浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第36講 分類討論型問題講解篇

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1、 第36講　分類討論型問題 (建議該講放第21講后教學(xué)) 內(nèi)容 特性 分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想．對(duì)于存在的一些不確定因素而無法解答或結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題劃分為若干類或若干個(gè)局部問題來解決. 解題 策略 很多數(shù)學(xué)問題很難從整體上去解決，若將其劃分為所包含的各個(gè)局部問題，就可以逐個(gè)予以解決．分類討論在解題策略上就是分而治之各個(gè)擊破．具體是： (1)確定分類對(duì)象； (2)進(jìn)行合理分類(理清分類“界限”，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、不遺漏)； (3)逐類進(jìn)行

2、討論； (4)歸納并得出結(jié)論. 基本 思想 分類討論的基本方法是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對(duì)各個(gè)分類逐步進(jìn)行討論，分層進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論. 類型一　由計(jì)算化簡時(shí)，運(yùn)用法則、定理和原理的限制引起的討論 　(2016·南通模擬)矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個(gè)矩形的面積為(　　) A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2 【

3、解后感悟】解此題的關(guān)鍵是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不確定，要進(jìn)行分類討論． 1．(1)若關(guān)于x的函數(shù)y＝kx2＋2x－1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為____________________． (2)已知平面上有⊙O及一點(diǎn)P，點(diǎn)P到⊙O上一點(diǎn)的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為　　　　　　　　cm. (3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，則a＋b＝(　　) A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1 類型二　在一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過程中，出現(xiàn)不同情況引起的討論 　為了節(jié)約資源，科學(xué)指導(dǎo)居民改善居住條件，小

4、王向房管部門提出了一個(gè)購買商品房的政策性方案. 人均住房面積(平方米) 單價(jià)(萬元/平方米) 不超過30(平方米) 0.3 超過30平方米不超過m平方米部分(45≤m≤60) 0.5 超過m平方米部分 0.7 根據(jù)這個(gè)購房方案： (1)若某三口之家欲購買120平方米的商品房，求其應(yīng)繳納的房款； (2)設(shè)該家庭購買商品房的人均面積為x平方米，繳納房款y萬元，請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (3)若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米，繳納房款為y萬元，且57＜y≤60時(shí)，求m的取值范圍． 　 　　　　　　　 【解后感悟】本題是房款＝房屋單價(jià)×購房面積在實(shí)際

5、生活中的運(yùn)用，由于單價(jià)隨人均面積而變化，所以用分段函數(shù)的解析式來描述．同時(shí)建立不等式組求解，解答本題時(shí)求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵． 2．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝的圖象有唯一公共點(diǎn)，若直線y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．b>2 B．－22或b<－2 D．b<－2 (2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是邊長為4的正方形，平行于對(duì)角線BD的直線l從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到直線l與正方形沒有交點(diǎn)為止．設(shè)

6、直線l掃過正方形OBCD的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，下列能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是(　　) 3．已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O兩側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A，C在一次函數(shù)y2＝x＋n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，求自變量x的取值范圍． 　　　　　　　　 類型三　由三角形的形狀、關(guān)系不確定性引起的討論 　(2017·湖州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝kx(k＞0)分別交反比例函數(shù)y＝和y＝在第一象限的圖象于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，

7、交y＝的圖象于點(diǎn)C，連結(jié)AC.若△ABC是等腰三角形，則k的值是________． 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是用k表示點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論． 4． (1)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為(　　)　　 A．4 B．5 C．6 D．8 (2) (2016·北流模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射

8、線AX上運(yùn)動(dòng)，要使△ABC和△QPA全等，則AP＝　　　　　　　　. (3) (2016·臨淄模擬)如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CD上，且CN＝CD，若AB＝1，設(shè)BM＝x，當(dāng)x＝　　　　　　　　時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似． 類型四　由特殊四邊形的形狀不確定性引起的討論 　(2017·鄂州模擬)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)

9、點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． (1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP成為矩形？ (2)當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？ (3)四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由，并探究如何改變Q點(diǎn)的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度． 【解后感悟】解本題的關(guān)鍵是用方程(組)的思想解決問題，涉及四邊形的知識(shí)，同時(shí)也是存在性問題，解答時(shí)要注意分類討論及數(shù)形結(jié)合． 5．(1)(2016·鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，

10、在直角坐標(biāo)系中再找一個(gè)點(diǎn)D，使這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則D點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　　　　　. (2)(2016·江陰模擬)如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)t＝　　　　　　　　s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． (3) (2016·金華模擬)如圖，B(6，4)在函數(shù)y＝x＋1的圖象上，A(5，2)，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在函數(shù)y＝x＋1上，以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)　　　　

