第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法

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1、第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法 ————————————————姚老師數(shù)學(xué)樂園 廣安岳池 姚文國 通過把一個合數(shù)分解為兩個或兩個以上質(zhì)因數(shù)，來解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。 分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問題提供新穎的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。 例1 一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長是多少厘米？（適于六年級程度） 解：把1331分解質(zhì)因數(shù)： 1331=11×11×11 答：這塊正方體木塊的棱長是11厘米。 例2

2、 一個數(shù)的平方等于324，求這個數(shù)。（適于六年級程度） 解：把324分解質(zhì)因數(shù)： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：這個數(shù)是18。例3 相鄰兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個數(shù)。（適于六年級程度） 解：把462分解質(zhì)因數(shù)： 462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：這兩個數(shù)是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在這個乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于六年級程度） 解：因為ABC×D=1673，ABC是一個三位數(shù)，所

3、以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個三位數(shù)與另一個數(shù)相乘的形式，這個三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長是多少米？（適于六年級程度） 解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48 正方形的邊長是48米。 這塊田地的周長是： 48×4=192（米） 答略。 *例6 有3250個桔子，平均分給

4、一個幼兒園的小朋友，剩下10個。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個。求這個幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級程度） 解：3250-10=3240（個） 把3240分解質(zhì)因數(shù)： 3240=23×34×5 接近40的數(shù)有36、37、38、39 這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5 =90 答：這個幼兒園有90名小朋友。 *例7 105的約數(shù)共有幾個？（適于六年級程度） 解：求一個給定的自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，可先將這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個質(zhì)數(shù)、兩個質(zhì)數(shù)、三個質(zhì)數(shù)的乘積……逐一由小到大寫出，再求出它的個數(shù)即

5、可。 因為，105=3×5×7， 所以，含有一個質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個； 含有兩個質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個； 含有三個質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個。 所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個。 答略。 *例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個數(shù)平均分成三組，使每組三個數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級程度） 解：將這九個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)： 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×1

6、3 觀察上面九個數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個2，三個3，三個5，三個7，三個11，三個13，這樣每組中三個數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個2，一個3，一個5，一個7，一個11和一個13。 由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是： 15、52和77； 22、30和91； 35、39和44。 答略。 *例9 有四個學(xué)生，他們的年齡恰好一個比一個大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個學(xué)生的年齡分別是幾歲？（適于六年級程度） 解：把5040分解質(zhì)因數(shù)： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四個學(xué)生的年齡一個比一個大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個連續(xù)自然數(shù)。用八個質(zhì)

7、因數(shù)表示四個連續(xù)自然數(shù)是： 7，2×2×2，3×3，2×5 即四個學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。 答略。 *例10 在等式35×（??? ）×81×27=7×18×（??? ）×162的兩個括號中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級程度） 解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得： 5×37×7×（??? ）=22×36×7×（??? ） 把上面的等式化簡，得： 15×（??? ）=4×（??? ） 所以，在左邊的括號內(nèi)填4，在右邊的括號內(nèi)填15。 15×（4）=4×（15） 答略。 *例11 把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六

8、年級程度） 解：把84分解質(zhì)因數(shù)： 84=2×2×3×7 除了1和84外，84的約數(shù)有： 2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進行分組。84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。 因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；

9、每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。 答略。 *例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個數(shù)分成兩組，每組四個數(shù)，要使各組數(shù)中四個數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級程度） 解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。 14=2×7??????? 143=11×13 30=2×3×5??? 169=13×13 33=3×11?????? 4445=5×7×127 75=3×5×5??? 4953=3×13×127

10、 在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個。 在把題中的八個數(shù)分為兩組時，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個。 按這個要求每一組四個數(shù)的積應(yīng)是： 2×7×11×127×3×3×5×5×13×13 因為，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根據(jù)接下來為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個數(shù)是：30、33、169、4445。 答略。 *例13 一個長方形的面積是315平方厘米，

11、長比寬多6厘米。求這個長方形的長和寬。（適于五年級程度） 解：設(shè)長方形的寬為x厘米，則長為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得： x（x+6）= 315 x（x+6）=3×3×5×7 =（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6） x=15 x+6=21 答：這個長方形的長是21厘米，寬是15厘米。 *例14 已知三個連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個自然數(shù)各是多少？（適于五年級程度） 解：設(shè)這三個連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得： （x-1）×x×（x+1） =210 =21×10 =3×7×2×5 =5

12、×6×7 比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：這三個連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。 *例15 將37分為甲、乙、丙三個數(shù)，使甲、乙、丙三個數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級程度） 解：把1440分解質(zhì)因數(shù)： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20 如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合題中條件。 答：甲、乙、丙三個數(shù)分別是8、9、20。 *例16 一個

