2020年中考數(shù)學基礎題型提分講練 專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算（含解析）

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1、專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計算考點分析【例1】（2020安徽初三）（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（ADAB），將紙片折疊一次，使點A與點C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點E，交BC邊于點F，分別連結AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點P，使得2AE2=ACAP？若存在，請說明點P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析；（2）24cm；（3）存在，過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點，證明見解析.【解析】解：（1）四邊形ABCD是矩形，

2、ADBC，EAO=FCO，由折疊的性質可得：OA=OC，ACEF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF，四邊形AFCE是平行四邊形，ACEF，四邊形AFCE是菱形；（2）四邊形AFCE是菱形，AF=AE=10cm，四邊形ABCD是矩形，B=90，SABF=ABBF=24cm2，ABBF=48（cm2），AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-248=AF2=100（cm2），AB+BF=14（cm）ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）（3）證明：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，O

3、A=OC，AOE=COF=90，在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四邊形AFCE是菱形AOE=90，又EAO=EAP，由作法得AEP=90，AOEAEP，則AE2=AOAP，四邊形AFCE是菱形，AOAC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）；菱形的判定；矩形的性質，相似三角形的判定和性質，綜合性較強，掌握相關性質定理，正確推理論證是解題關鍵【例2】（2019江蘇泰州中學附屬初中初三月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，把一個含30的直角三角形BEF放在正方形上，其中FBE30，BEF90，BEBC，繞B點轉動FBE，

4、在旋轉過程中，（1）如圖1，當F點落在邊AD上時，求EDC的度數(shù)；（2）如圖2，設EF與邊AD交于點M，F(xiàn)E的延長線交DC于G，當AM2時，求EG的長；（3）如圖3，設EF與邊AD交于點N，當tanECD時，求NED的面積【答案】（1）15；（2）3；（3）【解析】解：（1）如圖1中，作EHBC于H，EMCD于M則四邊形EMCH是矩形四邊形ABCD是正方形，BABCCD，ABCBCD90，BCBE，ABBECD，在RtBFA和RtBFE中，RtBFARtBFE（HL），ABFEBF30，ABC90，EBC30，EHMCBECD，DMCM，EMCD，EDEC，BCE（18030）75，EDCEC

5、D15（2）如圖2中，連接BM、BGAM2，DMADAM4，由（1）可知BMABME，BGEBGC，AMEM2，EGCG，設EGCGx，則DG6x在RtDMG中，MG2DG2+DM2，（2+x）2（6x）2+42，x3，EG3（3）如圖3中，連接BN，延長FE交CD于G，連接BGANNE，EGCG，BEBC，BG垂直平分CE，ECG+BCG90，GBC+ECB90，ECDGCB，tanGBCtanECD，CGBC2，CD6，DGCDCG4，設ANENy，則DN6y，在RtDNG中，（6y）2+42（2+y）2，解得：y3，ANNE3，DN3，NG5，SNEDSDNG34【點睛】本題是四邊形綜合

6、題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題考點集訓1（2020陜西初三期中）問題：如圖，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA2，PB=，PC1，求BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長李明同學的思路是：將BPC繞點B逆時針旋轉60，畫出旋轉后的圖形(如圖)，連接PP，可得PPB是等邊三角形，而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證)，可得APB ，所以BPCAPB ，還可證得ABP是直角三角形，進而求出等邊三角形ABC的邊長為 ，問題得到解決（1）根據(jù)李明

7、同學的思路填空：APB ，BPCAPB ，等邊三角形ABC的邊長為 （2）探究并解決下列問題：如圖，在正方形ABCD內有一點P，且PA，PB，PC1.求BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長【答案】（1）APB150，BPCAPB150，等邊三角形ABC的邊長為；（2）BPC135，正方形ABCD的邊長為.【解析】（1）等邊ABC，ABC=60，將BPC繞點B逆時針旋轉60得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60，ABP+ABP=ABC=60，BPP是等邊三角形，PP=，BPP=60，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=

