湖南省中考數(shù)學(xué) 第二部分 重難題型突破 題型三 圖形動態(tài)探究題課件

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1、題型三 圖形動態(tài)研究題圖形動態(tài)研究題線段問題線段問題類型一類型一類型二類型二圖形形狀問題圖形形狀問題類型三類型三圖形面積問題圖形面積問題類型一類型一 線段問題線段問題 例例(2015岳陽岳陽)已知直線已知直線mn,點點C是直線是直線m上一點上一點,點點D是直線是直線n上一點上一點,CD與直線與直線m、n不垂直不垂直,點點P為線段為線段CD的中點的中點 (1)操作發(fā)現(xiàn)：直線操作發(fā)現(xiàn)：直線lm,ln,垂足分別為點垂足分別為點A、B,當(dāng)當(dāng)點點A與點與點C重合時重合時(如圖所示如圖所示),連接連接PB,請直接寫出線段請直接寫出線段PA與與PB的數(shù)量關(guān)系：的數(shù)量關(guān)系：_； (2)猜想證明：在圖的情況下猜

2、想證明：在圖的情況下,把直線把直線l向上平移到如向上平移到如圖的位置圖的位置,試問試問(1)中的中的PA與與PB的關(guān)系式是否仍然成立？的關(guān)系式是否仍然成立？若成立若成立,請證明；若不成立請證明；若不成立,請說明理由；請說明理由； (3)延伸探究：在圖的情況下延伸探究：在圖的情況下，把直線把直線l繞點繞點A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，使得使得APB=90(如圖所示如圖所示)，若兩平行線若兩平行線m、n之間之間的距離為的距離為2k，求證：求證：PAPB=kAB. (1)【思維教練】【思維教練】要判斷要判斷PA與與PB的數(shù)量關(guān)系，的數(shù)量關(guān)系，觀察圖形，已知點觀察圖形，已知點P為為CD中點，聯(lián)想到直角三角形中點，聯(lián)想到

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過證明斜邊上的中線等于斜邊的一半，通過證明ABD為直角三角形，即可得到結(jié)論；為直角三角形，即可得到結(jié)論； 解解：PA=PB； 【解法提示】【解法提示】ln，ABD是直角三角形，是直角三角形，又又點點P是是AD的中點，的中點，PB= =PA. (2)【思維教練思維教練】要證】要證PA=PB，只需證明點只需證明點P在線段在線段AB的垂直平分線上即可；的垂直平分線上即可； 解解：成立：成立 證明：如解圖證明：如解圖，過點過點C作作CEn于點于點E，過點過點P作作PFCE于點于點F， PFn，點點P是是CD的中點的中點， 點點F是是CE的中點的中點，PF垂直平分

4、垂直平分CE， mn，ABm， AB= =CE，且且ABCE， PF垂直且平分垂直且平分AB，PA= =PB； 【一題多解】如解圖【一題多解】如解圖，過過P作作EFAB，交交m于點于點E，交交n于點于點F， ABm，ABn，EFm，EFn，四邊形四邊形EFBA是矩形是矩形，AE=BF.P是是CD的中點的中點，PC=PD，mn，PCE=PDF，又又EPC=FPD，PCE PDF(ASA)，PE=PF，RtPEA RtPFB(SAS)，PA=PB.(3)【思維教練】延長【思維教練】延長AP交直線交直線n于點于點F，過點過點A作作AEn于點于點E，易證易證AEFBPF，即可得到即可得到AFBP= =

5、AEBF，從而證得從而證得PAPB=kAB. 證明證明：如解圖：如解圖，延長延長AP交直線交直線n于點于點F，過過A作作AEn 于點于點E. mn，點點P為線段為線段CD的中點的中點， ， AP=PF， APB=90，BPAF， BF=AB，APPCPFPDAEn，AEF=90，又又AFE=BFP，RtAEFRtBPF， ，AFBP=AEBF，又又AF=2AP，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，即即PAPB=kAB.AFAEBFBP 與線段有關(guān)的動態(tài)探究題與線段有關(guān)的動態(tài)探究題，通常有以下幾類：通常有以下幾類： 1. 探究或者證明兩線段的數(shù)量關(guān)系：探究或者證明兩線段的數(shù)量關(guān)系： (