13、星期天的早晨，母親對孩子們說：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時，才生下第二個兒子？（適于六年級程度） 解：由題意可知，母親有三個兒子。母親的年齡與三個兒子年齡的乘積等于： 33×1000+32×10=27090 把27090分解質(zhì)因數(shù)： 27090=43×7×5×32×2 根據(jù)“大哥的年齡等于兩個弟弟年齡之和”，重新組合上面的質(zhì)因式得： 43×14×9×5 這個質(zhì)因式中14就是9與5之和。 所以母親4

14、3歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。 43-9=34（歲） 答：母親在34歲時生下第二個兒子。 第三十二講 最大公約數(shù)法 通過計算出幾個數(shù)的最大公約數(shù)來解題的方法，叫做最大公約數(shù)法。 例1 甲班有42名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生，現(xiàn)在要把這兩個班的學(xué)生平均分成若干個小組，并且使每個小組都是同一個班的學(xué)生。每個小組最多有多少名學(xué)生？（適于六年級程度） 解：要使每個小組都是同一個班的學(xué)生，并且要使每個小組的人數(shù)盡可能多，就要求出42和48的最大公約數(shù)： 2×3=6 42和48的最大公約數(shù)是6。 答：每個小組最多能有6名學(xué)生。 例2 有一張長150厘米、寬

15、60厘米的長方形紙板，要把它分割成若干個面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個正方形？（適于六年級程度） 解：因為分割成的正方形的面積最大，并且面積相等，所以正方形的邊長應(yīng)是150和60的最大公約數(shù)。 求出150和60的最大公約數(shù)： 2×3×5=30 150和60的最大公約數(shù)是30，即正方形的邊長是30厘米。 看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說明，當(dāng)正方形的邊長是30厘米時，長方形的長150厘米中含有5個30厘米，寬60厘米中含有2個30厘米。 所以，這個長方形能分割成正方形： 5×2=10（個） 答：能分割成10個正方形

16、。 例3 有一個長方體的方木，長是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？（適于六年級程度） 解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實際是求325、175和75的最大公約數(shù)。 5×5=25 325、175和75的最大公約數(shù)是25，即小正方體木塊的棱長是25厘米。 因為75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長是25厘米，所以，在75厘米中包含3

17、個25厘米，在175厘米中包含7個25厘米，在325厘米中包含13個25厘米。 可以截成棱長是25厘米的小木塊： 3×7×13=273（塊） 答：小正方體木塊的棱長是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。 例4 有三根繩子，第一根長45米，第二根長60米，第三根長75米?，F(xiàn)在要把三根長繩截成長度相等的小段。每段最長是多少米？一共可以截成多少段？（適于六年級程度） 解：此題實際是求三條繩子長度的最大公約數(shù)。 3×5=15 45、60和75的最大公約數(shù)是15，即每一小段繩子最長15米。 因為短除式中最后的商是3、4、5，所以在把繩子截成15米這么長時，45米長的繩子可以截成

18、3段，60米長的繩子可以截成4段，75米長的繩子可以截成5段。所以有： 3+4+5=12（段） 答：每段最長15米，一共可以截成12段。 例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數(shù)相等的若干組后，男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少，每組應(yīng)是多少人？能分成多少組？（適于六年級程度） 解：因為男、女生各剩3人，所以進入各組的男、女生的人數(shù)分別是： 234-3=231（人）…………………男 146-3=143（人）…………………女 要使組數(shù)最少，每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是最多的，即每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是231人和143人的最大公約數(shù)。 231、143的最大公約數(shù)是11，即每一

19、組是11人。 因為231、143除以11時，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。 21+13=34（組） 答：每一組應(yīng)是11人，能分成34組。 例6 把330個紅玻璃球和360個綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個盒里玻璃球的個數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個小盒？（適于六年級程度） 解：求一共可以裝多少個盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個盒子里球的個數(shù)相同，裝的最多，則每盒球的個數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。 2×3×5=30 330和360的最大公約數(shù)是30，即每盒裝30個球。 330÷30=11（盒）……………

20、紅球裝11盒 360÷30=12（盒）……………綠球裝12盒 11+12=23（盒）……………共裝23盒 答略。 例7 一個數(shù)除40不足2，除68也不足2。這個數(shù)最大是多少？（適于六年級程度） 解：“一個數(shù)除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被這個數(shù)除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個數(shù)整除；68被這個數(shù)除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個數(shù)整除。 看來，能被這個數(shù)整除的數(shù)是：40+2=42，68+2=70。這個數(shù)是42和70的公約數(shù)，而且是最大的公約數(shù)。 2×7=14 答：這個數(shù)最大是14。 例8 李明昨天賣了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整

