高考數學專題復習練習第1講變化率與導數、導數的運算

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1、 第三章 導數及其應用 第1講 變化率與導數、導數的運算 一、選擇題 1．設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為(　　) A．－ B．0 C. D．5 解析 因為f(x)是R上的可導偶函數，所以f(x)的圖象關于y軸對稱，所以f(x)在x＝0處取得極值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期為5，所以f′(5)＝0，即曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為0，選B. 答案 B 2．函數f(x)是定義在(0，＋∞)上的可導函數，且滿足f(x)>0，xf

2、′(x)＋f(x)<0，則對任意正數a，b，若a>b，則必有 (　　)． A．af(b)0)，F′(x)＝，由條件知F′(x)<0，∴函數F(x)＝在(0，＋∞)上單調遞減，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，則f(2)的最小值為 (　　)． A．12 B．12＋8a＋ C．8＋8a＋ D．16 解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8

3、a＋，則g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得0

4、x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　)． A．26 B．29 C．212 D．215 解析　函數f(x)的展開式含x項的系數為a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故選C. 答案　C 6．已知函數f′(x)，g′(x)分別是二次函數f(x)和三次函數g(x)的導函數，它們在同一坐標系下的圖象如圖所示，設函數h(x)＝f(x)－g(x)，則 (　　)． A．h(1)

5、h(0)

6、的坐標為________，切線的斜率為________． 解析　y′＝ex，設切點的坐標為(x0，y0)則＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切點的坐標為(1，e)，切線的斜率為e. 答案　(1，e)　e 9．已知函數f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在x＝1處的導數f′(1)＝________. 解析　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴x＝1時，f(1)＝2f(1)－1＋8－8， ∴f(1)＝1，即點(1,1)，在曲線y＝f(x)上． 又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8， x＝1時，f′(1)＝－2f′(1

7、)－2＋8， ∴f′(1)＝2. 答案　2 10．同學們經過市場調查，得出了某種商品在2011年的價格y(單位：元)與時間t(單位：月)的函數關系為：y＝2＋(1≤t≤12)，則10月份該商品價格上漲的速度是______元/月． 解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)， ∴y′＝′＝2′＋′ ＝＝. 由導數的幾何意義可知10月份該商品的價格的上漲速度應為y′|t＝10＝＝3. 因此10月份該商品價格上漲的速度為3元/月． 答案　3 三、解答題 11．求下列函數的導數： (1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)； (3)y＝；　(4)y＝2xsin(

8、2x＋5)． 解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1. (2)y′＝·＝. (3)∵y＝＝1＋∴y′＝. (4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 12．設函數f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b為常數，已知曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線l. (1)求a、b的值，并寫出切線l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三個互不相同的實根0、x1、x2，其中x1

9、范圍． 解析 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(2,0)處有相同的切線，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5； 切線l的方程為：x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依題意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三個互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的兩個相異實根，所以Δ＝9－4(2－m)>0?m>－； 又對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

10、g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m?m<0，由韋達定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故00，則f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0； 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0， 所以函數在x∈[x1，x2]上的最大值為0，于是當m<0時對任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

11、＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3， 當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)證明　設P(x0，y0)為曲線上任一點，由f′(x)＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點坐標為. 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0

12、|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6. 14．設f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，為常數)，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切． (1)求a，b的值； (2)證明：當00時，2