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1、
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2、 1
專題09 圓錐曲線
一.基礎(chǔ)題組
1. 【20xx上海,文4】若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為___________.
【答案】.
【考點(diǎn)】橢圓與拋物線的幾何性質(zhì)
2. 【20xx上海,文12】設(shè)AB是橢圓Γ的長軸,點(diǎn)C在Γ上,且∠CBA=.若AB=4,BC=,則Γ的兩個焦點(diǎn)之間的距離為______.
【答案】
3.
3、 【20xx上海,文18】記橢圓=1圍成的區(qū)域(含邊界)為Ωn(n=1,2,…),當(dāng)點(diǎn)(x,y)分別在Ω1,Ω2,…上時,x+y的最大值分別是M1,M2,…,則=( )
A.0 B. ` C.2 D.
【答案】D
4. 【20xx上海,文8】若動點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡方程為________.
【答案】y2=8x
5. 【20xx上海,文13】在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線Γ的中心在原點(diǎn),它的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),e1=(2,1)、e2=(2,-1)分別是兩條漸近線的方向向量.任取雙曲線Γ上的點(diǎn)P,若=ae1+b
4、e2(a、b∈R),則a、b滿足的一個等式是________.
【答案】4ab=1
6. (2009上海,文9)過點(diǎn)A(1,0)作傾斜角為的直線,與拋物線y2=2x交于M、N兩點(diǎn),則|MN|=___________.
【答案】
7. (2009上海,文12)已知F1、F2是橢圓C:(a>b>0)的兩個焦點(diǎn),P為橢圓C上一點(diǎn),且.若△PF1F2的面積為9,則b=____________.
【答案】3
8. 【2008上海,文6】若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)___.
【答案】-1
9. 【2008上海,文12】設(shè)是橢圓上的點(diǎn).若是橢圓的兩個焦點(diǎn),則等于( )
5、
A.4 B.5 C.8 D.10
【答案】D
10. 【2007上海,文5】以雙曲線的中心為頂點(diǎn),且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是 .
【答案】
【解析】
11. 【2006上海,文7】已知雙曲線中心在原點(diǎn),一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________.
【答案】
12. 【2005上海,文7】若橢圓長軸長與短軸長之比為2,它的一個焦點(diǎn)是,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.
【答案】
【解后反思】在求橢圓
6、方程和研究性質(zhì)時,要深刻理解確定橢圓的形狀及大小的主要特征數(shù),如a、b、c、p、e的幾何意義及它們的關(guān)系式,熟練運(yùn)用這些公式解決有關(guān)問題.
二.能力題組
1. 【20xx上海,文22】(本題滿分16分)本題共3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.
在平面直角坐標(biāo)系中,對于直線:和點(diǎn)記若<0,則稱點(diǎn)被直線分隔.若曲線C與直線沒有公共點(diǎn),且曲線C上存在點(diǎn)被直線分隔,則稱直線為曲線C的一條分隔線.
⑴ 求證:點(diǎn)被直線分隔;
⑵若直線是曲線的分隔線,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
⑶動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E,求的方程,并證明軸為曲線的分割線.
7、【答案】(1)證明見解析;(2);(3)證明見解析.
【考點(diǎn)】新定義,直線與曲線的公共點(diǎn)問題.
2. 【20xx上海,文23】如圖,已知雙曲線C1:-y2=1,曲線C2:|y|=|x|+1.P是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與C1、C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”.
(1)C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)”時,要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.
【答案】(1) x=或y=,其中|k|≥
8、 ;(2)參考解析; (3)參考解析
3. 【20xx上海,文22】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1:2x2-y2=1.
(1)設(shè)F是C的左焦點(diǎn),M是C右支上一點(diǎn),若,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;
(3)設(shè)斜率為k(|k|<)的直線l交C于P,Q兩點(diǎn),若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ.
【答案】(1) M(,); (2) ; (3)參考解析
4. 【20xx上海,文23】已知橢圓Γ的方程為+=1(a>b>0),A(0,b),B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個頂點(diǎn).
(1)
9、若點(diǎn)M滿足= (+),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn),交直線l2:y=k2x于點(diǎn)E.若k1·k2=-,證明:E為CD的中點(diǎn);
(3)設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過PQ中點(diǎn)F的直線l,使得l與橢圓Γ的兩個交點(diǎn)P1、P2滿足+=?令a=10,b=5,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-8,-1),若橢圓Γ上的點(diǎn)P1、P2滿足+=,求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo).
【答案】(1) (,-); (2) 參考解析;(3) P1(8,3),P2(-6,-4)
5. (2009上海,文22)已知雙曲線C的中心是原點(diǎn),右焦點(diǎn)為F(,0),一條漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)A(,0)的直線l的
10、方向向量e=(1,k).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過原點(diǎn)的直線a∥l,且a與l的距離為,求k的值;
(3)證明:當(dāng)時,在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q,使之到直線l的距離為.
【答案】(1) ; (2) ;(3)參考解析
6. 【2008上海,文20】(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,
第3小題滿分7分.
已知雙曲線.
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)是雙曲線上的點(diǎn),是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).
記.求的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,為雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn).記為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)的直線,為截
11、直線所得線段的長.試將表示為直線的斜率的函數(shù).
【答案】(1);(2);(3)參考解析
7. 【2007上海,文21】(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分5分,第3小題滿分9分.
我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”,其中,,.
如圖,設(shè)點(diǎn),,是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn),,和,是“果圓” 與,軸的交點(diǎn),是線段的中點(diǎn).
(1)若是邊長為1的等邊三角形,求該“果圓”的方程;
(2)設(shè)是“果圓”的半橢圓上任意一點(diǎn).求證:當(dāng)取得最小值時,在點(diǎn)或處;
(3)若是“果圓”上任意一點(diǎn),求取得最小值時點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【答案】(1),;(2)參考解析
12、;(3)或
8. 【2006上海,文21】本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn),求面積的最大值.
【答案】(1);(2);(3)
9. 【2005上海,文21】(本題滿分16分)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5.過A作AB垂直于軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.
(1)求拋物線方程;
(2)過M作,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當(dāng)是軸上一動點(diǎn)時,討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.
【答案】(1)y2=4x;(2)(,);(3)參考解析
【解后反思】解答圓錐這部分試題需準(zhǔn)確地把握數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換能力,推理能力,本題計算量并不大,但步步等價轉(zhuǎn)換的意識要準(zhǔn)確無誤.