6、1)要證明的線段在某一四邊形中要證明的線段在某一四邊形中，考慮利用特殊四考慮利用特殊四邊形的性質(zhì)邊形的性質(zhì)，通過量的轉(zhuǎn)換、等量代換進(jìn)行求證；通過量的轉(zhuǎn)換、等量代換進(jìn)行求證； (2)如果所要證明的線段在某個三角形中如果所要證明的線段在某個三角形中，考慮利用考慮利用等腰、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求證；等腰、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求證； (3)如果所要證明的線段在兩個三角形中如果所要證明的線段在兩個三角形中，考慮通過考慮通過三角形全等的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明；三角形全等的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明； (4)三條線段的數(shù)量關(guān)系三條線段的數(shù)量關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為兩條線段進(jìn)行探可轉(zhuǎn)化為兩條線段進(jìn)行探究究導(dǎo)方 法 指 2. 探究或

7、者證明兩線段的位置關(guān)系：兩線段的位置關(guān)探究或者證明兩線段的位置關(guān)系：兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直觀察圖形系通常為平行或垂直觀察圖形，根據(jù)圖形先推斷兩線根據(jù)圖形先推斷兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直段的位置關(guān)系是平行或垂直 若平行若平行，則常通過以下方法進(jìn)行證解則常通過以下方法進(jìn)行證解： (1)平行線判定的定理；平行線判定的定理；(2)平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊平行；(3)三三角形的中位線性質(zhì)等角形的中位線性質(zhì)等 若垂直若垂直，則常通過以下方法進(jìn)行證解則常通過以下方法進(jìn)行證解： (1)證明兩線段所在直線的夾角為證明兩線段所在直線的夾角為90；(2)兩線段是矩兩線段是矩形的鄰邊；形的鄰邊；

8、(3)兩線段是菱形的對角線；兩線段是菱形的對角線；(4)勾股定理的逆勾股定理的逆定理；定理；(5)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明導(dǎo)方 法 指 3. 求線段的長度、比值時一般多涉及三角形全等和求線段的長度、比值時一般多涉及三角形全等和相似的相關(guān)證明和性質(zhì)的運(yùn)用相似的相關(guān)證明和性質(zhì)的運(yùn)用，具體方法如下：要計具體方法如下：要計算線段比、面積比時算線段比、面積比時，可考慮從以下兩方面思考：可考慮從以下兩方面思考：(1)直接利用特殊圖形的性質(zhì)先求出對應(yīng)線段、面積的值直接利用特殊圖形的性質(zhì)先求出對應(yīng)線段、面積的值，再求比值；再求比值；(2)通過尋找相似三角形通

9、過尋找相似三角形，利用相似三角形利用相似三角形的性質(zhì)求相應(yīng)的比值的性質(zhì)求相應(yīng)的比值導(dǎo)方 法 指類型二類型二 圖形形狀問題圖形形狀問題 例例(2016郴州郴州)如圖如圖，矩形矩形ABCD中中，AB=7cm，AD=4 cm，點點E為為AD上一定點上一定點，點點F為為AD延長線上一點延長線上一點，且且DF=a cm.點點P從從A點出發(fā)點出發(fā)，沿沿AB邊向點邊向點B以以2cm/s的速度運(yùn)的速度運(yùn)動連接動連接PE，設(shè)點設(shè)點P運(yùn)動的時間為運(yùn)動的時間為t s，PAE的面積為的面積為y cm2.當(dāng)當(dāng)0t1時時，PAE的面積的面積y (cm2)關(guān)于時間關(guān)于時間t(s)的函數(shù)圖象的函數(shù)圖象如圖所示連接如圖所示連接

10、PF，交交CD于點于點H.(1)t的取值范圍為的取值范圍為_，AE=_cm；(2)如圖如圖，將將HDF沿線段沿線段DF進(jìn)行翻折進(jìn)行翻折，與與CD的延長線的延長線交于點交于點M，連接連接AM，當(dāng)當(dāng)a為何值時為何值時，四邊形四邊形PAMH為菱形？為菱形？并求出此時點并求出此時點P的運(yùn)動時間的運(yùn)動時間t； (3)如圖如圖，當(dāng)點當(dāng)點P出發(fā)出發(fā)1s后后，AD邊上另一動點邊上另一動點Q從從E點點出發(fā)出發(fā)，沿沿ED邊向點邊向點D以以1cm/s的速度運(yùn)動如果的速度運(yùn)動如果P，Q兩點兩點中的任意一點到達(dá)終點后中的任意一點到達(dá)終點后，另一點也停止運(yùn)動另一點也停止運(yùn)動，連接連接PQ，QH.若若a= cm，請問請問P