11、　　　　. (4)(2016·蕭山模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)依次為(－1，0)，(m，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p≤n.若以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則n的值是　　　　　　　　. 類型五　由直線與圓的位置關(guān)系不確定性引起的討論 　如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經(jīng)過點(diǎn)O，OP＝10cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q.A、B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)． (1)求PQ的長； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

12、 【解后感悟】本題是直線與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，題目設(shè)置具有創(chuàng)新性．解決本題的關(guān)鍵是抓住直線與圓的兩種情況位置關(guān)系，及其對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析． 6． (2016·泗洪模擬)如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2－1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，圓心P的坐標(biāo)為　　　　　　　　. 【壓軸把關(guān)題】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－3，0)，(0，6)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．以CP，CO為鄰邊構(gòu)造?PCOD，在線段OP延長線上取點(diǎn)E，使PE＝AO，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

13、秒． (1)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到線段OB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形； (3)在線段PE上取點(diǎn)F，使PF＝1，過點(diǎn)F作MN⊥PE，截取FM＝2，F(xiàn)N＝1，且點(diǎn)M，N分別在第一、四象限，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)?PCOD的面積為S. ①當(dāng)點(diǎn)M，N中，有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，求出所有滿足條件的t的值； ②若點(diǎn)M，N中恰好只有一個(gè)點(diǎn)落在四邊形ADEC內(nèi)部(不包括邊界)時(shí)，直接寫出S的取值范圍． 【方法與對(duì)策】本題是四邊形的綜合題，對(duì)于第(3)題解題的關(guān)鍵是正確分幾種不同情況求解．①當(dāng)點(diǎn)C在BO上時(shí)，第一種

14、情況，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，由△EMF∽△ECO求解，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，由△EFN∽△EPD求解； 當(dāng)點(diǎn)C在BO的延長線上時(shí)，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在DE邊上時(shí)，由EMF∽△EDP求解，第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在CE邊上時(shí)，由△EFN∽△EOC求解；②當(dāng)1≤t＜時(shí)和當(dāng)＜t≤5時(shí)，分別求出S的取值范圍．這種雙動(dòng)點(diǎn)型、分類討論問題是中考命題常用的策略． 【分類討論應(yīng)不重復(fù)、不遺漏】 在△ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于A，B)，過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線．如圖，∠A＝36°，AB＝AC，當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分

15、線上時(shí)，過點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有________條． 參考答案 第36講　分類討論型問題 【例題精析】 例1　∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①當(dāng)AE＝1cm時(shí)，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm＋3cm＝4cm＝BC，此時(shí)矩形的面積是1cm×4cm＝4cm2；②當(dāng)AE＝3cm時(shí)，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，此時(shí)矩形的面積是：3cm×4cm＝12cm2；故選D. 　

16、例2　(1)由題意，得三口之家應(yīng)繳購房款為：0.3×90＋0.5×30＝42(萬元)； (2)由題意，得①當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y＝0.3×3x＝0.9x；②當(dāng)30＜x≤m時(shí)，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；③當(dāng)x＞m時(shí)，y＝0.9×30＋0.5×3(m－30)＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m.∴y＝(45≤m≤60)． (3)由題意，得①當(dāng)50≤m≤60時(shí)，y＝1.5×50－18＝57(舍)．②當(dāng)45≤m＜50時(shí)，y＝2.1×50－0.6m－18＝87－0.6m.∵57＜y≤60，∴57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50.綜合①②得45≤m

17、＜50. 例3　∵點(diǎn)B是y＝kx和y＝的交點(diǎn)，y＝kx＝，解得：x＝，y＝3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)A是y＝kx和y＝的交點(diǎn)，y＝kx＝，解得：x＝，y＝，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為，∵BD⊥x軸，∴點(diǎn)C橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為＝，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，則＝3－，解得：k＝；②AC＝BC，則＝3－，解得：k＝；故答案為k＝或.　 例4　(1)∵∠ABC＝90°，AP∥BQ，∴當(dāng)AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP成為矩形，由運(yùn)動(dòng)知，AP＝t，CQ＝3t，∴BQ＝22－3t，∴t＝22－3t，解得t＝.∴當(dāng)t＝時(shí)，四邊形ABQP成為矩形；　(2)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形

