浙江省2018年中考數(shù)學總復習 第七章 數(shù)學思想與開放探索問題 第34講 歸納、猜想與說理型問題講解篇

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1、 第34講　歸納、猜想與說理型問題 (建議該講放第11講后教學) 內(nèi)容 特性 所謂歸納、猜想，指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論． 解題 策略 解題中要求充分利用條件進行大膽而合理的猜想，得出結(jié)論．有時借助圖形、實物或?qū)嶋H操作打開思路． 解決這類題的基本思路是“觀察→歸納→猜想→證明(驗證)”，具體做法：(1)認真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系； (2)根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊含的變化規(guī)律，猜想得出一個

2、一般性的結(jié)論； (3)結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗證結(jié)論的正確性. 基本 思想 觀察、分析、歸納、猜想一般，給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認真觀察、分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論. 類型一　通過數(shù)式變化產(chǎn)生規(guī)律 　(2016·淄博)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝　　　　　　　??； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝　　　　　　　　； (a－b)(a3＋a2 b＋ab2＋b3)＝　　　　　　　　； (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1

3、)＝　　　　　　　　(其中n為正整數(shù)，且n≥2)； (3)利用(2)猜想的結(jié)論計算：29－28＋27－…＋23－22＋2. 　 　　　　　 【解后感悟】此類問題要從整體上觀察各個式子的特點，猜想出式子的變化規(guī)律，并進行驗證．對于本題來說，關(guān)鍵是先計算，再觀察各等式的結(jié)構(gòu)，猜想結(jié)果并驗證．對于(3)根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進行設(shè)、列來構(gòu)建等式求解． 1．(1)(2016·資陽模擬)設(shè)一列數(shù)中相鄰的三個數(shù)依次為m、n、p，且滿足p＝m2－n，若這列數(shù)為－1，3，－2，a，－7，b…，則b＝　　　　　　　　. (2)(2016·德州模擬)有一個計算程序，每次運算都是把一個數(shù)先乘以2，再除以它與1

4、的和，多次重復進行這種運算的過程如下： 則第n次運算的結(jié)果yn＝　　　　　　　　(用含字母x和n的代數(shù)式表示)． 類型二　通過圖形變化產(chǎn)生規(guī)律 　(2016·達州)如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到7個小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個三角形按同樣方式再剪成4個小三角形，共得到10個小三角形，稱為第三次操作；…根據(jù)以上操作，若要得到100個小三角形，則需要操作的次數(shù)是(　　) A．25 B．33 C．34 D．5

5、0 【解后感悟】本題通過一次操作，得到下一個圖形的三角形個數(shù)與上一個圖形的三角形個數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解決這類問題的關(guān)鍵是仔細分析前后兩個圖形中基礎(chǔ)圖案的數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)其數(shù)字變化規(guī)律．具體地說，先根據(jù)圖形寫出數(shù)字規(guī)律，然后將每一個數(shù)字改寫為等式，再比較各等式的相同點和不同點，分析不同點(數(shù)字)與等式序號之間的關(guān)系，從而得到一般規(guī)律． 2．(2017·舟山)如圖，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，計算tan∠BA4C＝____________________，…按此規(guī)律，寫出tan∠BAnC＝______

6、______________(用含n的代數(shù)式表示)． 類型三　通過平移、折疊產(chǎn)生規(guī)律 　如圖，直角三角形紙片ABC中，AB＝3，AC＝4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設(shè)P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設(shè)P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設(shè)Pn－1Dn－2的中點為Dn－1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn－1重合，折痕與AD交于點Pn(n＞2)，則AP6的長為(　　) A. B. C.

7、 D. 【解后感悟】此題是翻折變換的知識，解答本題關(guān)鍵是寫出前面幾個有關(guān)線段長度的表達式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力． 3． 如圖，矩形OABC的兩條邊在坐標軸上，OA＝1，OC＝2，現(xiàn)將此矩形向右平移，每次平移1個單位，若第1次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個交點，它們的縱坐標之差的絕對值為0.6，則第n次(n＞1)平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標之差的絕對值為 　　　　　　　　(用含n的代數(shù)式表示)． 類型四　通過旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生規(guī)律 　(2017·衢州)如圖，正△ABO的邊長為2，O為坐標原點，A在x軸上，

8、B在第二象限，△ABO沿x軸正方向作無滑動的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△A1B1O，則翻滾3次后點B的對應(yīng)點的坐標是________，翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為________． 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是嘗試特殊情況，尋找循環(huán)規(guī)律，從特殊到一般的探究方法解決問題． 4．(2015·東港模擬)如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以O(shè)B1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1(點O，B1，A1按逆時針方向排列)，稱為第一次構(gòu)造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以O(shè)B2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2(點O，B2，A2按逆時針方向排列)，稱為第二次構(gòu)造；以此類推

