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1、專題19 分類討論思想分類討論思想分類討論思想思 想 方 法 概 述熱 點 分 類 突 破真 題 與 押 題思想方法概述1.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.其基本思其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割或分割)成若干個基成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略題的思想策略.對問題實行分類與整合，分類標準等于對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜或綜合性問題合
2、性問題)分解為小問題分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思，優(yōu)化解題思路，降低問題難度路，降低問題難度.32.分類討論的常見類型分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論.有的概念本身是分類有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論.有的有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的
3、項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等單調(diào)性等.(3)由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論.如除法運算中如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等.(4)由圖形的不確定性引起的分類討論由圖形的不確定性引起的分類討論.有的圖形類有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等線、面的位置關(guān)系等.(5)由參數(shù)的變化
4、引起的分類討論由參數(shù)的變化引起的分類討論.某些含有參數(shù)的某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法運用不同的求解或證明方法.(6)由實際意義引起的討論由實際意義引起的討論.此類問題在應(yīng)用題中，此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用.3.分類討論的原則分類討論的原則(1)不重不漏不重不漏.(2)標準要統(tǒng)一，層次要分明標準要統(tǒng)一，層次要分明.(3)能不分類的要盡量避免
5、或盡量推遲，決不無原能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論則地討論.4.解分類問題的步驟解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數(shù)進確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論行分類討論.(2)對所討論的對象進行合理的分類對所討論的對象進行合理的分類.(3)逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決.(4)歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納歸納總結(jié)，將各類情況總結(jié)歸納. 熱點一 由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運算引起的分類討論 熱點二 由圖形位置或形狀引起的討論 熱點三 由參數(shù)引起的分類討論熱點分類突破熱點一 由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運算引起的分
6、類討論(1)由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進行分類；與外延，合理進行分類；(2)運算引起的分類討論運算引起的分類討論有很多，如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為有很多，如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等數(shù)，三角函數(shù)的定義域等.思維升華變式訓(xùn)練1答案C(2)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和項和Snpn1(p是常數(shù)是常數(shù))，則，則數(shù)列數(shù)列an是是()
7、A.等差數(shù)列等差數(shù)列B.等比數(shù)列等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列D.以上都不對以上都不對解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，當當p1且且p0時，時，an是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；當當p1時，時，an是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；當當p0時，時，a11，an0(n2)，此時，此時an既不是既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.答案D熱點二 由圖形位置或形狀引起的討論解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖如圖).當當x1時，時，1y2，有，有2個整點；個整點；當當x0時，時，0y3，有，有4個整點；個整點；當當x1時，時，1
8、y4，有，有6個整點；個整點；當當x2時，時，2y5，有，有8個整點；個整點；所以平面區(qū)域內(nèi)的整點共有所以平面區(qū)域內(nèi)的整點共有246820(個個).答案20(2)設(shè)圓錐曲線設(shè)圓錐曲線T的兩個焦點分別為的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線，若曲線T上存在點上存在點P滿足滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線則曲線T的離心率為的離心率為_.解析不妨設(shè)不妨設(shè)|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若該圓錐曲線是雙曲線，則有若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|PF2|2t2a，求解有關(guān)幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置求解有關(guān)幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需
