《高考數(shù)學大一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 6.5 數(shù)學歸納法課件》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學大一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 6.5 數(shù)學歸納法課件（88頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、6.5數(shù)學歸納法基礎知識自主學習課時訓練題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識基礎知識自主學習自主學習數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取 (n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當 時命題也成立.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.知識梳理第一個值n0nk1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n1時結(jié)論成立.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明.()(3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸
2、納假設可以不用.()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由nk到nk1時，項數(shù)都增加了一項.()思考辨析思考辨析(5)用數(shù)學歸納法證明等式“12222n22n31”，驗證n1時，左邊式子應為122223.()(6)用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n03.() 考點自測答案解析當n1時，n12，左邊1a1a21aa2. 答案解析A.nk1時等式成立B.nk2時等式成立C.n2k2時等式成立D.n2(k2)時等式成立因為n為正偶數(shù)，nk時等式成立，即n為第k個偶數(shù)時命題成立，所以需假設n為下一個偶數(shù)，即nk2時等式成立. 答案解析凸n邊形邊數(shù)最小時是三角形，故第一步檢驗n3.答
3、案345n1題型分類題型分類深度剖析深度剖析題型一用數(shù)學歸納法證明等式題型一用數(shù)學歸納法證明等式證明當n2時，左邊f(xié)(1)1，左邊右邊，等式成立.假設nk(k2，kN*)時，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k當nk1時結(jié)論成立.由可知當nN*時，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).用數(shù)學歸納法證明恒等式應注意(1)明確初始值n0的取值并驗證nn0時等式成立.(2)由nk證明nk1時，弄清左邊增加的項，且明確變形目標.(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項；配方
4、法.思維升華證明左邊右邊，等式成立.假設nk(k1，kN*)時，等式成立.左邊右邊，等式成立.即對所有nN*，原式都成立.題型二用數(shù)學歸納法證明不等式題型二用數(shù)學歸納法證明不等式例例2(2016煙臺模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；解答由題意，Snbnr，當n2時，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1).由于b0且b1，所以n2時，an是以b為公比的等比數(shù)列.又a1br，a2b(b1)， 證明由(1)及b2知an2n1.因此bn2n(nN*)，假設nk(k1，kN*)時結(jié)論成立
5、，要證當nk1時結(jié)論成立，所以當nk1時，結(jié)論成立.數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時，若用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法.(2)關(guān)鍵：由nk時命題成立證nk1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練2若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過點P(4，5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點的橫坐標，試運用數(shù)學歸納法證明：2xnxn13.證明當n1時，x12，f(x1)3，Q1
6、(2，3).所以直線PQ1的方程為y4x11，即n1時結(jié)論成立.假設當nk時，結(jié)論成立，即2xkxk13.代入上式，令y0，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即當nk1時，結(jié)論成立.由知對任意的正整數(shù)n，2xnxn1x4x6，猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列.下面用數(shù)學歸納法證明：當n1時，已證命題成立.假設當nk時命題成立，即x2kx2k2，易知xk0，即x2(k1)x2(k1)2.所以當nk1時命題也成立.結(jié)合知，對于任何nN*命題成立.命題點命題點2與數(shù)列有關(guān)的證明問題與數(shù)列有關(guān)的證明問題例例4在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0).(1)求a2，a3，a4；解答 a
7、2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)猜想an 的通項公式，并加以證明.解答 由(1)可猜想數(shù)列通項公式為：an(n1)n2n.下面用數(shù)學歸納法證明：當n1，2，3，4時，等式顯然成立，假設當nk(k4，kN*)時等式成立，即ak(k1)k2k，那么當nk1時，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以當nk1時，ak1(k1)1k12k1，猜想成立，由知數(shù)列的通項公式為an(n1)n2n(nN*，0).命題點命題點3存在性問題的證明存在性問題的證明(1)若b1，求a2，a
8、3及數(shù)列an的通項公式；解答 再由題設條件知(an11)2(an1)21.從而(an1)2是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明上式：當n1時結(jié)論顯然成立.所以當nk1時結(jié)論成立.(2)若b1，問：是否存在實數(shù)c使得a2nca2n1對所有nN*成立？證明你的結(jié)論.解答 則an1f(an).下面用數(shù)學歸納法證明加強命題：a2nca2n11.假設nk時結(jié)論成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.這就是說，當nk1時結(jié)論成立.則
9、an1f(an).先證：0an1(nN*).當n1時，結(jié)論顯然成立.假設nk時結(jié)論成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，即0ak11.這就是說，當nk1時結(jié)論成立.故成立.再證：a2na2n1(nN*).有a2a3，即n1時成立.假設nk時，結(jié)論成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題
10、是最常見的問題.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練3(2015江蘇)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，設Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù).(1)寫出f(6)的值；解答 Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)滿足：若a1，則b1，2，3，4，5，6；若a2，則b1，2，4，6；若a3，則b1，3，6.所以f(6)13.(2)當n6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.解答 下面用數(shù)學歸納法證明：假設nk(k6)時結(jié)論成立，那么nk1時，Sk1在Sk的基礎上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生
11、，分以下情形討論：綜上所述，結(jié)論對滿足n6的自然數(shù)n均成立.典例典例(14分)數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*).(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)證明(1)中的猜想.歸納猜想證明問題答題模板系列答題模板系列5(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項公式.(2)用數(shù)學歸納法證明.思維點撥規(guī)范解答答題模板(1)解解當n1時，a1S12a1，a11；當n2時，a1a2S222a2，當n4時，a1a2a3a4S424a4，(2)證明證明當n1時，a11，結(jié)論成立.6分假設nk(k1且kN*)時，結(jié)論成立，那么nk1時，9
12、分ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.11分當nk1時，結(jié)論成立. 13分返回歸納猜想證明問題的一般步驟第一步：計算數(shù)列前幾項或特殊情況，觀察規(guī)律猜測數(shù)列的通項或一般結(jié)論；第二步：驗證一般結(jié)論對第一個值n0(n0N*)成立；第三步：假設nk(kn0，kN*)時結(jié)論成立，證明當nk1時結(jié)論也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對任意nn0，nN*成立.返回課時訓練課時訓練1.如果命題p(n)對nk(kN*)成立，則它對nk2也成立.若p(n)對n2也成立，則下列結(jié)論正確的是A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立C.p(n)對所有正奇數(shù)n都
13、成立D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立答案解析n2時，nk，nk2成立，n為2，4，6，故n為所有正偶數(shù).1234567891011122.用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，在第二步時，正確的證法是A.假設nk(kN*)，證明nk1時命題成立B.假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk1時命題成立C.假設n2k1(kN*)，證明nk1時命題成立D.假設nk(k是正奇數(shù))，證明nk2時命題成立答案解析相鄰兩個正奇數(shù)相差2，故D選項正確.1234567891011123.(2016淄博質(zhì)檢)設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當f(k)k1成立時，總能推出f(k1
14、)k2成立，那么下列命題總成立的是A.若f(1)2成立，則f(10)11成立B.若f(3)4成立，則當k1時，均有f(k)k1成立C.若f(2)4時，f(n)_.(用n表示)答案解析5123456789101112解答 123456789101112下面利用數(shù)學歸納法證明.123456789101112123456789101112證明所以數(shù)列xn是遞減數(shù)列.必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c1時，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)1時，存在x0，使(x)nln(n1).123456789101112123456789101112由可知，結(jié)論對nN*成立.
高考數(shù)學大一輪復習 第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 6.5 數(shù)學歸納法課件
