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1、第第4 4節(jié)數列求和及綜合應用節(jié)數列求和及綜合應用知識梳理自測知識梳理自測考點專項突破考點專項突破解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 知識梳理自測知識梳理自測 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀教材導讀】 數列求和有哪些方法數列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法、錯位公式法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法、錯位相減法相減法. .知識梳理知識梳理 1.1.數列求和的基本方法數列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數列的求和公式求解直接用等差、等比數列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一
2、個數列如果一個數列aan n 滿足與首末兩項等滿足與首末兩項等“距離距離”的兩項的和相等的兩項的和相等( (或等于同一常數或等于同一常數),),那么那么求這個數列的前求這個數列的前n n項和項和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項相消法裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差把數列的通項拆成兩項之差, ,在求和時中間的一些項可以相互抵消在求和時中間的一些項可以相互抵消, ,從而求得其和從而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成, ,求和時可用求和
3、時可用分組求和法分組求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .(5)(5)并項求和法并項求和法一個數列的前一個數列的前n n項和中項和中, ,若項與項之間能兩兩結合求解若項與項之間能兩兩結合求解, ,則稱之為并項求和則稱之為并項求和. .形如形如a an n= = (-1)(-1)n nf(n)f(n)類型類型, ,可采用并項法求解可采用并項法求解. .(6)(6)錯位相減法錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的, ,那么這個那么這個數列的前數列的前n n項和可用此法來求項和可用此法
4、來求, ,如等比數列的前如等比數列的前n n項和公式就是用此法推導的項和公式就是用此法推導的. .2.2.數列應用題的常見模型數列應用題的常見模型(1)(1)等差模型等差模型: :當增加當增加( (或減少或減少) )的量是一個固定量時的量是一個固定量時, ,該模型是等差模型該模型是等差模型, ,增加增加( (或減少或減少) )的的量就是公差量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當后一個量與前一個量的比是一個固定的數時當后一個量與前一個量的比是一個固定的數時, ,該模型是等比模型該模型是等比模型, ,這個固這個固定的數就是公比定的數就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到
5、數列中任一項與它前面項之間的遞推關系式找到數列中任一項與它前面項之間的遞推關系式, ,可由遞推關系入手解決可由遞推關系入手解決實際問題實際問題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型是該模型的兩個特例等差模型、等比模型是該模型的兩個特例. .雙基自測雙基自測 1.1.數列數列1+21+2n-1n-1 的前的前n n項和為項和為( ( ) )(A)1+2(A)1+2n n (B)2+2 (B)2+2n n(C)n+2(C)n+2n n-1-1 (D)n+2+2 (D)n+2+2n nC CA A4.34.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+(n+2
6、)2+(n+2)2-n-n= =. 考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 數列求和數列求和反思歸納反思歸納 分組法求和的常見類型分組法求和的常見類型(1)(1)若若a an n= =b bn nc cn n, ,且且 b bn n,c,cn n 為等差或等比數列為等差或等比數列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項和項和. .反思歸納反思歸納 (1)(1)常見的裂項方法常見的裂項方法( (其中其中n n為正整數為正整數) )(2)(2)利用裂項相消法求和時利用裂項相消法求和時, ,應注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項應注意抵消后不一
7、定只剩下第一項和最后一項, ,也有可能前面剩兩項也有可能前面剩兩項, ,后面也剩兩項后面也剩兩項, ,再就是將通項公式裂項后再就是將通項公式裂項后, ,有時候需要有時候需要調整前面的系數調整前面的系數, ,使前后相等使前后相等. .解解: :(1)(1)設等差數列設等差數列aan n 的公差為的公差為d,d,等比數列等比數列bbn n 的公比為的公比為q.q.由已知由已知b b2 2+b+b3 3= =12,12,得得b b1 1(q+q(q+q2 2)=12,)=12,而而b b1 1=2,=2,所以所以q q2 2+q-6=0.+q-6=0.又因為又因為q0,q0,解得解得q=2.q=2.