9、要根據(jù)圖形的特征進行分變化的不確定性，所以需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論類討論.一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化形狀變化.思維升華變式訓(xùn)練2 答案D解析若若PF2F190，則則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，若若F2PF190，則則|F1F2|2|PF1|
10、2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得解得|PF1|4，|PF2|2，例3(2014四川改編四川改編)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)exax2bx1，其中其中a，bR，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).設(shè)設(shè)g(x)是函數(shù)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,1上的最小值上的最小值.熱點三 由參數(shù)引起的分類討論解由由f(x)exax2bx1，有有g(shù)(x)f(x)ex2axb.所以所以g(x)ex2a.因此，當因此，當x0,1時，時，g(x)12a，e2a.所以所以g(x)在在0,1上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，因此因此g(x)在在0,1上的最小值
11、是上的最小值是g(0)1b；因此因此g(x)在在0,1上的最小值是上的最小值是g(1)e2ab；所以函數(shù)所以函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0，ln(2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)上單調(diào)遞減，在區(qū)間間(ln(2a)，1上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.于是，于是，g(x)在在0,1上的最小值是上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.g(ln(2a)2a2aln(2a)b；g(1)e2ab.一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論，合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起此種題目為含參型，應(yīng)全面
12、分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標適當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標準明確，不重不漏準明確，不重不漏.思維升華變式訓(xùn)練3(1)若函數(shù)若函數(shù)g(x)過點過點(1,1)，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)的圖象在的圖象在x0處的切線方程；處的切線方程；所以所求的切線的斜率為所以所求的切線的斜率為3.又又f(0)0，所以切點為，所以切點為(0,0)，故所求的切線方程為故所求的切線方程為y3x.(2)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性.當當a0時，因為時，因為x1，所以，所以f(x)0，故故f(x)在
13、在(1，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.故故f(x)在在(1，1a)上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；故故f(x)在在(1a，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.綜上，當綜上，當a0時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)在在(1，)上單調(diào)上單調(diào)遞增；遞增；當當a1和和0a1的討論；等比數(shù)列中的討論；等比數(shù)列中分公比分公比q1和和q1的討論的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起立體幾何：點線面及圖形位置關(guān)系
14、的不確定性引起的討論；的討論；(7)平面解析幾何：直線點斜式中平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直分存在和不存在，直線截距式中分線截距式中分b0和和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論曲線類型及形狀的討論.(8)排列、組合、概率中的分類計數(shù)問題排列、組合、概率中的分類計數(shù)問題.(9)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等. 真題感悟 押題精練真題與押題12真題感悟3當當B 時，根據(jù)余弦定理有時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，所以所以AC ，此時，此時ABC為鈍角三角形為鈍角三角形,符
15、合題意；符合題意；當當B 時，根據(jù)余弦定理有時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，所以所以AC1，此時，此時AB2AC2BC2，ABC為直角為直角三角形，不符合題意三角形，不符合題意.故故AC .答案B12真題感悟32.(2013安徽安徽)“a0”是是“函數(shù)函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)在區(qū)間間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增”的的()A.充分不必要條件充分不必要條件 B.必要不充分條件必要不充分條件C.充分必要條件充分必要條件 D.既不充分也不必要條既不充分也不必要條件件12真題感悟3解析當當a0時，時，f(x)|(ax1)x|x|在區(qū)間在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增；上
16、單調(diào)遞增；當當a0時，結(jié)合函數(shù)時，結(jié)合函數(shù)f(x)|(ax1)x|ax2x|的圖象知函數(shù)在的圖象知函數(shù)在(0，)上先上先增后減再增，不符合條件，如圖增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示所示.所以，要使函數(shù)所以，要使函數(shù)f(x)|(ax1)x|在在(0，)上單調(diào)上單調(diào)遞增只需遞增只需a0.即即“a0”是是“函數(shù)函數(shù)f(x)|(ax1)x|在區(qū)間在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件的充要條件.答案C12真題感悟33.(2014廣東廣東)設(shè)集合設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合，那么集合A中滿足中滿足條件條件“1|x1|x2|x3|x