21、千克。第一筐賣了1.04元，第二筐賣了1.95元，第三筐賣了2.34元。每1千克白菜的價錢都是按當(dāng)?shù)厥袌鲆?guī)定的價格賣的。問三筐白菜各是多少千克，李明一共賣了多少千克白菜？（適于六年級程度） 解：三筐白菜的錢數(shù)分別是104分、195分、234分，每千克白菜的價錢一定是這三個數(shù)的公約數(shù)。 把104、195、234分別分解質(zhì)因數(shù)： 104=23×13 195=3×5×13 234=2×32×13 104、195、234最大的公有的質(zhì)因數(shù)是13，所以104、195、234的最大公約數(shù)是13，即每千克白菜的價錢是0.13元。 1.04÷0.13=8（千克）………第一筐 1.95÷0.13

22、=15（千克）………第二筐 2.34÷0.13=18（千克）………第三筐 8+15+18=41（千克） 答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克，李明一共賣了41千克白菜。 例9 一個兩位數(shù)除472，余數(shù)是17。這個兩位數(shù)是多少？（適于六年級程度） 解：因為這個“兩位數(shù)除472，余數(shù)是17”，所以，472-17=455，455一定能被這個兩位數(shù)整除。 455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數(shù)中35、65和91大于17，并且是兩位數(shù)，所以這個兩位數(shù)可以是35或65，也可以是91。 答略。 例10 把圖32-1的鐵板用點焊的方式焊在一個

23、大的鐵制部件上，要使每個角必須有一個焊點，并且各邊焊點間的距離相等。最少要焊多少個點？（單位：厘米）（適于六年級程度） 解：要求焊點最少，焊點間距就要最大；要求每個角有一個焊點，焊點間距離相等，焊點間距離就應(yīng)是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。 2×3=6 它們的最大公約數(shù)是6，即焊點間距離為6厘米。焊點數(shù)為： 7+4+3+6=20（個） 按這個算法每個角上的焊點是兩個，因為要求每一個角上要有一個焊點，所以，要從20個焊點中減4個焊點。 20-4=16（個） 答略。 第三十三講 最小公倍數(shù)法 通過計算出幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，從而解答出問題的解

24、題方法叫做最小公倍數(shù)法。 例1 用長36厘米，寬24厘米的長方形瓷磚鋪一個正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？（適于六年級程度） 解：因為求這個正方形地面所需要的長方形瓷磚最少，所以正方形的邊長應(yīng)是36、24的最小公倍數(shù)。 2×2×3×3×2=72 36、24的最小公倍數(shù)是72，即正方形的邊長是72厘米。 72÷36=2 72÷24=3 2×3=6（塊） 答：最少需要6塊瓷磚。 *例2 王光用長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊拼最小的正方體模型。這個正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長方體木塊？（適于六年級程度） 解：此題應(yīng)先求正方體模型的棱長，這個棱長就是

25、6、4和3的最小公倍數(shù)。 2×3×2=12 6、4和3的最小公倍數(shù)是12，即正方體模型的棱長是12厘米。 正方體模型的體積為： 12×12×12=1728（立方厘米） 長方體木塊的塊數(shù)是： 1728÷（6×4×3） =1728÷72 =24（塊） 答略。例3 有一個不足50人的班級，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個班級有多少人？（適于六年級程度） 解：這個班的學(xué)生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說明這個班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)（50以內(nèi)）多1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。 2×2×3×4=48 12與16的最小

26、公倍數(shù)是48。 48+1=49（人） 49<50，正好符合題中全班不足50人的要求。 答：這個班有49人。 例4 某公共汽車站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車。三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車？（適于六年級程度） 解：求三條線路的汽車在同一時間發(fā)車以后，至少再經(jīng)過多少分鐘又在同一時間發(fā)車，就是要求出三條線路汽車發(fā)車時間間隔的最小公倍數(shù)，即8、10、12的最小公倍數(shù)。 2×2×2×5×3=120 答：至少經(jīng)過120分鐘又在同一時間發(fā)車。 例5 有一筐雞蛋，

27、4個4個地數(shù)余2個，5個5個地數(shù)余3個，6個6個地數(shù)余4個。這筐雞蛋最少有多少個？（適于六年級程度） 解：從題中的已知條件可以看出.不論是4個4個地數(shù)，還是5個5個地數(shù)、6個6個地數(shù)，筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因為要求這筐雞蛋最少是多少個，所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2，就得到雞蛋的個數(shù)。 2×2×5×3=60 4、5、6的最小公倍數(shù)是60。 60-2=58（個） 答：這筐雞蛋最少有58個。 *例6 文化路小學(xué)舉行了一次智力競賽。參加競賽的人中，平均每15人有3個人得一等獎，每8人有2個人得二等獎，每12人有4個人得三等獎。參加這次競賽的

