第4講 平面向量的應用

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1、 第4講　平面向量的應用 【2013年高考會這樣考】 1．考查利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 2．考查利用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題． 【復習指導】 復習中重點把握好向量平行、垂直的條件及其數(shù)量積的運算，重視平面向量體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合的思想方法，體驗向量在解題過程中的工具性特點． 基礎(chǔ)梳理 1．向量在平面幾何中的應用 平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． (1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x

2、2y1＝0. (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題，利用夾角公式 cos θ＝＝(θ為a與b的夾角)． 2．平面向量在物理中的應用 (1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數(shù)量積．即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 一個手段 實現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標運算． 兩條主線 (1)向量兼具代數(shù)的抽象與嚴謹和幾何的直觀與形

3、象，向量本身是一個數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，在利用向量解決問題時，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合． (2)要注意變換思維方式，能從不同角度看問題，要善于應用向量的有關(guān)性質(zhì)解題． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則a＋b表示(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向東南走3 km B．向東北走3 km C．向東南走3 km D．向東北走3 km 解析　 要求a＋b，可利用向量和的三角形法則來求解，如圖所示，適當選取比例尺作＝a＝“向東走3 km”，＝b＝“向

4、北走3 km”，則＝＋＝a＋b. ||＝＝3(km)， 又與的夾角是45°，所以a＋b表示向東北走3 km. 答案　B 2．平面上有四個互異點A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，則△ABC的形狀是(　　)． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定 解析　由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)＋(－]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0. 所以||2－||2＝0，∴||＝||， 故△ABC是等腰三角形． 答案　C 3．(2012·銀川模擬)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(，－1)，則|2a－b|的最大

5、值，最小值分別是(　　)． A．4,0 B．16,0 C．2,0 D．16,4 解析　設(shè)a與b夾角為θ， ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cos θ＝8－8cos θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]， ∴8－8cos θ∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]， ∴|2a－b|∈[0,4]． 答案　A 4． 在△ABC中，已知向量與滿足·＝0且·＝，則 △ABC為(　　)． A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 解析　由·＝0知△ABC為等腰三角

6、形，AB＝AC.由·＝知，〈，〉＝60°，所以△ABC為等邊三角形，故選A. 答案　A 5．(2012·武漢聯(lián)考)平面直角坐標系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足·＝4，則點P的軌跡方程是______________________________________． 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4， 即x＋2y＝4. 答案　x＋2y－4＝0 　　 考向一　平面向量在平面幾何中的應用 【例1】?(2010·遼寧)平面上O，A，B三點不共線，設(shè)＝a，＝b，則△OAB的面積等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.

7、 D. [審題視點] 由數(shù)量積公式求出OA與OB夾角的余弦，進而得正弦，再由公式S＝absin θ，求面積． 解析　∵cos∠BOA＝， 則sin∠BOA＝ ， ∴S△OAB＝|a||b| ＝. 答案　C 平面向量的數(shù)量積是解決平面幾何中相關(guān)問題的有力工具：利用|a|可以求線段的長度，利用cos θ＝(θ為a與b的夾角)可以求角，利用a·b＝0可以證明垂直，利用a＝λb(b≠0)可以判定平行． 【訓練1】 設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(　　)． A．以a，b為鄰邊的平行四邊

8、形的面積 B．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 C．以a，b為兩邊的三角形的面積 D．以b，c為兩邊的三角形的面積 解析　 ∵|b·c|＝|b||c||cos θ|，如圖， ∵a⊥c，∴|b||cos θ|就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h，而|a|＝|c|，∴|b·c|＝|a|(|b||cos θ|)，∴|b·c|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積． 答案　A 考向二　平面向量與三角函數(shù)的交匯 【例2】?已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若·＝－1，求的值．

9、 [審題視點] 首先求出向量、的坐標，第(1)問利用兩個向量的模相等建立角α的三角方程進行求解；第(2)問利用向量與數(shù)量積的坐標運算化簡已知條件，得到角α的三角函數(shù)值，把所求式子化簡，尋找兩個式子之間的關(guān)系． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ∴2＝(cos a－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈，∴α＝. (2)由·＝－1， 得(cos α－3)cos α＋s

10、in α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－.∴＝－. 解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵，準確利用向量的坐標運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決． 【訓練2】 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值． 解　(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故ta

11、n θ＝. (2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin＝－. 又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜， 所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝. 考向三　平面向量與平面解析幾何交匯 【例3】?(2012·蘭州模擬)已知平面上一定點C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且(＋)·(－)＝0. (1)求動點P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求·

12、的最值． [審題視點] 第(1)問直接設(shè)動點P的坐標，先把向量之間的關(guān)系化簡，然后代入向量坐標，化簡整理即得軌跡方程；第(2)問先利用圓的性質(zhì)化簡向量數(shù)量積，將其轉(zhuǎn)化為動點P與定點N的距離的最值，最后代入點的坐標將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解． 解　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)． 由(＋)·(－)＝0，得|PC|2－|PQ|2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡得＋＝1. 所以點P在橢圓上，其方程為＋＝1. (2)因·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝(－)2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點，設(shè)P(x0，y0)，則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)

13、，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20. 因y0∈[－2，2]，所以當y0＝－3時，2取得最大值20，故·的最大值為19； 當y0＝2時，2取得最小值(2－1)2＝13－4，(此時x0＝0)，故·的最小值為12－4. 平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應從向量的坐標運算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法——坐標法． 【訓練3】 已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足·＝0，＝－，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解　

14、設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－， 得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ 把a＝－代入①，得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)．　　 難點突破12——高考中平面向量與其他知識的交匯問題 平面向量是高中數(shù)學的重要知識，是高中數(shù)學中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)．近幾年新課標高考對向量知識的命題，既充分體現(xiàn)自身知識結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與其他知識交匯的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應用，融會貫通”的特色，充分彰顯平面向量的交匯價值

15、． 一、平面向量與命題的交匯 【示例】? (2011·陜西)設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是 (　　)． A．若a≠b，則|a|≠|(zhì)b| B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b| C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b D．若|a|＝|b|，則a＝－b 二、平面向量與函數(shù) 【示例】? (2010·北京)若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|(zhì)b|，則函數(shù)f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(　　)． A．一次函數(shù)且是奇函數(shù) B．一次函數(shù)但不是奇函數(shù) C．二次函數(shù)且是偶函數(shù) D．二次函數(shù)但不是偶函數(shù) ▲平面向量與線性規(guī)劃(教師備選) 【示例】? (2011·福建)已知O是坐標原點，點A(－1,1)．若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是(　　)． A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2]