17、4|x5|3”的元素個的元素個數(shù)為數(shù)為()A.60 B.90C.120 D.13012真題感悟3解析在在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因為這五個數(shù)中，因為xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以滿足條件所以滿足條件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可的可能情況有能情況有“一個一個1(或或1)，四個，四個0，有，有 2種；種；兩個兩個1(或或1)，三個，三個0，有，有 2種；種；一個一個1，一個，一個1，三個，三個0，有，有 種；種；12真題感悟3兩個兩個1(或或1)，一個，一個1(或或1)，兩個，兩個0，有，有 2種；種；三個三個1(或或1)，兩個，兩個0，有，有 2種種.答案
18、D12真題感悟3押題精練123456解析若若a0，則，則f(x)在定義域的兩個區(qū)間內(nèi)都是在定義域的兩個區(qū)間內(nèi)都是常函數(shù)，不具備單調(diào)性；常函數(shù)，不具備單調(diào)性；若若a0，函數(shù)，函數(shù)f(x)在兩段上都是單調(diào)遞增的，要使在兩段上都是單調(diào)遞增的，要使函數(shù)在函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只要上單調(diào)遞增，只要(a2)e01，即，即a1，與與a0矛盾，此時無解矛盾，此時無解.若若2a0，則函數(shù)在定義域的兩段上都是單調(diào)遞，則函數(shù)在定義域的兩段上都是單調(diào)遞減的減的.押題精練123456要使函數(shù)在要使函數(shù)在R上單調(diào)遞減，只要上單調(diào)遞減，只要a21即即a1，即即1a0)的焦點為的焦點為F，P為其上的一點，為其上的一點，O為坐標
19、原點，若為坐標原點，若OPF為等腰三角形，則這樣的為等腰三角形，則這樣的點點P的個數(shù)為的個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.6押題精練123456解析當當|PO|PF|時，點時，點P在線段在線段OF的中垂線上，的中垂線上，此時，點此時，點P的位置有兩個；的位置有兩個；當當|OP|OF|時，點時，點P的位置也有兩個；的位置也有兩個；對對|FO|FP|的情形，點的情形，點P不存在不存在.事實上，事實上，F(xiàn)(p,0)，押題精練123456又又y24px，x22px0，解得，解得x0或或x2p，當當x0時，不構(gòu)成三角形時，不構(gòu)成三角形.當當x2p(p0)時，與點時，與點P在拋物線上矛盾在拋物線上矛盾
20、.所以符合要求的點所以符合要求的點P一共有一共有4個個.答案C4.6位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，位同學(xué)在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進行交換的兩位任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進行交換的兩位同學(xué)互贈一份紀念品同學(xué)互贈一份紀念品.已知已知6位同學(xué)之間共進行了位同學(xué)之間共進行了13次交換，則收到次交換，則收到4份紀念品的同學(xué)人數(shù)為份紀念品的同學(xué)人數(shù)為()A.1或或3 B.1或或4C.2或或3 D.2或或4押題精練123456解析設(shè)設(shè)6位同學(xué)分別用位同學(xué)分別用a，b，c，d，e，f表示表示.若任意兩位同學(xué)之間都進行交換共進行若任意兩位同學(xué)之間都進行交換共
21、進行15次交換，次交換，現(xiàn)共進行了現(xiàn)共進行了13次交換，次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)由由3人構(gòu)成的人構(gòu)成的2次交換，如次交換，如ab和和ac之間的交之間的交換沒有發(fā)生，則收到換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有份紀念品的有b，c兩人兩人.押題精練123456(2)由由4人構(gòu)成的人構(gòu)成的2次交換，如次交換，如ab和和ce之間的交換之間的交換沒有發(fā)生，沒有發(fā)生，則收到則收到4份紀念品的有份紀念品的有a，b，c，e四人四人.故選故選D.答案D押題精練1234565.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an的前的前3項和為項和為6，前，前8項和
22、為項和為4.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；押題精練123456解設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為d，故故an3(n1)4n.(2)設(shè)設(shè)bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求數(shù)列，求數(shù)列bn的的前前n項和項和Sn.押題精練123456解由由(1)可得可得bnnqn1，于是于是Sn1q02q13q2nqn1.若若q1，將上式兩邊同乘，將上式兩邊同乘q，得，得qSn1q12q2(n1)qn1nqn.兩式相減，得兩式相減，得(q1)Snnqn1q1q2qn1押題精練123456押題精練1234566.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)(a1)ln xax21，試討論函數(shù)，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性.押題精練123456解由題意知由題意知f(x)的定義域為的定義域為(0，)，當當a0時，時，f(x)0，故故f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.當當a1時，時，f(x)0，故故f(x)在在(0，)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減.押題精練123456押題精練123456綜上，當綜上，當a0時，時，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞增；當當a1時，時，f(x)在在(0，)上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；押題精練123456
高三數(shù)學(xué) 專題19 分類討論思想課件 理