28、共有94人得獎。求有多少人參加了這次競賽？得一、二、三等獎的各有多少人？（適于六年級程度） 解：15、8和12的最小公倍數(shù)是120，參加這次競賽的人數(shù)是120人。 得一等獎的人數(shù)是： 3×（120÷15）=24（人） 得二等獎的人數(shù)是： 2×（120÷8）=30（人） 得三等獎的人數(shù)是： 4×（120÷12）=40（人） 答略。 *例7 有一個電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點整時，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點鐘？（適于六年級程度） 解：每到整點響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長時間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的

29、最小公倍數(shù)。 60與9的最小公倍數(shù)是180。 180÷60=3（小時） 由于是中午12點時既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點鐘。 答略。 *例8 一個植樹小組原計劃在96米長的一段土地上每隔4米栽一棵樹，并且已經(jīng)挖好坑。后來改為每隔6米栽一棵樹。求重新挖樹坑時可以少挖幾個？（適于六年級程度） 解：這一段地全長96米，從一端每隔4米挖一個坑，一共要挖樹坑： 96÷4+1=25（個） 后來，改為每隔6米栽一棵樹，原來挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個坑開始，每隔12米的那個坑不必挖。 96÷12+1=9（個）

30、96米中有8個12米，有8個坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個坑，一共有9個坑不必重新挖。 答略。 例9 一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，甲隊還要做幾天？（適于六年級程度） 解：由18、24的最小公倍數(shù)是72，可把全工程分為72等份。 72÷18=4（份）…………是甲一天做的份數(shù) 72÷24=3（份）…………是乙一天做的份數(shù) （4+3）×8=56份）………兩隊8天合作的份數(shù) 72-56=16（份）…………余下工程的份數(shù) 16÷4=4（天）……………甲還要做的天數(shù) 答略。 *例10 甲、乙兩個碼頭之間的水路長234

31、千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時。求此船在靜水中的速度？（適于高年級程度） 解：9、13的最小公倍數(shù)是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。 每一份是： 234÷117=2（千米） 靜水中船的速度占總份數(shù)的： （13+9）÷2=11（份） 船在靜水中每小時行： 2×11=22（千米） 答略。 *例11 王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時3千米，下山的速度為每小時5千米。他上、下山的平均速度是每小時多少千米？（適于六年級程度） 解：設(shè)山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。 3×5=15（千米） 上

32、山用： 15÷3=5（小時） 下山用： 15÷5=3（小時） 總距離÷總時間=平均速度 （15×2）÷（5+3）=3.75（千米） 答：他上、下山的平均速度是每小時3.75千米。 *例12 某工廠生產(chǎn)一種零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時做50個；第二道工序每個工人每小時做30個；第三道工序每個工人每小時做25個。在要求均衡生產(chǎn)的條件下，這三道工序至少各應(yīng)分配多少名工人？（適于六年級程度） 解：50、30、25三個數(shù)的最小公倍數(shù)是150。 第一道工序至少應(yīng)分配： 150÷50=3（人） 第二道工序至少應(yīng)分配： 150÷30=5（人） 第三道工序至少應(yīng)分配：

33、 150÷25=6（人） 答略。 第三十四講 解平均數(shù)問題的方法 已知幾個不相等的數(shù)及它們的份數(shù)，求總平均值的問題，叫做平均數(shù)問題。 解答平均數(shù)問題時，要先求出總數(shù)量和總份數(shù)?？倲?shù)量是幾個數(shù)的和，總份數(shù)是這幾個數(shù)的份數(shù)的和。解答這類問題的公式是； 總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 例1 氣象小組在一天的2點、8點、14點、20點測得某地的溫度分別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度。（適于四年級程度） 解：本題可運用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”進行計算。這里的總數(shù)量是指測得的四個溫度的和，即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18

34、攝氏度的和；這里的總份數(shù)是指測量氣溫的次數(shù)，一天測量四次氣溫，所以總份數(shù)為4。 （13+16+25+18）÷4 =72÷4 =18（攝氏度） 答：這一天的平均氣溫為18攝氏度。 例2 王師傅加工一批零件，前3天加工了148個，后4天加工了167個。王師傅平均每天加工多少個零件？（適于四年級程度） 解：此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù)，總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)之和。用總數(shù)量除以總份數(shù)，便求出平均數(shù)。 前、后共加工的零件數(shù)： 148+167=315（個） 前、后加工零件共用的天數(shù)： 3+4=7（天） 平均每天加工的零件數(shù)： 315÷7=45（個） 綜合