11、QH能否構(gòu)成直角三角形？若能能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出點請求出點P的運(yùn)動時間的運(yùn)動時間t；若不能；若不能，請說明理由請說明理由43 (1)【思維教練思維教練】t 的最小值為的最小值為0，t 的最大值與的最大值與AB的長有的長有關(guān)；要求關(guān)；要求AE的長的長，將將y與與t的關(guān)系式表示出來的關(guān)系式表示出來，結(jié)合圖結(jié)合圖即即可求解；可求解；解：解： ，1；【解法提示】由【解法提示】由2t7，得，得 ， . ，從圖象可知，當(dāng)從圖象可知，當(dāng)t=0.5時，時，y=0.5，即即0.5=0.5AE，解得解得AE=1.t702 t72t702 yPA AEt AEt AE 11222 (2)【思維教練】根據(jù)

12、【思維教練】根據(jù)PFAM和翻折的性質(zhì)得到和翻折的性質(zhì)得到 AM=MF，可得可得DF=AD=a；要求；要求 t 的值只能放在直角三角形的值只能放在直角三角形中中，用勾股定理解決用勾股定理解決，而各邊長可通過菱形的性質(zhì)和翻而各邊長可通過菱形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)用折的性質(zhì)用 t 表示即可求解；表示即可求解；解解：由翻折的性質(zhì)可知：由翻折的性質(zhì)可知：PFA=MFA，而當(dāng)四邊形而當(dāng)四邊形PAMH為菱形時為菱形時，PFAM，PFA=MAF=MFA, MA=MF，MDAF，DF=AD=4cm，a=4.MH=PA=2t，DM=t，在在RtADM中中，AM2=AD2DM2=16t2， 若四邊形若四邊形PAMH為菱

13、形為菱形，則則AP2=AM2， 4t 2=16t 2，解得：，解得：t = （負(fù)值舍去）（負(fù)值舍去）當(dāng)當(dāng)a=4時，四邊形時，四邊形PAMH為菱形，此時點為菱形，此時點P的運(yùn)動的運(yùn)動時間時間 t 為為 s4 334 33(3)【思維教練】將相關(guān)線段用含【思維教練】將相關(guān)線段用含t的式子表示出來的式子表示出來，通過分類討論：通過分類討論：PQH= =90；PHQ= =90；QPH= =90，分別運(yùn)用相似三角形的比例關(guān)系式分別運(yùn)用相似三角形的比例關(guān)系式求求出出t 值即可值即可解解：由題意得：由題意得，AP=2t，AQ=11(t1)=t，DQ=4t， , ,DHPA，DF 434164,33AFt43

14、,16223DHDFDHtDHPAAF即即當(dāng)當(dāng)PQH=90時，時，PQAHQD=HQDQHD=90，PQA=QHD，又又A=HDQ=90，PQAQHD， 解得解得 t =2；當(dāng)當(dāng)PHQ=90 時，時，DHFQ，QDHHDF，242PAAQtttQDDHt，即即DHQDDFHD，DH2=DFDQ， 當(dāng)當(dāng)QPH=90時時，這種情況不存在這種情況不存在綜上綜上，當(dāng)當(dāng)t =2或或 t = 時時，PQH為直角三角形為直角三角形2tttt1244238= 83（ ）（），-；- -解解得得（舍舍去去）83 與圖形形狀有關(guān)的動態(tài)探究題與圖形形狀有關(guān)的動態(tài)探究題, 通常見有以下幾種類型：通常見有以下幾種類型：

15、 一、探究一、探究等腰三角形等腰三角形的問題具體方法如下：的問題具體方法如下： 1分情況討論分情況討論.當(dāng)所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三當(dāng)所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的底角形的底,哪條邊是等腰三角形的腰時哪條邊是等腰三角形的腰時,這時要對其進(jìn)行分這時要對其進(jìn)行分類討論類討論,假設(shè)某兩條邊相等假設(shè)某兩條邊相等,得到三種情況；得到三種情況； 2求邊長求邊長.在每種情況下在每種情況下,用題設(shè)中已設(shè)出自變量用題設(shè)中已設(shè)出自變量(時間時間t或線段長或線段長x)表示出假設(shè)相等的兩條邊的長或第三邊的長；表示出假設(shè)相等的兩條邊的長或第三邊的長； 3建立關(guān)系式并計算根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定建立關(guān)系