8、90，BPC=APB=90+60=150，過點B作BMAP，交AP的延長線于點M，MPB=30，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，故答案為：150，（2）將BPC繞點B逆時針旋轉90得到AEB，與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，BPC=AEB，ABE=PBC，EBP=EBA+ABP=ABC=90，BEP=（180-90）=45，由勾股定理得：EP=2，AE=1，AP=，EP=2，AE2+PE2=AP2，AEP=90，BPC=AEB=90+45=135，過點B作BFAE，交AE的延長線于點F；FEB=45，F(xiàn)E=BF=1，AF=2；在RtABF中，

9、由勾股定理，得AB=；BPC=135，正方形邊長為答：BPC的度數(shù)是135，正方形ABCD的邊長是【點睛】本題主要考查對勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的 直角三角形的性質，正方形的性質，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質進行證明是解此題的關鍵2（2019云南初三月考）如圖，矩形ABCD中，AB4，AD3，E是邊AB上一點，將CBE沿直線CE對折，得到CFE，連接DF（1）當D、E、F三點共線時，證明：DECD；（2）當BE1時，求CDF的面積；（3）若射線DF交線段AB于點P，求BP的最大值【答案】（1）見解析；（2）；（3）4【解

10、析】證明：（1）四邊形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEBDCEFECDECD（2）如圖1，延長EF交CD的延長線于點G，四邊形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEB，CFBC3，EFBE1，CFE90DCEFEC，CFG90CGEG，GFGEEFCG1在RtCGF中，CG2CF2+GF2，CG29+（CG1）2，解得：CG5CDF與CGF分別以CD、CG為底時，高相等SCDFSCGF（3）如圖2，過點C作CHDP于點H，連接CP，CDABCDPAPD，且ACHD90ADPHCD，CH

11、CF，CFBCAD3CH3當點H與點F重合時，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此時，在ADP與HCDADPHCD（AAS）CDDP4，APDFAPBP的最大值為4【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟知矩形的性質、勾股定理及相似三角形的判定與性質3（2019江蘇初二期末）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點M（1）直接寫出AM=；（2）P是射線AM上的一點，Q是AP的中點，設PQ=xAP= ，AQ= ；以PQ為對角線作正方形，設所作正方形與ABD公共部分的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S，并寫出相應的x的取值范圍(直接寫出，不需要寫過程)【答案】（

12、1）；（2）2x，x；S(0x)【解析】解：（1）正方形ABCD的邊長為4，對角線AC4，又AM2故答案為：2（2）Q是AP的中點，設PQ=x，AP=2PQ=2x，AQ=x故答案為：2x；x如圖：以PQ為對角線作正方形，GQM=FQM=45正方形ABCD對角線AC、BD交于點M，F(xiàn)MQ=GMQ=90，F(xiàn)MQ和GMQ均為等腰直角三角形，F(xiàn)M=QM=MGQM=AMAQ=2x，SFGQM，S，依題意得：，0x2，綜上所述：S(0x2)，【點睛】本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角解答本題要充分利用等腰直角三角形

13、性質解答4（2019江蘇初二期末）（1）如圖1，已知正方形ABCD，點M和N分別是邊BC，CD上的點，且BM=CN，連接AM和BN，交于點P猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論；（2）如圖2，將圖（1）中的APB繞著點B逆時針旋轉90，得到APB，延長AP交AP于點E，試判斷四邊形BPEP的形狀，并說明理由【答案】（1）AMBN，證明見解析；（2）四邊形BPEP是正方形，理由見解析.【解析】（1）AMBN 證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90BM=CN，ABMBCN BAM=CBNCBN+ABN=90，ABN+BAM=90，APB=90AMBN （2）四邊形BPE

14、P是正方形. APB是APB繞著點B逆時針旋轉90所得，BP= BP,PBP=90.又由（1）結論可知APB=APB=90，BPE=90.所以四邊形BPEP是矩形.又因為BP= BP,所以四邊形BPEP是正方形.【點睛】此題主要考查特殊平行四邊形的性質與判定，解題的關鍵是熟知正方形的性質與判定.5（2020山東初三期末）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點A作AHDG，交BG于點H連接HF，AF，其中AF交EC于點M（1）求證：AHF為等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的長【答案】（1）見解析；（2）EM【解析】證明：（1）四邊形ABCD，四邊形EC