35、算式： （148+167）÷（3+4） ＝315÷7 =45（個） 答：平均每天加工45個零件。 例3 某工程隊鋪一段自來水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個工程隊平均每天鋪多少米？（適于四年級程度） 解：本題的總數(shù)量是指工程隊前3天、后2天一共鋪自來水管道的米數(shù)?？偡輸?shù)是指鋪自來水管道的總天數(shù)。用鋪自來水管道的總米數(shù)除以鋪自來水管道的總天數(shù)，就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。 前3天鋪的自來水管道米數(shù)： 150×3=450（米） 后2天鋪的自來水管道米數(shù)： 200×2=400（米） 一共鋪的自來水管道米數(shù)： 450+400=850（米） 一共

36、鋪的天數(shù)： 3+2=5（天） 平均每天鋪的米數(shù)： 850÷5=170（米） 綜合算式： （150×3+200×2）÷（3+2） ＝（450+400）÷5 ＝850÷5 ＝170（米） 答略。 例4 有兩塊實驗田，第一塊有地3.5畝，平均畝產(chǎn)小麥480千克；第二塊有地1.5畝，共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克？（適于四年級程度） 解：本題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量，總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù)，用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。 3.5畝共產(chǎn)小麥： 480×3.5=1680（千克） 兩塊地總產(chǎn)量： 1680+750

37、=2430（千克） 兩塊地的總畝數(shù)： 3.5+1.5=5（畝） 兩塊地平均畝產(chǎn)小麥： 2430÷5=486（千克） 綜合算式： （480×3.5+750）÷（3.5+1.5） ＝（1680+750）÷5 ＝2430÷5 =486（千克） 答略。 例5 東風(fēng)機器廠，五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元。這個廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度） 解：本題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬元，比下半月的產(chǎn)值少70萬元，也就是下半月比上半月多70萬元，所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2（萬元）。把上半月

38、的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加，求出五月份的總產(chǎn)值。 本題的總份數(shù)是指五月份的實際天數(shù)。五月份為大月，共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實際天數(shù)，可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬元。 下半月產(chǎn)值： 125.2+70=195.2（萬元） 五月份的總產(chǎn)值： 125.2+195.2=320.4（萬元） 五月份平均每天的產(chǎn)值： 320.4÷31≈10.3（萬元） 綜合算式： （125.2+125.2+70）÷31 =320.4÷31 ≈10.3（萬元） 答略。 例6 崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只，中旬生產(chǎn)5580只，下旬生產(chǎn)5890只。這個月平均每天生產(chǎn)軸承多

39、少只？（適于四年級程度） 解：本題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)，總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù)，可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。 六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù)： 527×10=5270（只） 六月中、下旬共生產(chǎn)軸承： 5580+5890=11470(只） 六月份共生產(chǎn)軸承： 5270+11470=16740（只） 六月份平均每天生產(chǎn)軸承： 16740÷30=558（只） 綜合算式： （527×10+5580+5890）÷30 =（5270+5580+5890）÷30 =16740÷30 =558（只） 答略。 例7

40、糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的軟糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖，每千克應(yīng)賣多少元？（適于四年級程度） 解：本題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢數(shù)；總份數(shù)是指三種糖的總重量?？傚X數(shù)除以總重量，可求出每千克混合糖應(yīng)賣多少錢。 三種糖總的錢數(shù)： 4.8×5+3.6×10+2.4×10 =24+36+24 =84（元） 三種糖的總的重量： 5+10+10=25（千克） 每千克混合糖應(yīng)賣的價錢： 84÷25=3.36（元） 綜合算式： （4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10） ＝84÷25 ＝3.36（

41、元） 答略。 例8 一輛汽車從甲地開往乙地，在平地上行駛了2.5小時，每小時行駛42千米；在上坡路行駛了1.5小時，每小時行駛30千米；在下坡路行駛了2小時，每小時行駛45千米，就正好到達乙地。求這輛汽車從甲地到乙地的平均速度。（適于四年級程度） 解：本題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程： 42×2.5+30×1.5+45×2 =105+45+90 =240（千米） 本題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時間： 2.5+1.5+2=6（小時） 這輛汽車從甲地到乙地的平均速度是： 240÷6=40（千米/小時） 綜合算式： （42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+

42、1.5+2） ＝240÷6 ＝40（千米/小時） 答略。 *例9 學(xué)校發(fā)動學(xué)生積肥支援農(nóng)業(yè)，三年級85人積肥3640千克，四年級92人比三年級多積肥475千克，五年級的人數(shù)比四年級多3人，積肥數(shù)比三年級多845千克。三個年級的學(xué)生平均每人積肥多少千克？（適于四年級程度） 解：本題中的總數(shù)量是三個年級積肥的總重量。已知三年級積肥3640千克。 四年級積肥： 3640+475=4115（千克） 五年級積肥： 3640+845=4485（千克） 三個年級共積肥： 3640+4115+4485=12240（千克） 本題中的總份數(shù)就是三個年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)。三年級學(xué)生人數(shù)是85人已

