精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;3 第2課時(shí) 平面向量基本定理 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 第2課時(shí)　平面向量基本定理 [核心必知] 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：我們把不共線的兩個(gè)向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． [問(wèn)題思考] 1．零向量可以作為基底的一個(gè)向量嗎？ 提示：不能．因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量都是共線向量． 2．平面向量的基底是唯一的嗎？ 提示：不是．平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，當(dāng)基底一旦確定后，平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示

2、． 3．為什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共線？ 提示：若e1∥e2，則e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1 故a∥e1，即用e1，e2只能表示與之共線的向量． 講一講 1．如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，λ，μ∈R，那么下列說(shuō)法中不正確的是(　　) ①λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量； ②對(duì)于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)； ③平面α內(nèi)的任意一個(gè)向量a都可以分解為a＝λe1＋μe2的形式，且這種分解是唯一的； ④若λe1＝μe2，則λ＝μ＝0. A．①②　　　B．②

3、③　　　C．③④　　　D．② [嘗試解答]　由平面向量基本定理知，①，③正確；對(duì)于④，若λe1＝μe2，則0λe1＋(－μ)e2，因?yàn)閑1，e2不共線，所以必有λ＝μ＝0，④正確；對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故②不正確． [答案]　D 1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一組基底中的兩向量不共線；②平面內(nèi)的任意向量a都可在給出的基底下進(jìn)行分解；③基底給定時(shí)，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一確定的一對(duì)實(shí)數(shù)． 2．解決這種概念性問(wèn)題的關(guān)鍵是深刻理解平面向量基本定理的意義和基底的概念． 

4、練一練 1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析：選B　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為平面的基底． 2．設(shè)e1，e2是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列結(jié)論： ①若a與e1共線，則λ＝0； ②若a與e2共線，則λ＝0； ③若a＝0，則λ＝μ＝0. 以上結(jié)論正確的是_____

5、___(填序號(hào))． 解析：若a與e1共線，則a＝λe1＝λe1＋0×e2， ∴μ＝0，故①不正確，②正確；若a＝0，則λe1＋μe2＝0， ∴λ＝μ＝0，故③正確． 答案：②③ 講一講 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝d，試用c，d表示. 將②代入①得a＝d－(c－a)． ∴a＝d－c＝(2d－c)，代入② 得b＝c－×(2d－c)＝(2c－d)． 利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法以及數(shù)乘向量進(jìn)行線性運(yùn)算，解決此類問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)分析所給圖形，借助于平面幾何知識(shí)和向量共線定理及平面向量基本定理

6、解決． 練一練 3. 如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若＝b，試以a，b為基底表示. ＝－(a＋b)． 講一講 3．已知D、E、F分別是△ABC的BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)．試用向量法證明：AD、BE、CF交于一點(diǎn)． 1．利用向量證明幾何問(wèn)題是其工具性的體現(xiàn)．操作時(shí)，為明確方向，常常選取問(wèn)題中不共線的線段對(duì)應(yīng)的向量作為基底． 2．就本題而言，充分利用三點(diǎn)共線和基底表示向量的唯一性來(lái)構(gòu)建方程(組)求解，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵所在． 練一練 4．已知O，A，B，P是平面內(nèi)的四點(diǎn)，且O，A，B三點(diǎn)不共線，若 (λ，μ∈R)

7、，試求當(dāng)λ，μ滿足什么條件時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線． 解：由向量共線定理知，若A，B，P三點(diǎn)共線，則存在唯一 由平面向量基本定理可知λ，μ唯一． ∴∴λ＋μ＝1. 故當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線. 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為(　　) A．λ＝0　　　　　　　　　B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 [錯(cuò)解]　若λ＝0，則a＝e1，又b＝2e1， ∴a＝b， ∴a與b共線，故選A. [錯(cuò)因]　錯(cuò)解之處在于考慮問(wèn)題不全面，在應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共線這個(gè)條件，若

