2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專(zhuān)題12 銳角三角函數(shù)（含解析）

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1、專(zhuān)題12 銳角三角函數(shù) 必考點(diǎn)1 銳角三角函數(shù)：在直角三角形ABC中，∠C是直角， 1、正弦：把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作 2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作 3、正切：把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作 4、余切：把銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作 說(shuō)明：由定義可以看出tanA·cotA＝l（或?qū)懗桑? 5、銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù) 說(shuō)明：銳角三角函數(shù)都不能取負(fù)值。 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA

2、＜；l 6、銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB 7、銳角的正切和余切之間的關(guān)系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB 說(shuō)明：式中的90°一A = B 。 8、三角函數(shù)值的變化規(guī)律 （1）當(dāng)角度在0°— 90°間變化時(shí)，正弦值（正切值隨著角度的增大

3、（或減?。┒龃螅ɑ驕p小） （2）當(dāng)角度在0°—90°間變化時(shí)，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅? 9、同角三角函數(shù)關(guān)系公式 （1）；（2）；（3） tanA＝ 10．一些特殊角的三角函數(shù)值 【典例1】（2019·浙江中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，已知?jiǎng)t下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 選項(xiàng)A，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴AO＝OB＝CO＝DO， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴由三角形內(nèi)角和

4、定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α， 選項(xiàng)A正確； 選項(xiàng)B，在Rt△ABC中，tanα＝， 即BC＝m?tanα， 選項(xiàng)B正確； 選項(xiàng)C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝， 選項(xiàng)C錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D，∵四邊形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝m， ∵∠BAC＝∠BDC＝α， ∴在Rt△DCB中，BD＝， 選項(xiàng)D正確. 故選C． 【點(diǎn)睛】 本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 1．（2019·浙江中考模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是( ) A． B．3 C．

5、D．2 【答案】D 【解析】 設(shè)BC=x，則AB=3x， 由勾股定理得，AC=， tanB===， 故選D． 考點(diǎn)：1．銳角三角函數(shù)的定義；2．勾股定理． 2．（2019·湖北中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如圖，過(guò)作于，則， AC＝＝5． ． 故選D． 【點(diǎn)睛】 本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵． 3．（2019·廣東中考真題）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是

6、∠BAC，若，則次斜坡的水平距離AC為（ ） A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A 【解析】 解：因?yàn)椋諦C＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故選A. 【點(diǎn)睛】 本題考查了正切三角函數(shù)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵. 必考點(diǎn)2 解直角三角形及其應(yīng)用 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。 若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5個(gè)元素之間有關(guān)系： （l）；（2）∠A十∠B＝90°； （3）；；； 所以，只要知道其中的2個(gè)元

7、素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余3個(gè)未知數(shù)。 【典例2】（2019·山東中考真題）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A 處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為（ ） A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米 【答案】D 【解析】 解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，交BD于點(diǎn)E， 在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝10（米）， ∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）． ∴甲樓高為（36﹣10）米． 故選D． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知

8、特殊角的三角函數(shù)值. 【舉一反三】 1.（2019·湖南中考真題）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60 n mile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是( ) A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile 【答案】D 【解析】 過(guò)C作CD⊥AB于D點(diǎn)， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴CD=AC?cos∠ACD=60×． 在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45

9、°， ∴CD=BD=30， ∴AB=AD+BD=30+30． 答：此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile． 故選D． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線(xiàn)． 2．（2019·四川中考真題）如圖，在中，，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為D，如圖所示． 在中，， ； 在中，， ， ． 故選：D． 【點(diǎn)睛】 考查了解直角三角形以及勾股定理，通過(guò)解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的長(zhǎng)

10、是解題的關(guān)鍵． 3．（2019·遼寧中考模擬）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題． 1．（2019·湖南中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線(xiàn)EF交AC于點(diǎn)D，連接BD，若cos∠BDC＝，則BC的長(zhǎng)是（ ） A．10 B

11、．8 C．4 D．2 【答案】D 【解析】 ∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 設(shè)CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2x， ∵AB的垂直平分線(xiàn)EF交AC于點(diǎn)D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2； 故選D. 【點(diǎn)睛】 本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 2．（2019·吉林中考真題）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長(zhǎng)是3米．若梯子與地面的夾角為，則梯子頂端到地面的距離BC為（　?。? A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】

12、 解：由題意可得：， 故． 故選：A 【點(diǎn)睛】 考核知識(shí)點(diǎn)：由正弦求邊.理解正弦定義是關(guān)鍵. 3．（2019·四川中考真題）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25， ∴大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為5， ∴， ∴， ∴． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度

13、適中，解題的關(guān)鍵是正確得出． 4．（2019·重慶中考真題）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物．為測(cè)量AB的高度，小紅從建筑物底端B點(diǎn)出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C，然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂D點(diǎn)處，．在點(diǎn)D處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架DE高度為0.8米，在E點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角為（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）．斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度約為（ ） （參考數(shù)據(jù)，，） A．65.8米 B．71.8米 C．73.8米 D．119.8米 【答案】B 【解析】 解：過(guò)點(diǎn)E作與點(diǎn)M，延長(zhǎng)ED交BC于G， ∵斜坡CD的坡度（或坡比），米， ∴設(shè)

