∠B＝30°.∴DE＝CD＝2.　 4. (1)C　(2)B　(3)B 5．(1)　(2)2 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】∵直線l：y＝kx＋4與x軸、y軸分別交于A、B，∴B(0，4)，∴OB＝4，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OA＝OB＝×4＝12，∵⊙P與l相切，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)PM，則PM⊥AB，∴PM＝PA，設(shè)P(x，0)，∴PA＝12－x，∴⊙P的半徑PM＝PA＝6－x，∵x為整數(shù)，PM為整數(shù)，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個(gè)數(shù)，∴使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6.故選A. 【錯(cuò)誤警示】當(dāng)OP垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d＝2＝r，⊙O與直線l相切；當(dāng)OP不垂直于直線l時(shí)，即圓心O到直線l的距離d＜2＝r，⊙O與直線l相交，故直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．故選D. 11