8、沒(méi)有指明，應(yīng)對(duì)e1，e2共線的情況加以考慮． [正解]　若e1∥e2時(shí)，∵e1≠0，∴e2＝t e1(t∈R)． ∴a＝e1＋λe2＝(1＋λt)e1＝b， ∴a與b共線， 若e1與e2不共線，要使a與b共線，則a＝tb(t∈R)， 即e1＋λe2＝2te1，亦即(1－2t)e1＋λe2＝0，∴λ＝0. [答案]　D 1．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組： ，其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是(　　) A．①②　　B．①③ C．①④ D．③④ 解析：選B?、佗壑袃上蛄坎还簿€，由基底的定義知，可以作為基底．

9、 2．下列結(jié)論中正確的是(　　) ①a∥b?存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb ②a∥b?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0 ③a與b不共線，則λ1a＋λ2b＝0?λ1＝λ2＝0 ④a與b不共線?不存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析：選B　對(duì)于①，若b＝0，則a∥b，但當(dāng)a＝0時(shí)，使a＝λb成立的λ有無(wú)數(shù)個(gè)，所以①不正確；根據(jù)向量共線的判定及性質(zhì)定理知②正確；根據(jù)平面向量基本定理知③正確，④不正確，因?yàn)閍，b不共線時(shí)，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0. 3. 如圖，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝(　　

10、) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 4．已知向量i，j不共線，實(shí)數(shù)λ，μ滿足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，則λ的值為________，μ的值為________． 解析：由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得 λi＋(3－5μ)j＝0. ∵i，j不共線，∴得λ＝0，μ＝. 答案： 0　 5．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1－12e2，則向量a寫為λb＋μc的形式是________． 解析：由得， ∴－－＝－e1＋3e2＝a，即a＝－b－c.

11、 答案： －b－c 一、選擇題 1．已知e1，e2是不共線向量，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，當(dāng)a∥b時(shí)，實(shí)數(shù)λ等于(　　) A．－1　　　　　　　　　　B．0 C．－ D．－2 解析：選D　當(dāng)a∥b時(shí)，a＝tb(t∈R)，則 2e1＋e2＝t(λe1－e2)，即(2－tλ)e1＋(1＋t)e2＝0. ∵e1，e2不共線，∴得λ＝－2. 2．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A、B、C三點(diǎn)共線，則λ，μ滿足的條件為(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λ

12、μ＝1 3．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 4．設(shè)起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a，b，3a－2b的終點(diǎn)分別為A，B，C，則(　　) A．A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn) B．A，B，C三點(diǎn)共線 二、填空題 5．如圖，每個(gè)小正方形方格的長(zhǎng)度為單位1，以向量e1，e2作為基底，則a－b＝________． 解析：a－b＝＝2e2－e1. 答案：2e2－e1 6．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取

13、值范圍是________． 解析：若a∥b，則λ＝4，故a，b能作為基底的條件為λ≠4. 答案：{λ|λ∈R且λ≠4} 7. 如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若＋，則λ＝________. ∴λ＝. 答案： 8．△ABC中，，DE∥BC，且DE與AC相交于點(diǎn)E，M是BC的中點(diǎn)，AM與DE相交于點(diǎn)N，若＝ (x，y∈R)，則x＋y＝________ 解析： 如圖，∵DE∥BC， ∴得x＋y＝. 答案： 三、解答題 9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基

14、底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)證明：設(shè)a＝λb(λ∈R)， 則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共線得 ? ∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2)設(shè)c＝ma＋nb(m、n∈R)，得 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴? ∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴? 故所求λ、μ的值分別為3和1. 10．在平面上給定一個(gè)△ABC，試推斷平面上是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段AP的中點(diǎn)為M，BM的中點(diǎn)為N，CN的中點(diǎn)為P？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)；若不存在，說(shuō)明理由． 解： 假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)P，如圖所示， ∵M(jìn)是AP的中點(diǎn)， ∵N是BM的中點(diǎn)，由平行四邊形法則，