14、，則． 在中， ∵，即，解得， ∴米，米， ∴米，米． ∵，，， ∴四邊形EGBM是矩形， ∴米，米． 在中， ∵， ∴米， ∴米． 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 5．（2019·甘肅中考真題）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，則cosB＝_____． 【答案】 【解析】 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， 設(shè)a＝x，b＝3x，則c＝2x， ∴cosB＝． 故答案為． 【點(diǎn)睛】 此題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)，關(guān)鍵明確求銳角的三角函

15、數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值． 6．（2019·江蘇中考真題）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】 過(guò)作于點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則由勾股定理得，因?yàn)?，所以，則．則． 【點(diǎn)睛】 本題考查勾股定理和正余弦公式的運(yùn)用，要學(xué)會(huì)通過(guò)作輔助線(xiàn)得到特殊三角形，以便求解. 7．（2019·山東中考模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD=________. 【答案】2 【解析】 如圖

16、，連接BE， ∵四邊形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根據(jù)題意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案為2 【點(diǎn)睛】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 8．（2019·四川中考模擬）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，

17、則sinB=______． 【答案】 【解析】 如圖所示： ∵∠C=90°，tanA=， ∴設(shè)BC=x，則AC=2x，故AB=x， 則sinB=. 故答案為： ． 點(diǎn)睛：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確表示各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 9．（2019·江蘇中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，H是AB的中點(diǎn)，將沿CH折疊，點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)P處，連接AP，則__． 【答案】 【解析】 如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，， 又∵H為AB的中點(diǎn)， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵中，， ∴， 故答

18、案為：． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵． 10．（2019·四川中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使得點(diǎn)落在上，則的值為_(kāi)______． 【答案】 【解析】 ∵在中，AB=5，BC=12， ∴． ∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， ∴，，， ∴CD=AC-AD=8． 在中，． 故答案為： 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，難度較小，求出所求三角函數(shù)值的直角三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度，根據(jù)線(xiàn)段比就可解決問(wèn)題． 11．

19、（2019·遼寧中考真題）如圖，一艘船以40nmile /h的速度由西向東航行，航行到A處時(shí)，測(cè)得燈塔P在船的北偏東30°方向上，繼續(xù)航行2.5h，到達(dá)B處，測(cè)得燈塔P在船的北偏西60°方向上，此時(shí)船到燈塔的距離為_(kāi)_____nmile．(結(jié)果保留根號(hào)) 【答案】50 【解析】 解：根據(jù)題意，得：∠PAB=60°，∠PBA=30，AB=2.5×40=100(nmile)， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-60°-30°=90°． 在Rt△PAB中，PB=AB?sin∠PAB=100×=50(nmile)． 故答案為：50． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形的

20、應(yīng)用-方向角問(wèn)題，通過(guò)解直角三角形求出PB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 12．（2019·青海中考真題）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為_(kāi)______米（結(jié)果保留根號(hào)）． 【答案】一4 【解析】 因?yàn)椤螹AD=45°, AM=4,所以MD=4， 因?yàn)锳B=8，所以MB=12, 因?yàn)椤螹BC=30°，所以CM=MBtan30°=4. 所以CD=4-4. 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)定義以及變形是解題的關(guān)鍵. 13．（2019·貴州中考真題

21、）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長(zhǎng)度是_____. 【答案】15﹣5. 【解析】 過(guò)點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴∠BCM=∠ABC=30°， ∴BM＝BC×sin30°＝＝5， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝

22、5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5， 故答案是：15﹣5. 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形，正確添加輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵. 14．（2019·浙江中考真題）有一種落地晾衣架如圖1所示，其原理是通過(guò)改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來(lái)調(diào)整晾衣桿的高度. 圖2是支撐桿的平面示意圖，AB和CD分別是兩根不同長(zhǎng)度的支撐桿，夾角∠BOD=. 若AO=85cm，BO=DO=65cm. 問(wèn): 當(dāng)，較長(zhǎng)支撐桿的端點(diǎn)離地面的高度約為_(kāi)____.(參考數(shù)據(jù):，.) 【答案】120. 【解析】 過(guò)O作OE⊥BD，過(guò)A作AF⊥BD，可得OE∥AF， ∵BO=DO， ∴OE平分∠BOD

23、， ∴∠BOE=∠BOD=×74°=37°， ∴∠FAB=∠BOE=37°， 在Rt△ABF中，AB=85+65=150cm， ∴h=AF=AB?cos∠FAB=150×0.8=120cm， 故答案為：120 【點(diǎn)睛】 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵． 15．（2019·山東中考模擬）為加快城鄉(xiāng)對(duì)接，建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對(duì)A、B兩地間的公路進(jìn)行改建．如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地需途徑C地沿折線(xiàn)ACB行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)可直接沿直線(xiàn)AB行駛．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°． （1）開(kāi)通隧道前，汽車(chē)從A

