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1、專題五專題五: :平面向量平面向量 平面向量是高中數學的重要內容，它是銜接代數平面向量是高中數學的重要內容，它是銜接代數與幾何的橋梁和紐帶，向量、向量法在其他章節(jié)內容與幾何的橋梁和紐帶，向量、向量法在其他章節(jié)內容中的穿插、滲透和融合，是高考數學試題中的一道靚中的穿插、滲透和融合，是高考數學試題中的一道靚麗的風景，綜觀麗的風景，綜觀20082008年全國各地高考試卷，對平面向年全國各地高考試卷，對平面向量的考查主要包括以下三個層次：量的考查主要包括以下三個層次：（1 1）考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算）考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能；技能；（2 2）考查向量的坐標表示
2、，向量的線形運算和向量的）考查向量的坐標表示，向量的線形運算和向量的數量積；數量積；（3 3）和其他數學內容的）和其他數學內容的“交匯交匯”，如平面幾何、曲線、，如平面幾何、曲線、函數、三角、數列等，考查邏輯推理能力和運算能力函數、三角、數列等，考查邏輯推理能力和運算能力。專題備考指導及考情分析：專題備考指導及考情分析：（1 1）以選擇、填空題形式出現的題目仍）以選擇、填空題形式出現的題目仍以向量的運算為主；以向量的運算為主；（2 2）解答題以與三角函數、平面幾何、）解答題以與三角函數、平面幾何、解析幾何知識相結合的形式出現，此解析幾何知識相結合的形式出現，此類題綜合性比較強，難度較大。類題綜
3、合性比較強，難度較大。第一課時第一課時 向量的運算向量的運算考點系統(tǒng)整合考點系統(tǒng)整合一、知識整合一、知識整合1 1、主要知識點有：、主要知識點有：向量的加法、減法運算；實數與向向量的加法、減法運算；實數與向量的積；兩個向量數量積的運算以及向量的坐標表量的積；兩個向量數量積的運算以及向量的坐標表示。示。 重點內容是：向量共線的條件；向量的加減法運算重點內容是：向量共線的條件；向量的加減法運算法則；數量積法則；數量積cosbaba2、借助向量知識可以求解長度、夾角，判斷平行、垂直,cos,(0)abaaab baa b 等問題，依據有：,0(0,0)b ababab 這里。3,abcbaca ba
4、 b 、要注意的是：若 且 不一定有 ； 再者也不一定正確。4、理解向量及其有關概念；掌握向量的加法與減法； 掌握平面向量的數量積及其幾何意義；掌握向量 的坐標運算。二、方法整合二、方法整合 由于向量具有幾何形式和代數形式的雙重由于向量具有幾何形式和代數形式的雙重身份，使之成為中學數學知識的一個交匯點，身份，使之成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯(lián)系多項內容的媒介，因此在復習時要注成為聯(lián)系多項內容的媒介，因此在復習時要注意類比的方法和數形結合思想、轉化化歸思想意類比的方法和數形結合思想、轉化化歸思想的應用。的應用。高考聚焦高考聚焦:22cos,1),(1, 3sin2)(,OAxOBx axR
5、 aR ayOA OByx 1、已知O為坐標原點，（是常數），若求 關于 的函數解析式f(x),并化為一個角一個名稱的形式。22cos3sin2yOA OBxxa 解：2( )2cos3sin 22sin(2)16f xxxaxa 小結小結: :1、以三角函數為載體，簡單考察向量的運算，其、以三角函數為載體，簡單考察向量的運算，其次考察三角函數的性質，屬較簡單的題型。次考察三角函數的性質，屬較簡單的題型。2、次種類型的題關鍵是計算準確、次種類型的題關鍵是計算準確f(x)，再求解其他，再求解其他的性質，如單調區(qū)間、對稱軸、對稱中心等。的性質，如單調區(qū)間、對稱軸、對稱中心等。3、一定要辯清、一定要
6、辯清 和和 的正弦值和余弦值，實踐證的正弦值和余弦值，實踐證明開頭錯，則下面步步錯。明開頭錯，則下面步步錯。36211322OFOQSOF OQ 、已知 OFQ的面積為S，且， 若 ，求，的取值范圍。11111sin()sin,22OF OQOFOQOF FQ COSOF FQCOSSOF FQOF FQ 解：令， 又113tan,2221tan3,0,.43SS 而 ，又由小結：小結：1 1、向量的數量積運算及其變形運算要熟練掌、向量的數量積運算及其變形運算要熟練掌握。握。2 2、正切函數的單調性，確定角的取值范圍問、正切函數的單調性，確定角的取值范圍問 題，仔細些，不行就作出函數的圖象，確