43、知，四年級學(xué)生人數(shù)是92人已知，五年級學(xué)生人數(shù)是： 92+3=95（人） 三個年級學(xué)生的總?cè)藬?shù)是： 85+92+95=272（人） 三個年級的學(xué)生平均每人積肥： 12240÷272=45（千克） 綜合算式： （3640×3+475+845）÷（85+92×2+3） =12240÷272 =45（千克） 答略。 例10 山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城，每小時行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時，由于是上坡路，每小時只行了15千米。問此人往返一次平均每小時行了多少千米？（適于四年級程度） 解：本題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程： 60×

44、2=120（千米） 總份數(shù)是往返一次用的時間： 60÷20+6O÷15 =3+4 =7（小時） 此人往返一次平均每小時行的路程是： 120÷7≈17.14（千米） 綜合算式： 60×2÷（60÷20+60÷15） ＝120÷(3+4） ＝120÷7 ≈17.14（千米） 答略。 *例11 有兩塊棉田，平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。已知一塊田是3畝，平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝，求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克？（適于四年級程度） 解：兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是： 91.5×（3+5）=732（千克） 3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是： 104×3=312（千克） 另

45、一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是： （732-312）÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 綜合算式： [91.5×（3+5）-104×3］÷5 ＝[732-312]÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 答略。 *例12 王伯伯釣魚，前4天共釣了36條，后6天平均每天比前4天多釣了5條。問王伯伯平均每天釣魚多少條？（適于四年級程度） 解（1）：題中前4天共釣36條已知，后6天共釣魚： （36÷4+5）×6 =14×6 =84（條） 一共釣魚的天數(shù)是： 4+6=10（天） 10天共釣魚： 36+84=120（條） 平均每天釣魚： 120÷10=12（條） 綜合算式

46、： [36+（36÷4+5）×6]÷（4+6） =[36+84]÷10 =120÷10 =12（條） 答略。 解（2）：這道題除用一般方法解之外，還可將后6天多釣的魚按10天平均后，再加上原來4天的平均釣魚數(shù)。 （5×6）÷（4+6）+36÷4 =3+9 =12（條） 答：王伯伯平均每天釣魚12條。 例13 一個小朋友爬山，上山速度為每小時2千米，到達山頂后立即按原路下山，下山速度為每小時6千米。這個小朋友上、下山的平均速度是多少？（適于四年級程度） 解：本題的總數(shù)量是上山、下山的總路程，題中沒有說總路程是多少。假設(shè)上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下

47、山的總路程是2千米。 本題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時間。 上山、下山總共用的時間是： 所以，上山、下山的平均速度是： 答略。 例14 某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬元，三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元。這個工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬元？（適于四年級程度） 解：此題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，用“總數(shù)量÷總份數(shù)”的方法做不出來。作圖（34-1）。從圖34-1可以看出，一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬元。題中說“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元”，那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高，所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份

48、平均產(chǎn)值的線段長。 第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬元呢？ 我們用“移多補少”的方法，把圖34-1中三月份的0.4萬元平均分成2份，分別加到一、二月份的產(chǎn)值上，這樣就得到第一季度的平均產(chǎn)值了。 1.2+0.4÷2=1.4（萬元） 因為三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬元，所以三月份的產(chǎn)值是： 1.4+0.4=1.8（萬元） 綜合算式： 1.2+0.4÷2+0.4 =1.4+0.4 =1.8（萬元） 答略。 *例15 蘋果2千克賣2元錢，梨3千克賣2元錢。把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻到一起，按2元錢2.5千克來賣，是掙錢，還是賠錢？按照前面的標準價計算差了多

49、少元？（適于四年級程度） 解：蘋果的單價是每1千克1元錢，梨的單價是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的價錢應(yīng)當(dāng)是： 因為是把每一筐15千克的梨、蘋果各一筐摻合到一起，所以混合的水果一共是30千克，這30千克水果要少賣錢： 答：混合后是賠錢，照標準價差了1元錢。 *例16 三塊小麥實驗田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。已知第一塊地是3畝，平均畝產(chǎn)量是275千克；第二塊是5畝，平均畝產(chǎn)量是285千克；而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝？（適于四年級程度） 解：第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低： 267.5-240=27.5（千克） 每畝低27

50、.5千克，需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來填補呢？ （275-267.5）×3+（285-267.5）×5 =7.5×3+17.5×5 =22.5+87.5 =110（千克） 110千克中含有多少個27.5千克，第三塊地就是多少畝。 110÷27.5=4（畝） 綜合算式： [（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240） =[22.5+87.5]÷27.5 =110÷27.5 =4（畝） 答：第三塊地是4畝。 第三十五講 解行程問題的方法 已知速度、時間、距離三個數(shù)量中的任何兩個，求第三個數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問題。 解答行

