新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 5 第一課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第一課時(shí)　離散型隨機(jī)變量的均值 求離散型隨機(jī)變量的均值 [例1]　(重慶高考)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下： 獎(jiǎng)級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) 獲獎(jiǎng)金額 一等獎(jiǎng) 3紅1藍(lán) 200元 二等獎(jiǎng) 3紅0藍(lán) 50元 三等獎(jiǎng) 2紅1藍(lán) 10元 其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)． (1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率； (2)求

2、摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. [思路點(diǎn)撥]　(1)利用古典概型結(jié)合計(jì)數(shù)原理直接求解． (2)先確定離散型隨機(jī)變量的取值，求出相應(yīng)的概率分布，進(jìn)一步求出隨機(jī)變量的期望值． [精解詳析]　設(shè)Ai表示摸到i個(gè)紅球，Bj表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai(i＝0,1,2,3)與Bj(j＝0,1)獨(dú)立． (1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1)＝＝. (2)X的所有可能值為0,10,50,200，且 P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝＝， P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝＝， P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝

3、＝＝， P(X＝0)＝1－－－＝. 綜上知，X的分布列為 X 0 10 50 200 P 從而有EX＝0＋10＋50＋200＝4(元)． [一點(diǎn)通]　求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟 (1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值； (2)求X取每個(gè)值的概率； (3)寫(xiě)出X的分布列(有時(shí)可以省略)； (4)利用定義公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值． 1．(廣東高考)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望EX＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：

4、EX＝1＋2＋3＝＝. 答案：A 2．某高等學(xué)院自愿獻(xiàn)血的20位同學(xué)的血型分布情形如下表： 血型 A B AB O 人數(shù) 8 7 3 2 (1)現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選出兩人，求兩人血型相同的概率； (2)現(xiàn)有A血型的病人需要輸血，從血型為A、O的同學(xué)中隨機(jī)選出2人準(zhǔn)備獻(xiàn)血，記選出A血型的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX. 解：(1)從20人中選出兩人的方法數(shù)為C＝190， 選出兩人同血型的方法數(shù)為C＋C＋C＋C＝53， 故兩人血型相同的概率是. (2)X的取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. X的分布列為

5、 X 0 1 2 P ∴EX＝0＋1＋2＝＝. 二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值 [例2]　甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y，求 (1)X的概率分布； (2)X和Y的數(shù)學(xué)期望． [思路點(diǎn)撥]　甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布． [精解詳析]　(1)P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C3＝， P(X＝2)＝C3＝， P(X＝3)＝C3＝. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P (2)由題意X～B，Y～B， ∴EX＝3＝

6、1.5，EY＝3＝2. [一點(diǎn)通]　如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布即X～B(n，p)，則EX＝np；如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時(shí)，則EX＝n，以上兩特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程． 3．若隨機(jī)變量X～B，EX＝2，則P(X＝1)等于________． 解析：由X～B∴EX＝n＝2， ∴n＝4，∴P(X＝1)＝C13＝. 答案： 4．袋中有7個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中任取3個(gè)球，以X表示取出的紅球數(shù)，則EX為_(kāi)_______． 解析：由題意知隨機(jī)變量X服從N＝7，M＝4，n＝3的超幾何分布，則EX＝3＝. 答案： 5

7、．(浙江高考)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和． (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望EX. 解：(1)由題意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知EX＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝. 數(shù)學(xué)期望的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　某商場(chǎng)準(zhǔn)備在“五一”期間舉行

8、促銷活動(dòng)．根據(jù)市場(chǎng)行情，該商場(chǎng)決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)． (1)試求選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率； (2)商場(chǎng)對(duì)選出的家電商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品成本價(jià)的基礎(chǔ)上提高180元作為售價(jià)銷售給顧客，同時(shí)允許顧客有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)一次，就可以獲得一次獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)的概率都是，且每次獲獎(jiǎng)時(shí)的獎(jiǎng)金數(shù)額相同，請(qǐng)問(wèn)：該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為多少元，此促銷方案才能使商場(chǎng)自己不虧本？ [思路點(diǎn)撥]　(1)利用間接法求概率；(2)先求中獎(jiǎng)的期望，再列不等式求解． [精解詳析]　(1)設(shè)選出的3種商

9、品中至少有一種是日用商品為事件A，則P(A)＝1－＝. 即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為. (4分) (2)設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)為X，則X＝0,1,2,3，于是 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝C2＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝＝， ∴顧客中獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)期望 EX＝0＋1＋2＋3＝1.5. (10分) 設(shè)商場(chǎng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額定為x元，則1.5x≤180，解得x≤120， 即該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為120元，才能使自己不虧本． (12分) [一點(diǎn)通]　處理與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的均值問(wèn)題，應(yīng)首先把實(shí)際問(wèn)題概率模型

10、化，然后利用有關(guān)概率的知識(shí)去分析相應(yīng)各事件可能性的大小，并寫(xiě)出分布列，最后利用有關(guān)的公式求出相應(yīng)的概率及均值． 6．(湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立． (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率； (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}． 由題設(shè)知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝. 且事件E與F，E與，與