7、保題，仔細些，不行就作出函數的圖象，確保萬無一失。萬無一失。3 3、以向量為載體考察三角函數的取值范圍問、以向量為載體考察三角函數的取值范圍問題，耐心細致計算即可。題，耐心細致計算即可。典型例題：0120071,(),21,a bOAa OBtb OCabtababxaxb 例：（年安徽聯(lián)考）設 ,是兩個不共線的非零向量（tR),(1)設那么當實數為何值時，A、B、C三點共線？（2）若且 與 夾角為120 ，那么實數為何值時的值最小?(1),11(1),2211,(1),221.OCOAOBOCababtt 解：(1)02222221(2)cos,22113(),241,.2aba bax b
8、xabxxxxaxbaxb 120時的值最小總結：總結： 共線向量定理、平面向量基本共線向量定理、平面向量基本定理是解決向量共線、共面的常用定理是解決向量共線、共面的常用工具，常用數量積解決向量長度、工具，常用數量積解決向量長度、夾角、位置關系問題。夾角、位置關系問題。213( 3, 1),( ,),2 2(1)(3) ,(3)2ababx atbyka tbxy 例2：已知平面向量證明：；（2）若存在不同時為零的實數k和t，使 =且是求函數關系式k=f(t);根據（）的結論，確定k=f(t)的單調區(qū)間。1333( 3, 1) ( ,)02 222.a bab 解析：(1)證明22222(2)
9、:,(3)()0(3)(3)0 xyatbkatbkak ta bta bt tb 解 由知222(3)0abkat tb 上式又可化為23113,(3),( ).444a bkt tkf ttt 把的坐標帶入上式得即2333(3)( ),( )0,11,4413( )(, 1),(1,).44( )0,11,f ttf tttkf tttf tt 解令得或函數的增區(qū)間為令得1024aba b 總結：（）考察向量垂直的充要條件；（）考察向量的加減及數乘和數量積的運算；（3）利用導數確定函數的單調區(qū)間，注意適時運用；（）注意兩個單調區(qū)間中間不能用并集符號“ ”。313( )44kf ttt函數的
10、減區(qū)間為(-1,1)233( ,4),(,),4, 2 .2(1)2ax xbxx xxa ba ba b 例 ：已知向量試用 表示；（ ）求的最大值，并求此時的夾角。23232233( ,4) (,)6 .223(2)( )62( )336( )0127(1),( 2)102a bx xxxxxxf xxxxfxxxfxxxff 解：(1)設則令，得或4 ,2 ,( 4)16,(2)2,2102643102 105,cos2 1051010,arccos,1010 xffxababababa b 又當時，的最大值為此時（，）， （ ， ），設的夾角為，故 ， 的夾角為ab 總結：此題給出兩向
11、量 ， ，將兩向量的數量積轉化為一元三次函數式，主要考查通過對函數求導來研究函數的單調性和最值問題，順便考察向量夾角公式，計算務必認真。分析：本題考察較為復雜的向量運算，需認真體會，分析：本題考察較為復雜的向量運算，需認真體會，三角公式不熟悉，計算易出錯，是高考考察的熱點。三角公式不熟悉，計算易出錯，是高考考察的熱點。解：（解：（1）xxxxxba2cos2sin23sin2cos23cos33(cos,sin),(cos, sin),2222023222xxaxx bxa baba bab 例4：已知向量且,；求（1）及；（ ）若f(x)=的最小值是，求實數 的值。22)2sin23(sin
12、)2cos23(cosxxxxbaxbaxx2cos2. 0cos,2, 0 xx2cos22cos22.21)(cos2)(,cos42cos)()2(22xxfxxxf即. 1cos0,2, 0 xx這與已知矛盾；取得最小值當且僅當時當1,-f(x)0,cosx,0) 1 (221)(cos10)2(取得最小值時，時，當且僅當當xfxcos51,8x總結：（1）通過向量的數量積運算將題目轉化為函數最值問題，運算細心些；（2）此題確定f(x)最值過程中，屬于二次函數動軸求最值問題，的討論由的取值范圍來決定，須仔細體會并認真計算；（3）分情況討論求出 的值時一定要注意前提條件，例如（3)中便與矛盾增根舍去。的余弦值。的坐標及取最小值時上的一動點，求當是直線點），（、設平面內的向量APBOPPBPAOMpOMOBOA),1 , 2(),1 , 5(,711的值。求、已知cottan)(2cos,31,21)0 ,cos2(),sin,(cos),cos,(sin2cabacbba_74c),3 , 2(),2 , 1 (1308(3）共線，則，（與向量若向量）設向量全國理、baba
高中數學：第二章 平面向量綜合 課件 新人教B版必修4