15、GF都是正方形DABC，ADCD，F(xiàn)GCG，BCGF90ADBC，AHDG，四邊形AHGD是平行四邊形AHDG，ADHGCD，CDHG，ECGCGF90，F(xiàn)GCG，DCGHGF（SAS），DGHF，HFGHGDAHHF，HGD+DGF90，HFG+DGF90DGHF，且AHDG，AHHF，且AHHFAHF為等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE2，EF5ADEF，且DE2EM【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例等知識點，綜合性較強難度大靈活運用這些知識進行推理是本題的關鍵6（2020深圳市龍崗區(qū)石芽嶺學校初三月考）如圖

16、，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N（1）求證：CM=CN；（2）若CMN的面積與CDN的面積比為3：1，求的值【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】解：（1）證明：由折疊的性質可得：ANM=CNM，四邊形ABCD是矩形，ADBCANM=CMNCMN=CNMCM=CN（2）過點N作NHBC于點H，則四邊形NHCD是矩形HC=DN，NH=DCCMN的面積與CDN的面積比為3：1，MC=3ND=3HCMH=2HC設DN=x，則HC=x，MH=2x，CM=3x=CN在RtCDN中，HN=在RtMNH中，7（2020河南初三）如

17、下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點另一邊交的延長線于點（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關系是 ；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經過點，其他條件不變，若、，求的值【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.【解析】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性質得在和中，；（2）成立，證明如下：如圖，過點分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形由正方形對角

18、線的性質得，為的角平分線則在和中，；（3）如圖，過點分別作，垂足分別為同（2）可知，由長方形性質得：，即在和中，.【點睛】本題考查了正方形的性質、矩形的性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定定理與性質，較難的是題（3），通過作輔助線，構造兩個相似三角形是解題關鍵.8（2020江蘇初二期中）如圖，長方形紙片ABCD中，AB8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上（1）如圖1，當折痕的另一端F在AB邊上且AE4時，求AF的長；（2）如圖2，當折痕的另一端F在AD邊上且BG10時，求證：EFG是等腰三角形；求AF的長；（3）如圖3，當折痕的另一端F在AD邊上

19、，B點的對應點E到AD的距離是4，且BG5時，求AF的長【答案】（1）AF3；（2）見解析；AF6；（3）AF1【解析】（1）解：紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，BFEF，AB8，EF8AF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，即42+AF2（8AF）2，解得AF3；（2）證明：紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，BGFEGF，長方形紙片ABCD的邊ADBC，BGFEFG，EGFEFG，EFEG，EFG是等腰三角形；解：紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，EGBG10，HEAB8，F(xiàn)HAF，EFEG10，在RtEFH中，F(xiàn)H6， AFFH6；（3）解：如圖3，設EH與AD相交于點K

20、，過點E作MNCD分別交AD、BC于M、N，E到AD的距離為4，EM4，EN844，在RtENG中，EG=BG=5，GN3， GEN+KEM180GEH1809090，GEN+NGE1809090，KEMNGE，又ENGKME90，GENEKM，即， 解得EK，KM， KHEHEK8， FKHEKM，HEMK90，F(xiàn)KHEKM，即， 解得FH1，AFFH1【點睛】此題考查折疊的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質定理，每個小問的問題都是求AF的長度，故解題中注意思路和方法的總結，（3）中的解題思路與（2）相類似，求出FH問題得解，故將問題轉化是解題的一種特別重要的思路.9（2019河南初三期

21、中）正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置，點A，D，G在同一條直線上，點E在CD邊上，AD3，DE，連接AE，CG（1）線段AE與CC的關系為_；（2）將正方形DEFG繞點D順時針旋轉一個銳角后，如圖2，請問（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由（3）在正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周的過程中，當AEC90時，請直接寫出AE的長【答案】（1）AECG，AECG；（2）仍然成立；理由見解析；（3）AE的長為2+1或21【解析】（1）線段AE與CG的關系為：AECG，AECG，理由如下：如圖1，延長AE交CG于點H，四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADECDG9