11、F，與都相互獨(dú)立． (1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則＝ ，于是 P()＝P()P()＝＝， 故所求的概率為P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0,100,120,220. 因P(X＝0)＝P( )＝＝， P(X＝100)＝P(F)＝＝， P(X＝120)＝P(E)＝＝， P(X＝220)＝P(EF)＝＝. 故所求的X分布列為 X 0 100 120 220 P 數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0＋100＋120＋220＝＝＝140. 7．某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一

12、旦發(fā)生，將造成400萬(wàn)元的損失．現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用．單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬(wàn)元和30萬(wàn)元，采用相應(yīng)的預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采取、聯(lián)合采取或不采取，請(qǐng)確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少．(總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值．) 解：①不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用即損失期望值為 E1＝4000.3＝120(萬(wàn)元)； ②若單獨(dú)采取預(yù)防措施甲，則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬(wàn)元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1， 損失期望值為E2＝4000.1＝40(萬(wàn)元)， 所以總費(fèi)用為45＋40＝

13、85(萬(wàn)元)； ③若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬(wàn)元， 發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.85＝0.15， 損失期望值為E3＝4000.15＝60(萬(wàn)元)， 所以總費(fèi)用為30＋60＝90(萬(wàn)元)； ④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施， 則預(yù)防措施費(fèi)用為45＋30＝75(萬(wàn)元)， 發(fā)生突發(fā)事件的概率為(1－0.9)(1－0.85)＝0.015， 損失期望值為E4＝4000.015＝6(萬(wàn)元)， 所以總費(fèi)用為75＋6＝81(萬(wàn)元)． 綜合①②③④，比較其總費(fèi)用可知，選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費(fèi)用最少． 1．求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的方法步驟： (1)寫(xiě)出隨機(jī)變

14、量所有可能的取值． (2)計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率． (3)寫(xiě)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望． 2．離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì) ①Ec＝c(c為常數(shù))； ②E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b為常數(shù))； ③E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b為常數(shù))． 1．一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8，則他獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為(　　) A．0.8　　　　　　　　　 B．0.83 C．3 D．2.4 解析：射手獨(dú)立射擊3次中靶次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3,0.8)，∴EX＝30.8＝2.4. 答案：D 2．已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布

15、如下： X 0 1 2 P 0.3 3k 4k 隨機(jī)變量Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學(xué)期望為(　　) A．1.1 B．3.2 C．11k D．33k＋1 解析：由題意知，0.3＋3k＋4k＝1， ∴k＝0.1.EX＝00.3＋10.3＋20.4＝1.1， ∴EY＝E(2X＋1)＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2. 答案：B 3．口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則EX＝(　　) A．4 B．5 C．4.5 D．4.75 解析：X的取值為5,4,3. P(X＝5)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(

16、X＝3)＝＝. ∴EX＝5＋4＋3＝4.5. 答案：C 4．(湖北高考)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體．經(jīng)過(guò)攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值EX＝(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知X可能為0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝，EX＝0P(X＝0)＋1P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝0＋1＋2＋3＝＝，故選B. 答案：B 5．設(shè)10件產(chǎn)品有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的均值為_(kāi)_______． 解析：設(shè)查

17、得次品數(shù)為X，由題意知X服從超幾何分布且N＝10，M＝3，n＝2. ∴EX＝n＝2＝. 答案： 6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知EX＝8.9，則y的值為_(kāi)_______． 解析：由 解得y＝0.4. 答案：0.4 7．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一道和第二道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A，B兩個(gè)等級(jí)．對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品． 表一 工序 概率 產(chǎn)品 第一道工序 第二道工序 甲

18、0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表二 等級(jí) 利潤(rùn) 產(chǎn)品 一等 二等 甲 5(萬(wàn)元) 2.5(萬(wàn)元) 乙 2.5(萬(wàn)元) 1.5(萬(wàn)元) (1)已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙； (2)已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用X，Y分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在(1)的條件下，分別求甲、乙兩種產(chǎn)品利潤(rùn)的分布列及均值． 解：(1)P甲＝0.80.85＝0.68， P乙＝0.750.8＝0.6. (2)隨機(jī)變量X，Y的分布列是 X 5 2.5 P 0.68

19、0.32 Y 2.5 1.5 P 0.6 0.4 　 EX＝50.68＋2.50.32＝4.2， EY＝2.50.6＋1.50.4＝2.1. 所以甲、乙兩種產(chǎn)品利潤(rùn)的均值分別為4.2萬(wàn)元、2.1萬(wàn)元． 8．(山東高考)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立． (1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率； (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及

20、數(shù)學(xué)期望． 解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3， 由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 故P(A1)＝3＝， P(A2)＝C2＝， P(A3)＝C22＝. 所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為，以3∶2勝利的概率為. (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4， 由題意知，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立， 所以P(A4)＝C22＝. 由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3， 根據(jù)事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝， 又P(X＝1)＝P(A3)＝， P(X＝2)＝P(A4)＝， P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝， 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0＋1＋2＋3＝.