內(nèi)蒙古滿(mǎn)洲里市第七中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第二章平面向量《數(shù)乘向量》課件 新人教A版必修4

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1、第二章 平面向量2.3.1 數(shù)乘向量1. 1.向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則回顧舊知回顧舊知:2.向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則3.向量的減法向量的減法(三角形法則）三角形法則）向量的加法向量的加法( (三角形法則三角形法則) )如圖如圖, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a+ba+b. .ab作法:在平面中任取在平面中任取一點(diǎn)一點(diǎn)o, o,aAbBa+b過(guò)過(guò)O作作OA= a則則OB= a+b.過(guò)過(guò)A作作AB= bo向量的加法向量的加法(平行四邊形法則平行四邊形法則)如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.a作法:

2、在平面中任取一點(diǎn)在平面中任取一點(diǎn)O,過(guò)過(guò)O作作OA= a過(guò)過(guò)O O作作OB=OB= b boaAbBb以以O(shè)A,OBOA,OB為邊作為邊作平行四邊形平行四邊形則對(duì)角線(xiàn)則對(duì)角線(xiàn)OC= OC= a+ba+ba+bC向量的減法向量的減法(三角形法則）三角形法則）如圖如圖,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在平面中任取一點(diǎn)在平面中任取一點(diǎn)o o,過(guò)過(guò)O O作作OA=OA= a a過(guò)過(guò)O O作作OB=OB= b boaAbB則則BA= BA= a-ba-ba-b實(shí)際背景,33一物體作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，一秒鐘的位移對(duì)應(yīng)向量那么在同方向上 秒的位移對(duì)應(yīng)的向量用表示，試畫(huà)出該向量

3、。aaaa3探索探索1:根據(jù)向量加法根據(jù)向量加法的法則可得的法則可得3a3aOaaaABC3a 由圖可知，向量由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把我們把a(bǔ)+a+a記記作作3 a，即，即OC=3a. 顯然，顯然，3a的方向與的方向與a的方向相同，的方向相同，3a 的的長(zhǎng)度是長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的的長(zhǎng)度的3倍，即倍，即|3a | = 3 |a |.PQaMaNa3a 由圖可知，由圖可知， PN=PQ+QM+MN =(-a)+(-a)+(-a)，把，把(-a)+(-a)+(-a) 記作記作-3 a，即，即PN= - 3a顯然，顯然，-3a的方向與的方向與a的方向相反，的方向相反，-3a

4、的的長(zhǎng)度是長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的的長(zhǎng)度的3倍，即倍，即|-3a | =3 | a | 。| | | |;aa（1 1） 一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量與向量 的積是一的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘，記作，記作 ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：aa（2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的方向與的方向與 的方向相同；的方向相同； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的方向與的方向與 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特別的，當(dāng)特別的，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，00.a思考思考:向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)?那些不同點(diǎn)那些不同點(diǎn)? a 是一個(gè)向量

5、；是一個(gè)向量； a 的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度等于 的的絕對(duì)值與向量絕對(duì)值與向量a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度的乘積。的乘積。a)2(3a)2(3aa6=abbaba22 a2b2baba22)(2探索探索2:設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)，那么為實(shí)數(shù)，那么, ( (1 1) ) ( ( a a) ) = = ( ( ) )a a; ;( (2 2) )( ( + + ) )a a = = a a + + a a; ;( (3 3) ) ( (a a + + b b) ) = = a a + + b b. .特別的，我們有特別的，我們有 ( (- - ) )a a= =- -( ( a a) )= = ( (- -a a) ), , (

6、 (a a- -b b) )= = a a- - b b. . 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量的線(xiàn)性運(yùn)算.對(duì)于任意向量對(duì)于任意向量 ，以及任意實(shí)數(shù)，以及任意實(shí)數(shù) ，恒有恒有1 12 2 、 、 1111.abab （）=a a 、 b b第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律例例1.計(jì)算：計(jì)算：( 3) 4 ;3() 2();(23) (32).aa ba baab cab c (1)(2)(3);124)3)(1 (aa解：)23()23(2233)(2)(3)2(bbaaaababaababa;5bcbbaacbacbacbacba2)23()

7、32(2332)23()32)(3(.25cba1 2 263 )3( 342 );(2)3()2(2 )4()0.abcabcxaxaxabx鞏固練：計(jì)算：（） （已知求習(xí)cbacba612961241）原式解：（a13043044442332baxbaxaxax）（bax43 例例2探索探索3 3如圖：已知如圖：已知 ， ，試判斷試判斷 與與 是否共線(xiàn)是否共線(xiàn) ABAD 3BCDE3 ACAEBCAB 33 BCAB 3AC 3ABDEC 與與 共線(xiàn)共線(xiàn) AEACDEADAE 解：解：思考思考:向量共線(xiàn)定理向量共線(xiàn)定理 對(duì)于向量對(duì)于向量a （ a 0 ）、）、 b ，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，如果有

8、一個(gè)實(shí)數(shù) ，使使 b = a ，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知， a與與b共線(xiàn)共線(xiàn). 反過(guò)來(lái)，已知向量反過(guò)來(lái)，已知向量a與與b共線(xiàn)，共線(xiàn)， a 0 ，且向量，且向量b的長(zhǎng)度是向量的長(zhǎng)度是向量a的的倍，即倍，即| b | a |= ，那么當(dāng)，那么當(dāng)向量向量a與與b同方向時(shí)，有同方向時(shí)，有b = a ，當(dāng)向量，當(dāng)向量a與與b反方反方向時(shí)，有向時(shí)，有b = - a . 也就是說(shuō)：如果也就是說(shuō)：如果a與與b共線(xiàn)，那么有且只有一共線(xiàn)，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù) ，使，使b = a .例例3:如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，中，M是是AB的的中點(diǎn)，點(diǎn)中點(diǎn)，點(diǎn)N是是BD上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， ，求證求證M、N、C三點(diǎn)共線(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn).BDBN31 AMBCDN613121 MM C C = = 3 3 MM N N 所以所以M.N.C三點(diǎn)共線(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn) 點(diǎn)MNMCM又又與與共共起起課本：P.85.A組.1