22、0，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+AED90，AEDCEH，GCD+CEH90，CHE90，即AECG，故答案為：AECG，AECG；（2）結論仍然成立，理由如下：如圖2，設AE與CG交于點H，四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADCEDG90，ADC+CDEEDG+CDE，即ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+APD90，APDCPH，GCD+CPH90，CHP90，即AECG，AECG，AECG，中的結論仍然成立；（3）如圖31，當點E旋轉到線段CG上時，過點D作DMAE于點M，AEC90，DEG45，A

23、ED45，RtDME是等腰直角三角形，MEMDDE1，在RtAMD中，ME1，AD3，AM2，AEAM+ME2+1；如圖32，當點E旋轉到線段CG的延長線上時，過點D作DNCE于點N，則END90，DEN45，EDN45，RtDNE是等腰直角三角形，NENDDE1，在RtCND中，ND1，CD3，CN2，CENE+CN2+1，ACAD3，在RtAEC中，AE21，綜上所述，AE的長為2+1或21 【點睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質，正方形的性質，旋轉的性質以及勾股定理，解題關鍵是在第（3）問中能夠根據(jù)題意分情況討論并畫出圖形，才能保證解答的完整性10（2019云南初三）如圖，在矩

24、形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，（1）求證：CBECPE；（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（3）若矩形ABCD的邊AB6，BC4，求CPF的面積【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）解：由折疊可知，EPEB，CPCB，ECEC，ECPECB（SSS）（2）證明：由折疊得到BEPE，ECPB，E為AB的中點，AEEBPE，APBP，AFEC，AEFC，四邊形AECF為平行四邊形；（3）過P作PMDC，交DC于點M，在RtEBC中，EB3，BC4，根據(jù)勾股定理得： ，由折疊得：BP2BQ

25、，在RtABP中，AB6，BP，根據(jù)勾股定理得： ,四邊形AECF為平行四邊形，AFEC5，F(xiàn)CAE3，PF5，PMAD，F(xiàn)PMFAD，即解得：PM，則SPFCFCPM3【點睛】本題考查的是利用折疊性質來證明三角形全等和平行四邊形四邊形，還考查了利用勾股定理、面積公式來求三角形的邊長，利用相似三角形的性質對應邊成比例來求出三角形的高，進而求出三角形的面積本題第（3）中求也可利用APBEBC，對應邊成比例,求AP，這樣比較簡便11（2019江西初三期中）在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結PA，分別過點B、D作BEPA、DFPA，垂足為E、F，如圖（1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長

26、度具有怎樣的數(shù)量關系，若點P在DC的延長線上（如圖），那么這三條線段的長度之間又有怎樣的數(shù)量關系？若點P在CD的延長線上呢（如圖）？請分別直接寫出結論（2）請在（1）中的三個結論中選擇一個加以證明【答案】（1）圖中，BE=DF+EF；圖中，BE=DF-EF；圖中，BE=EF-DF；（2）見解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90，BAE+DAF=90，BEPA，DFPA，AEB=DFA=90，ABE+BAE=90，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)，AE=DF，AF=BE，如圖，AF=AE+EF，BE=DF+EF，如圖，AE=AF+EF，BE

27、= DF -EF，如圖，EF=AE+AF，BE = EF -DF（2）證明：如圖題，ABCD是正方形，AB=AD，BEPA，DFPA，AEB=AFD=90，ABE+BAE=90DAF+BAE=90，ABE=DAF，RtABERtDAF，BE=AF，AE=DF，而AF=AE+EF，BE=DF+EF；【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵12（2020河北初三期末）如圖，在正方形中，點是邊上的一點（不與、重合），點在的延長線上，且滿足，連接、，與邊交于點（1）求證：；（2）如果，求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】解：證明（1）四邊形ABCD是正方形，ABAD，CADACB45，BADCDAB90，BAMMAD90，ADN90MAN90，MADDAN90，BAMDAN，且ADAB，ABCADN90ABMADN（ASA）AMAN，（2）AMAN，MAN90，MNA45， CAD2NAD45，NAD22.5CAMMANCADNAD22.5CAMNAD，ACBMNA45， AMCAEN ，且ANAM，AN2AEAC【點睛】本題主要考查正方形的性質，全等三角形和相似三角形的判定及性質，掌握正方形的性質，全等三角形和相似三角形的判定及性質是解題的關鍵