16、式并計算根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式,根據(jù)等量關(guān)系求出根據(jù)等量關(guān)系求出t值或值或x值即可值即可導(dǎo)方 法 指二、探究二、探究直角三角形直角三角形的問題具體方法如下：的問題具體方法如下： 1分情況討論當(dāng)所給的條件不能確定直角頂點分情況討論當(dāng)所給的條件不能確定直角頂點時時，分情況討論分情況討論，分別令三角形的某個角為分別令三角形的某個角為90； 2求邊長在每種情況下求邊長在每種情況下，用題設(shè)中已設(shè)出自變用題設(shè)中已設(shè)出自變量量(時間時間t或線段長或線段長x)表示出三邊的長；表示出三邊的長； 3驗證求解：用相似三角形的性質(zhì)或勾股定理進(jìn)驗證求

17、解：用相似三角形的性質(zhì)或勾股定理進(jìn)行驗證并求解出結(jié)論成立時的行驗證并求解出結(jié)論成立時的t值或值或x值即可值即可導(dǎo)方 法 指類型三類型三 圖形面積問題圖形面積問題 例例(2016益陽益陽)如圖如圖，在在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1，D為為AB的中點的中點，EF為為ACD的中位的中位線線，四邊形四邊形EFGH為為ACD的內(nèi)接矩形的內(nèi)接矩形(矩形的四個頂點矩形的四個頂點均在均在ACD的邊上的邊上) (1)計算矩形計算矩形EFGH的面積；的面積； (2)將矩形將矩形EFGH沿沿AB向右平移向右平移，F(xiàn)落在落在BC上時停止上時停止移動在平移過程中移動在平移過程中，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重

18、疊部分的面積重疊部分的面積為為 時時，求矩形平移的距離；求矩形平移的距離；316 (3)如圖如圖，將將(2)中矩形平移停止時所得的矩形記為中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形矩形E1F1G1H1，將矩形將矩形E1F1G1H1繞繞G1點按順時針方向旋點按順時針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，當(dāng)當(dāng)H1落在落在CD上時停止轉(zhuǎn)動上時停止轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形E2F2G1H2，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，求求cos的值的值例題圖例題圖 (1)【思維教練】要求矩形【思維教練】要求矩形EFGH的面積的面積，需求需求EF、GF的長的長，利用中位線的性質(zhì)可得利用中位線的性質(zhì)可得EF、DF，從而在從而在FGD中中可求

19、得可求得GF，即可得解；即可得解； 解解：在：在ABC中中，ACB=90，B=30，AC=1， AB=2，A=60 又又D是是AB的中點的中點，AD=1，CD=AD= AB=1 又又EF是是ACD的中位線，的中位線，EF= AD= CD= DF 在在ACD中，中，AD=CD, A=60，ADC=60. 在在FGD中，中，GF=DFsin60= S矩形矩形EFGH= =EFGF= = = ；1234343812121212 (2)【思維教練】分情況討論【思維教練】分情況討論，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部重疊部分為三角形和四邊形時分為三角形和四邊形時，分別令重疊部分面積為分別令重疊部分面積為 即可

20、即可求解；求解；316 解解：由第：由第(1)問問，易得易得GD= DF= ，設(shè)矩形平移的距設(shè)矩形平移的距離為離為x，則則0 x ，如解圖如解圖，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部分為重疊部分為三角形時三角形時，則則0 x ，1214=().Sxx1332162144，重重疊疊解解得得舍舍去去1214 如解圖如解圖，當(dāng)矩形與當(dāng)矩形與CBD重疊部分為四邊形時重疊部分為四邊形時，則則 x ， 即當(dāng)矩形平移的距離為即當(dāng)矩形平移的距離為 ， 矩形與矩形與CBD重疊部重疊部分分的面積是的面積是 .1214=.Sxx3113342441638，重重疊疊解解得得38316 (3)【思維教練】【思維教練】作作H2QAB于于Q，設(shè)設(shè)DQ=m，則則H2Q= m，又又DG1= ，H2G1= ，利用勾股定理可得利用勾股定理可得m，在在RtQH2G1中中，利用三角函數(shù)解得利用三角函數(shù)解得cos.3121414 解解：如解圖：如解圖，過過H2作作H2QAB于于Q. .設(shè)設(shè)DQ= =m，則則H2Q= = m，又又DG1= = ，H2G1= .= .在在RtH2QG1中，中，()()( )=().mmm 2221111334216，舍舍去去負(fù)負(fù)值值解解得得+=QGDQH G1211131113313164cos.11682，312