24、地到B地大約要走多少千米？ （2）開(kāi)通隧道后，汽車(chē)從A地到B地大約可以少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） 【答案】（1）開(kāi)通隧道前，汽車(chē)從A地到B地大約要走136.4千米；（2）汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走的路程為27.2千米 【解析】 解：（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)CD，垂足為D， ∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米， ∴CD=BC?sin30°=80×（千米）， AC=（千米）， AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米）， 答：開(kāi)通隧道前，汽車(chē)從A地到B地大約要走136.4千米； （2）∵co

25、s30°=，BC=80（千米）， ∴BD=BC?cos30°=80×（千米）， ∵tan45°=，CD=40（千米）， ∴AD=（千米）， ∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）， ∴汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少路程為：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）． 答：汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走的路程為27.2千米． 【點(diǎn)睛】 本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線(xiàn)． 16．（2019·遼寧中考真題）如圖為某海域示意圖，其中燈塔D的正東方向有一島

26、嶼C．一艘快艇以每小時(shí)20nmile的速度向正東方向航行，到達(dá)A處時(shí)得燈塔D在東北方向上，繼續(xù)航行0.3h，到達(dá)B處時(shí)測(cè)得燈塔D在北偏東30°方向上，同時(shí)測(cè)得島嶼C恰好在B處的東北方向上，此時(shí)快艇與島嶼C的距離是多少？（結(jié)果精確到1nmile．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45） 【答案】此時(shí)快艇與島嶼C的距離是20nmile． 【解析】 解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，如圖所示． 則DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°． ∵DC∥EF， ∴四邊形CDEF為平行四邊形． 又∵∠CFE＝90°， ∴?CDEF為矩形， ∴CF＝DE．

27、 根據(jù)題意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°． 設(shè)DE＝x（nmile）， 在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝， ∴AE＝＝x（nmile）． 在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝， ∴BE＝＝x（nmile）． ∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB， ∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3， ∴CF＝DE＝（9+3）nmile． 在Rt△CBF中，sin∠CBF＝， ∴BC＝≈20（nmile）． 答：此時(shí)快艇與島嶼C的距離是20nmile． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問(wèn)題，通過(guò)解直角三角形求出BC的長(zhǎng)是解

28、題的關(guān)鍵． 17．（2019·四川中考真題）如圖，海中有兩個(gè)小島，，某漁船在海中的處測(cè)得小島D位于東北方向上，且相距，該漁船自西向東航行一段時(shí)間到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得小島恰好在點(diǎn)的正北方向上，且相距，又測(cè)得點(diǎn)與小島相距． (1)求的值； (2)求小島，之間的距離(計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值)． 【答案】(1)；(2)小島、相距. 【解析】 (1)如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為， 在中，，， ∴ 在中，， ∴； (2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則四邊形BEDF是矩形， 在中，，， ∴， ∵四邊形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 因此小島、相距. 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直

29、角三角形的應(yīng)用，正確添加輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形，靈活運(yùn)用相應(yīng)三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵. 18．（2019·遼寧中考真題）如圖，學(xué)校教學(xué)樓上懸掛一塊長(zhǎng)為的標(biāo)語(yǔ)牌，即．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小紅要測(cè)量標(biāo)語(yǔ)牌的底部點(diǎn)到地面的距離．測(cè)角儀支架高，小明在處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)的仰角為，小紅在處測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂部點(diǎn)的仰角為，，依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)能否求出標(biāo)語(yǔ)牌底部點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)？若能，請(qǐng)計(jì)算；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由（圖中點(diǎn)，，，，，，在同一平面內(nèi)） （參考數(shù)據(jù)：，， 【答案】能，點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為． 【解析】 能， 理由如下：延長(zhǎng)交于， 則， ， ， 設(shè)，則， ， 在中，，則， ， 解

30、得，， 則， 答：點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)約為． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 27．（2019·湖南中考真題）天門(mén)山索道是世界最長(zhǎng)的高山客運(yùn)索道，位于張家界天門(mén)山景區(qū)．在一次檢修維護(hù)中，檢修人員從索道A處開(kāi)始，沿A﹣B﹣C路線(xiàn)對(duì)索道進(jìn)行檢修維護(hù)．如圖：已知米，米，AB與水平線(xiàn)的夾角是，BC與水平線(xiàn)的夾角是．求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度是多少米？(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：) 【答案】檢修人員上升的垂直高度為943米． 【解析】 如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H． 在中，，， (米)， (米

31、)， 在中，，， ， ， 檢修人員上升的垂直高度(米) 答：檢修人員上升的垂直高度為943米． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵. 19．（2019·陜西中考真題）小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹(shù)的高度。一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹(shù)前，由于有圍欄保護(hù)，他們無(wú)法到達(dá)古樹(shù)的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹(shù)周?chē)目盏厣线x擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器DC，測(cè)得古樹(shù)的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上確定一點(diǎn)G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著B(niǎo)G方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)帶

32、點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹(shù)的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測(cè)傾器的高度CD=0.5米。已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線(xiàn)上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹(shù)的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計(jì)） 【答案】這棵古樹(shù)的高AB為18m． 【解析】 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H， 則CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°， 由題意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴，即， 解得：BD＝17.5， ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)， ∴這棵古樹(shù)的高AB為18m． 【點(diǎn)睛】 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.