18、是平行四邊形時(shí)，就是(1)中的情形，此時(shí)t＝.當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與C、D兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，∵PD∥QC，∴當(dāng)PD＝QC時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形．此時(shí)，16－t＝3t，t＝4；當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與B、D兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，同理，16－t＝22－3t，t＝3；當(dāng)P、Q兩點(diǎn)與A、C兩點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形時(shí)，同理，t＝3t，t＝0，不符合題意；故當(dāng)t＝或t＝4或t＝3時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形． （3）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：∵PD∥BQ，∴當(dāng)PD＝BQ＝BP時(shí)，四邊形PBQD能成為菱形．由PD＝BQ，得16－t＝

19、22－3t，解得t＝3，當(dāng)t＝3時(shí)，PD＝BQ＝13，AP＝AD－PD＝16－13＝3.在Rt△ABP中，AB＝8，根據(jù)勾股定理得，BP＝＝＝≠13，∴四邊形PBQD不能成為菱形；如果Q點(diǎn)的速度改變?yōu)関cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在時(shí)刻ts為菱形，由題意得，解得故點(diǎn)Q的速度為2cm/s時(shí)，能夠使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形． 例5　(1)連結(jié)OQ，∵PN與⊙O相切于點(diǎn)Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP＝90°.∵OP＝10，OQ＝6，∴PQ＝＝8(cm)． (2)過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C.∵點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，∴PA＝5t，PB＝

20、4t.∵PO＝10，PQ＝8，∴＝＝.∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA＝∠PQO＝90°.∵∠BQO＝∠CBQ＝∠OCB＝90°，∴四邊形OCBQ為矩形，∴BQ＝OC.∵⊙O的半徑為6，∴BQ＝OC＝6時(shí)，直線AB與⊙O相切．①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖1所示的位置時(shí)，BQ＝PQ－PB＝8－4t，由BQ＝6，得8－4t＝6，t＝0.5.②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，BQ＝PB－PQ＝4t－8，由BQ＝6，得4t－8＝6，t＝3.5.綜上，當(dāng)t＝0.5s或3.5s時(shí)，直線AB與⊙O相切． 【變式拓展】 1．(1)0或－1　(2)4或2　(3)C　2.(1)C　(2)D 3．

21、根據(jù)OC長為8可得一次函數(shù)中的n的值為8或－8.分類討論：①n＝8時(shí)，易得A(－6，0)，如圖1，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，且與x軸交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩側(cè)，∴拋物線開口向下，則a＜0，∵AB＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸為直線x＝＝2，要使y1隨著x的增大而減小，∵a＜0，∴x≥2；②n＝－8時(shí)，易得A(6，0)，如圖2，∵拋物線過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交點(diǎn)A，B在原點(diǎn)兩側(cè)，∴拋物線開口向上，則a＞0，∵AB＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸為直線x＝＝－2，要使y1隨著x的增大而減小，且a＞0，∴x≤－2.

22、 4．(1)C　(2)6或12　(3)或　5.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4)　(2)2或6　(3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6)　(4)2，5，18　6.(，2)或(－，2) 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)∵OB＝6，C是OB的中點(diǎn)，∴BC＝OB＝3.∴2t＝3，即t＝s.∴OE＝＋3＝，E(，0)． (2)如圖1，連結(jié)CD交OP于點(diǎn)G，在?PCOD中，CG＝DG，OG＝PG，∵AO＝PE，∴AG＝EG .∴四邊形ADEC是平行四邊形． (3)①(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)C在線段BO上時(shí)，第一種情況：如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，∵M(jìn)F∥OC，∴△EMF∽△ECO.∴＝，即＝，

23、解得t＝1.第二種情況：如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊時(shí)，∵NF∥PD，∴△EFN∽△EPD.∴＝即＝，解得t＝.(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)C在BO的延長線上時(shí)，第一種情況：如圖4，當(dāng)點(diǎn)M在DE邊上時(shí)，∵M(jìn)F∥PD，∴EMF∽△EDP.∴＝即＝，解得t＝.第二種情況：如圖5，當(dāng)點(diǎn)N在CE邊上時(shí)，∵NF∥OC，∴△EFN∽△EOC.∴＝即＝，解得t＝5.綜上所述，所有滿足條件的t的值為1，，，5.②＜S≤或＜S≤20. 【錯(cuò)誤警示】當(dāng)PD∥BC時(shí)，△APD∽△ABC，當(dāng)PE∥AC時(shí)，△BPE∽△BAC，連結(jié)PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB∽△ACB，故過點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有3條．故答案為：3. 12