9、，當?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是　　　　　　　　. 類型五　以數(shù)軸、平面直角坐標系為背景的規(guī)律問題 　(2016·菏澤)如圖，一段拋物線：y＝－x(x－2)(0≤x≤2)記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于A3；…如此進行下去，直至得到C6，若點P(11，m)在第6段拋物線C6上，則m＝　　　　　　　　. 【解后感悟】此題是拋物線其中一段的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的頂點坐標． 5．(1)如圖，

10、在數(shù)軸上，A1，P兩點表示的數(shù)分別是1，2，A1，A2關(guān)于點O對稱，A2，A3關(guān)于點P對稱，A3，A4關(guān)于點O對稱，A4，A5關(guān)于點P對稱…依此規(guī)律，則點A14表示的數(shù)是　　　　　　　　. (2) (2015·達州)在直角坐標系中，直線y＝x＋1與y軸交于點A1，按如圖方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直線y＝x＋1上，點C1、C2、C3、…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，…Sn，則Sn的值為____________________(用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù))． 【探索研究題】 用水

11、平線和豎直線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則S＝a＋b－1(史稱“皮克公式”)． 小明認真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，下圖是該正三角形格點中的兩個多邊形： 根據(jù)圖中提供的信息填表： 格點多邊形各邊上的格點的個數(shù) 格點多邊形內(nèi)部的格點個數(shù) 格點多邊形的面積 多邊形1 8 1 多邊形2 7

12、 3 … … … … 一般格點多邊形 a b S 則S與a、b之間的關(guān)系為S＝________(用含a、b的代數(shù)式表示)． 【方法與對策】此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律．尋找規(guī)律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．該題型采用特殊到一般探究問題的方法．是中考命題的一種方式． 【探求一般規(guī)律，注意序號與變量之間對應(yīng)關(guān)系】 如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上)，再在△A1B1C內(nèi)按同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2

13、，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn的邊長是________． 第34講　歸納、猜想與說理型問題 【例題精析】 例1　(1)a2－b2，a3－b3，a4－b4； (2)an－bn； (3)令S＝29－28＋27－…＋23－22＋2，∴S－1＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)÷3＝(210－1)÷3＝(1024－1)÷3＝341，∴S＝342.　 例2　∵第一次操作后，三角形共有4個；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7個；第三次操作后，三角形共

14、有4＋3＋3＝10個；…∴第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝(3n＋1)個；當3n＋1＝100時，解得：n＝33，故選：B.　 例3　由題意得，AD＝BC＝，AD1＝AD－DD1＝，AD2＝，AD3＝，…∴ADn＝.故AP1＝，AP2＝，AP3＝…APn＝.∴當n＝6時，AP6＝.故選A. 例4　如圖作B3E⊥x軸于E，易知OE＝5，B3E＝，∴B3(5，)，觀察圖象可知三次一個循環(huán)，一個循環(huán)點M的運動路徑為＋＋＝π，∵2017÷3＝672……1，∴翻滾2017次后AB中點M經(jīng)過的路徑長為672·π＋π＝π.故答案為(5，)；π. 例5　∵y＝－x(x－2)(0≤x≤2)，∴

15、配方可得y＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，∴頂點坐標為(1，1)，∴A1坐標為(2，0)，∵C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，∴OA1＝A1A2，即C2頂點坐標為(3，－1)，A2(4，0)；照此類推可得，C3頂點坐標為(5，1)，A3(6，0)；C4頂點坐標為(7，－1)，A4(8，0)；C5頂點坐標為(9，1)，A5(10，0)；C6頂點坐標為(11，－1)，A6(12，0)；∴m＝－1.故答案為：－1. 【變式拓展】 1．(1)128　(2)　2.　 3.或　4.　5.(1)－25　(2)22n－3 【熱點題型】 【分析與解】根據(jù)8＝8＋2(1－1)，11＝7＋2(3－1)得到S＝a＋2(b－1)． 填表如下： 格點多邊形各邊上的格點的個數(shù) 格點多邊形內(nèi)部的格點個數(shù) 格點多邊形的面積 多邊形1 8 1 8 多邊形2 7 3 11 … … … … 一般格點多邊形 a b S 【錯誤警示】∵∠A＝∠B＝45°，∴AE1＝A1E1＝A1B1＝B1D1＝D1B，∴第一個內(nèi)接正方形的邊長＝AB＝1；同理可得：第二個內(nèi)接正方形的邊長＝A1B1＝AB＝；第三個內(nèi)接正方形的邊長＝A2B2＝AB＝；故可推出第n個小正方形AnBnDnEn的邊長＝AB＝，故答案為：. 8