51、程問題的關(guān)鍵是，首先要確定運動的方向，然后根據(jù)速度、時間和路程的關(guān)系進行計算。 行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是： 速度×?xí)r間=路程 路程÷速度=時間 路程÷時間=速度 行程問題常見的類型是：相遇問題，追及問題（即同向運動問題），相離問題（即相背運動問題）。 （一）相遇問題 兩個運動物體作相向運動或在環(huán)形跑道上作背向運動，隨著時間的發(fā)展，必然面對面地相遇，這類問題叫做相遇問題。它的特點是兩個運動物體共同走完整個路程。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題。 相遇問題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時間，求速度。 它們的基本關(guān)系式如下： 總路程=（甲速+乙速）×相遇

52、時間 相遇時間=總路程÷（甲速+乙速） 另一個速度=甲乙速度和-已知的一個速度 1.求路程 （1）求兩地間的距離 例1 兩輛汽車同時從甲、乙兩地相對開出，一輛汽車每小時行56千米，另一輛汽車每小時行63千米，經(jīng)過4小時后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級程度） 解：兩輛汽車從同時相對開出到相遇各行4小時。一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時間，就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。 56×4=224（千米） 63×4=252（千米） 224+252=476（千米） 綜合算式： 56×4+63×4 =22

53、4+252 =476（千米） 答略。 例2 兩列火車同時從相距480千米的兩個城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時行駛40千米，乙車每小時行駛42千米。5小時后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級程度） 解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5小時共行多遠后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時共行的路程，所得就是兩車的距離。 480-（40+42）×5 =480-82×5 =480-410 =70（千米） 答：5小時后兩列火車相距70千米。 例3 甲、乙二人分別從A、B兩地同時相向而行，甲每小時行5千米，乙每小時行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進，分別到達B、A兩地后又

54、立即按原速度返回。從開始走到第二次相遇，共用了6小時。A、B兩地相距多少千米？（適于五年級程度） 解：從開始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個AB之長；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個AB之長（圖35-1），這三個AB之長是： （5+4）×6=54（千米） 所以，A、B兩地相距的路程是： 54÷3=18（千米） 答略。 例4 兩列火車從甲、乙兩地同時出發(fā)對面開來，第一列火車每小時行駛60千米，第二列火車每小時行駛55千米。兩車相遇時，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級程度） 解：兩車相遇時，兩車的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是

55、兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時比第二列火車多行（60-55）千米。由此可求出兩車相遇的時間，進而求出甲、乙兩地間的距離。 （60+55）×[20÷（60-55）] =115×[20÷5] =460（千米） 答略。 *例5 甲、乙二人同時從A、B兩地相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走5千米，兩個人在距離中點1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于五年級程度） 解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時，甲比乙多走了1.5×2千米（圖35-2），甲比乙每小時多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時間，進而求出A、B兩地之間的距離。 （6+5）×[1.5×2÷（6

56、-5）] =11×[1.5×2÷1] =11×3 =33（千米） 答略。 由兩車“在離中點2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行： 2×2=4（千米） 所以，乙車行的路程是： 甲車行的路程是： A、B兩站間的距離是： 24+20=44（千米） 答略。 同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級程度） 快車從乙城開出，普通客車與快車相對而行。已知普通客車每小時行60千米，快車每小時行80千米，可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時間，可以按“速度之和×相遇時間”，求出兩車相對而行的總行程。普通客車已行駛 普通客車與快車速度之

57、和是： 60+80=140（千米/小時） 兩車相對而行的總路程是： 140×4=560（千米） 兩車所行的總路程占全程的比率是： 甲、乙兩城之間相距為： 綜合算式： 答略。 2）求各行多少 例1 兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時走3.5千米，乙每小時走4千米。相遇時甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級程度） 解：到甲、乙二人相遇時所用的時間是： 37.5÷（3.5+4）=5（小時） 甲行的路程是： 3.5×5=17.5（千米） 乙行的路程是： 4×5=20（千米） 答略。 例2 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時

58、相對走來，甲每小時走4千米，乙每小時走6千米。相遇后他們又都走了1小時。兩人各走了多少千米？（適于五年級程度） 解：到甲、乙二人相遇所用的時間是： 40÷（4+6）=4（小時） 由于他們又都走了1小時，因此兩人都走了： 4+1=5（小時） 甲走的路程是： 4×5=20（千米） 乙走的路程是： 6×5=30（千米） 答略。 例3 兩列火車分別從甲、乙兩個火車站相對開出，第一列火車每小時行48.65千米，第二列火車每小時行47.35千米。在相遇時第一列火車比第二列火車多行了5.2千米。到相遇時兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度） 解：兩車同時開出，行的路程有一個差，這個

