精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 5 第二課時 離散型隨機變量的方差 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料第二課時離散型隨機變量的方差 求隨機變量的方差例1已知隨機變量X的分布列為X01xPp若EX，求DX的值思路點撥解答本題可先根據(jù)i1求出p的值，然后借助EX求出x的取值，最后代入相應(yīng)的公式求方差精解詳析由p1，得p.又EX01x，x2.DX222.一點通求離散型隨機變量的方差的方法：(1)根據(jù)題目條件先求分布列(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常數(shù)時，應(yīng)先由分布列的性質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差1(浙江高考)隨機變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.解析：由題意設(shè)P(1)p，的分布列如下012Ppp由E()1，可得p，所以D(

2、)120212.答案：2已知隨機變量X的分布列為X01234P0.20.20.30.20.1試求DX和D(2X1)解：EX00.210.220.330.240.11.8.所以DX(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.2X1的分布列為2X111357P0.20.20.30.20.1所以E(2X1)2EX12.6.所以D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.求實際問題的均值和方差例2在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個

3、黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差思路點撥 精解詳析X可能取值為1,2,3,4,5.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)1.X的分布列為X12345P0.20.20.20.20.2由定義知，EX0.2(12345)3.DX0.2(2212021222)2.一點通(1)求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個值時的概率；寫X的分布列；求EX，DX.(2)若隨機變量X服從二項分布，即XB(n，p)，則EXnp，DXnp(1p)3一批產(chǎn)品中次品率為，現(xiàn)在連續(xù)抽查4

4、次，用X表示次品數(shù)，則DX等于()A.B.C. D.解析：XB，DXnp(1p)4.答案：C4袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號求X的分布列，均值和方差解：由題意，得X的所有可能取值為0,1,2,3,4，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為X01234P所以EX012341.5.DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.隨機變量的均值和方差的實際應(yīng)用例3(10分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次

5、品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較X012PY012P思路點撥解本題的關(guān)鍵是，一要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即數(shù)學(xué)期望，二要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差值判斷兩名工人的技術(shù)水平情況精解詳析工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EX0120.7，DX(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.(4分)工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EY0120.7，DY(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.(4分)由EXEY知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但DXDY，可見乙的技

6、術(shù)比較穩(wěn)定(10分)一點通均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的方差，方差大說明隨機變量取值較分散，方差小，說明取值比較集中因此，在利用均值和方差的意義去分析解決問題時，兩者都要分析5甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量X和Y，且X，Y的分布列為Y123P0.3b0.3X123Pa0.10.6求：(1)a，b的值；(2)計算X，Y的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況解：(1)由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可知a0.10.61，a0.3.同理0.3b0.31，b0.4.(2)EX10.320.130.62.3，EY10.320.

7、430.32，DX(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，DY(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6.由于EXEY，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但DXDY，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢和劣勢6最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬塊錢投資理財，提出了三種方案：第一種方案：李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點，應(yīng)該將10萬塊錢全部用來買股票據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利與虧損的概率均為.第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險大，基金風(fēng)險較小，應(yīng)將1

8、0萬塊錢全部用來買基金據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年后可能獲利20%，也可能損失10%，還可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，.第三種方案：李師傅妻子認(rèn)為：投入股市、基金均有風(fēng)險，應(yīng)該將10萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%，存款利息稅率為5%.針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法，并說明理由解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為X萬元，則其分布列為X42PEX4(2)1(萬元)若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為Y萬元，則其分布列為Y201PEY20(1)1(萬元)若按方案三執(zhí)行，收益z104%(15%)0.38(萬元)，EXEY z.又DX(41)2(21)29.DY(21)2

9、(01)2(11)2.由上知DXDY，說明雖然方案一、二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥建議李師傅家選擇方案二投資較為合理1隨機變量的方差反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度方差越小，則隨機變量的取值越集中在其均值周圍；反之，方差越大，則隨機變量的取值就越分散2隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別：樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此，它是一個變量，而隨機變量的方差是一個常量 1從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機變量X的方差為()A.B.C. D.解析：由XB，DX3.答案：B2已知隨機變量X的分布列為：P

10、(Xk)(k1,2,3)，則D(3X5)()A6 B9C3 D4解析：EX(123)2，Y3X5可能取值為8,11,14，其概率均為，EY8111411.DYD(3X5)(811)2(1111)2(1114)26.答案：A3拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得1分，則得分X的均值與方差分別為()AEX0，DX1BEX，DXCEX0，DXDEX，DX1解析：EX10.5(1)0.50，DX(10)20.5(10)20.51.答案：A4若隨機變量X的分布列為P(X0)a，P(X1)b.若EX，則DX等于()A. B.C. D.解析：由題意，得a，b.DX22.答案：D5從1,2,3,4,5

11、這5個數(shù)字中任取不同的兩個，則這兩個數(shù)乘積的數(shù)學(xué)期望是_解析：從1,2,3,4,5中任取不同的兩個數(shù)，其乘積X的值為2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每個值的概率都是，EX(23456810121520)8.5.答案：8.56變量X的分布列如下：Xk101P(Xk)abc其中a，b，c成等差數(shù)列，若EX，則DX的值為_解析：由a，b，c成等差數(shù)列可知2bac.又abc3b1，b，ac.又EXac，a，c.DX222.答案：7(全國新課標(biāo)改編)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)1

12、6枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差解：(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X6070

13、80P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為EX600.1700.2800.776.X的方差為DX(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.8(浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解：(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D222.化簡得解得a3c，b2c，故abc321.