8、所以所以b bn n=2=2n n. .由由b b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1, ,可得可得3d-a3d-a1 1=8,=8,由由S S1111=11b=11b4 4, ,可得可得a a1 1+5d=16,+5d=16,聯立聯立, ,解得解得a a1 1=1,d=3,=1,d=3,由此可得由此可得a an n=3n-2.=3n-2.所以數列所以數列aan n 的通項公式為的通項公式為a an n=3n-2,=3n-2,數列數列bbn n 的通項公式為的通項公式為b bn n=2=2n n. .考查角度考查角度3:3:錯位相減法求和錯位相減法求和【例例3 3】 ( (20172017天
9、津卷天津卷) )已知已知aan n 為等差數列為等差數列, ,前前n n項和為項和為S Sn n(n(nN N* *),),b bn n 是首項是首項為為2 2的等比數列的等比數列, ,且公比大于且公比大于0,b0,b2 2+b+b3 3=12,b=12,b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1,S,S1111=11b=11b4 4. .(1)(1)求求aan n 和和 b bn n 的通項公式的通項公式; ;(2)(2)求數列求數列aa2n2nb b2n-12n-1 的前的前n n項和項和( (nnN N* *).).反思歸納反思歸納 錯位相減法求和策略錯位相減法求和策略(1)(1)如果數列
10、如果數列aan n 是等差數列是等差數列,b bn n 是等比數列是等比數列, ,求數列求數列 a an nb bn n 的前的前n n項和時項和時, ,可采用錯位相減法可采用錯位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數列一般是和式兩邊同乘以等比數列 b bn n 的公比的公比, ,然后作差然后作差求解求解. .(2)(2)在寫在寫“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達式時應特別注意將兩式的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊錯項對齊”以便下一以便下一步準確寫出步準確寫出“S Sn n-qS-qSn n”的表達式的表達式. .(3)(3)在應用錯位相減法求和時在應用錯位相減法求和時, ,若等
11、比數列的公比為參數若等比數列的公比為參數, ,應分公比等于應分公比等于1 1和和不等于不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .考點二考點二 與數列求和有關的綜合問題與數列求和有關的綜合問題反思歸納反思歸納 (1)(1)數列與函數的綜合問題主要有以下兩類數列與函數的綜合問題主要有以下兩類: :已知函數條件已知函數條件, ,解解決數列問題決數列問題, ,一般利用函數的性質、圖象一般利用函數的性質、圖象; ;已知數列條件已知數列條件, ,解決函數問題解決函數問題, ,一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形一般要充分利用數列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形. .(2)(2)數列與
12、不等式的恒成立問題數列與不等式的恒成立問題. .此類問題常構造函數此類問題常構造函數, ,通過函數的單調性、通過函數的單調性、最值等解決問題最值等解決問題. .(3)(3)與數列有關的不等式證明問題與數列有關的不等式證明問題. .解決此類問題要靈活選擇不等式的證明解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .備選例題備選例題 【例例1 1】 已知數列已知數列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n, ,且且a a2 2a an n=S=S2 2+S+Sn n對一切正整數對一切正整數n n都成立都成立. .(1
13、)(1)求求a a1 1,a,a2 2的值的值; ;(2)(2)若若b bn n=(-1)=(-1)n na an n, ,求數列求數列 b bn n 的前的前n n項和項和T Tn n. . 解題規(guī)范夯實解題規(guī)范夯實 把典型問題的解決程序化把典型問題的解決程序化數列求和中的創(chuàng)新問題解題策略數列求和中的創(chuàng)新問題解題策略【典例典例】 (12 (12分分)()(20162016全國全國卷卷)S)Sn n為等差數列為等差數列aan n 的前的前n n項和項和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28.=28.記記b bn n=lg a=lg an n,其中其中xx表示不超過表示不超過x x的
14、最大整數的最大整數, ,如如0.9=0,lg 0.9=0,lg 99=1.99=1.(1)(1)求求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;(2)(2)求數列求數列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和. .審題指導審題指導關鍵信息關鍵信息信息轉化信息轉化S Sn n為等差數列為等差數列aan n 的前的前n n項和項和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28可以求得數列可以求得數列aan n 的通項的通項b bn n=lg a=lg an n,x,x的定義的定義, ,0.9=0,lg 99=10.9=0,lg 99=1分別求解分別求解b b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,b,b1 0001 000數列數列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和分組求和分組求和答題模板答題模板: :第一步第一步: :根據等差數列根據等差數列aan n 中的中的a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28求求a an n, ,再根據函數再根據函數xx的定義求的定義求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;第二步第二步: :分析分析b bn n=lg a=lg an n 的規(guī)律并分類求出的規(guī)律并分類求出b bn n; ;第三步第三步: :分組求和得數列分組求和得數列bbn n 的前的前1 0001 000項和項和. .
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