59、差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時間，然后再分別求出所行的路程。 從出發(fā)到相遇所用時間是： 5.2÷（48.65-47.35） =5.2÷1.3 =4（小時） 第一列火車行駛的路程是： 48.65×4=194.6（千米） 第二列火車行駛的路程是： 47.35×4=189.4（千米） 答略。 *例4 東、西兩車站相距564千米，兩列火車同時從兩站相對開出，經(jīng)6小時相遇。第一列火車比第二列火車每小時快2千米。相遇時這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級程度） 解：兩列火車的速度和是： 564÷6=94（千米/小時） 第一列火車每

60、小時行： （94+2）÷2=48（千米） 第二列火車每小時行： 48-2=46（千米） 相遇時，第一列火車行： 48×6=288（千米） 第二列火車行： 46×6=276（千米） 答略。 2.求相遇時間 例1 兩個城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市相對開出，客車的平均速度是每小時55千米，貨車的平均速度是每小時45千米。兩車開了幾小時以后相遇？（適于五年級程度） 解：已知兩個城市之間的路程是500千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時間。 500÷（55+45） =500÷10

61、0 =5（小時） 答略。 例2 兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時從兩個城市 答略。 例3 在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來相距62.75千米。據(jù)偵察員報告，敵人已向我處前進了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時前進6.5千米，敵人每小時前進5千米。我軍出發(fā)幾小時后與敵人相遇？（適于五年級程度） 解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進了11千米”可知實際的總距離減少到（62.75-11）千米。 （62.75-11）÷（6.5+5） =51.75÷11.5 =4.5（小時） 答：我軍出發(fā)4.5小時后與敵人相遇。 例4 甲、乙兩地相距2

62、00千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5小時；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4小時。如果兩列火車同時從兩地相對開出，經(jīng)過幾小時可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級程度） 解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時間。 200÷（200÷5+200÷4） =200÷（40+50） =200÷90 ≈2.2（小時） 答：兩車大約經(jīng)過2.2小時相遇。 例5 在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個車站開出，相向而行。快車車身長是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身長210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的

63、尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級程度） 解：因為是以兩車離開為準計算時間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個車身的總長。總長除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時間。 （180+210）÷（9+6） =390÷15 =26（秒） 答略。 3.求速度 例1 甲、乙兩個車站相距550千米，兩列火車同時由兩站相向開出，5小時相遇。快車每小時行60千米。慢車每小時行多少千米？（適于五年級程度） 解：先求出速度和，再從速度和中減去快車的速度，便得出慢車每小時行： 550÷5-60 =110-60 =50（千米） 答略。 例2 A、B兩個城市相距380千米。客車和貨車從兩

64、個城市同時相對開出，經(jīng)過4小時相遇。貨車比客車每小時快5千米。這兩列車每小時各行多少千米？（適于五年級程度） 解：客車每小時行： （380÷4-5）÷2 =（95-5）÷2 =45（千米） 貨車每小時行： 45+5=50（千米） 答略。 例3 甲、乙兩個城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時相對開出，經(jīng)過10小時相遇。快車每小時行50千米，比慢車每小時多行多少千米？（適于五年級程度） 解：兩城市的距離除以兩車相遇的時間，得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度。再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求。 50-（980÷10-50） =50-（

65、98-50） =50-48 =2（千米） 答略。 例4 甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時從甲、乙兩地相對開出，經(jīng)過6小時相遇。已知快車與慢車的速度比是5∶4。求快車和慢車每小時各行多少千米？（適于六年級程度） 兩車的速度和是： 486÷6=81（千米/小時） 快車每小時行： 慢車每小時行： 答略。 例5 兩輛汽車同時從相距465千米的兩地相對開出，4.5小時后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時行37千米。另一輛汽車每小時行多少千米？（適于五年級程度） 解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時兩車正好相遇。也就是兩車4.5小時行465-120=3

66、45千米，345千米除以4.5小時，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。 答略。 例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時走5千米，先出發(fā)0.8小時。乙騎自行車，騎2小時后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時行多少千米？（適于五年級程度） 解：兩人相遇時，甲共走： 0.8+2=2.8（小時） 甲走的路程是： 5×2.8=14（千米） 乙在2小時內(nèi)行的路程是： 40-14=26（千米） 所以，乙每小時行： 26÷2=13（千米） 綜合算式： [40-5×（0.8+2）]÷2 =[40-5×2.8]÷2 =[40-14]÷2 =26÷2 =13（千米） 答略。 例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對而行。甲先出發(fā)，每小時步行5千米。1小時后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時，兩人相距11千米。乙每小時行駛多少千米？（適于五年級程度） 解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到： 50-5-11=34（千米） 這時，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別