大學(xué)物理各章練習(xí)題：第五章剛體的轉(zhuǎn)動

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1、 第五章 剛體的轉(zhuǎn)動 5-1　一個勻質(zhì)圓盤由靜止開始以恒定角加速度繞過中心而垂直于盤面的定軸轉(zhuǎn)動．在某一時刻，轉(zhuǎn)速為10 r/s，再轉(zhuǎn)60轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)速變?yōu)?5 r/s，試計算：(1)角加速度；(2)由靜止達到10 r/s所需時間；(3)由靜止到10 r/s時圓盤所轉(zhuǎn)的圈數(shù)． 分析 繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體中所有質(zhì)點都繞軸線作圓周運動，并具有相同的角位移、角速度和角加速度，因此描述運動狀態(tài)的物理量與作圓周運動的質(zhì)點的相似．當(dāng)角加速度恒定時，繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體用角量表示的運動學(xué)公式與勻加速直線運動的公式類似． 解 (1) 根據(jù)題意，轉(zhuǎn)速由變?yōu)槠陂g的角位移，則角加速度為 (2) 從靜止到轉(zhuǎn)

2、速為所需時間為 (3) t時間內(nèi)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為 5-2　唱片在轉(zhuǎn)盤上勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為78 r/min，由開始到結(jié)束唱針距轉(zhuǎn)軸分別為15 cm和7.5 cm，(1)求這兩處的線速度和法向加速度；(2)在電動機斷電以后，轉(zhuǎn)盤在15 s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動，求它的角加速度及轉(zhuǎn)過的圈數(shù)． 分析 繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體中所有質(zhì)點具有相同的角位移、角速度和角加速度，但是線速度、切向加速度和法向加速度等線量則與各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)．角量與線量的關(guān)系與質(zhì)點圓周運動的相似． 解 (1) 轉(zhuǎn)盤角速度為，唱片上和處的線速度和法向加速度分別為 (2) 電動機斷電后，角加速度為 轉(zhuǎn)的圈數(shù)為

3、 B A r1 r2 圖5-3 5-3　如圖5-3所示，半徑r1 = 30 cm的A輪通過皮帶被半徑為r2 = 75 cm的B輪帶動，B輪以π rad/s的勻角加速度由靜止起動，輪與皮帶間無滑動發(fā)生，試求A輪達到3000 r/min所需要的時間． 分析 輪與皮帶間無滑動，則同一時刻，兩輪邊緣的線速度相同，均等于皮帶的傳送速度；兩輪邊緣的切向加速度也相同，均等于皮帶的加速度． 解 設(shè)A、B輪的角加速度分別為、，由于兩輪邊緣與皮帶連動，

4、切向加速度相同，即 則 A輪角速度達到所需要的時間為 5-4　在邊長為b的正方形的頂點上，分別有質(zhì)量為m的四個質(zhì)點，求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：(1)通過其中一質(zhì)點A，平行于對角線BD的轉(zhuǎn)軸，如圖5-4所示．(2)通過A垂直于質(zhì)點所在平面的轉(zhuǎn)軸． A1 D A C a A2 B 圖5-4 分析 由若干質(zhì)點組成的質(zhì)點系對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點對該轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的疊加．每一質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于它的質(zhì)量與其

5、到轉(zhuǎn)軸的垂直距離平方的乘積． 解 (1)因質(zhì)點B和D到轉(zhuǎn)軸的垂直距離A2B和A1D為，質(zhì)點C到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AC為，而質(zhì)點A位于轉(zhuǎn)軸上，則系統(tǒng)對通過A點平行于BD的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 (2) 因質(zhì)點B和D到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AB和AD為，質(zhì)點C到轉(zhuǎn)軸的垂直距離AC為，而質(zhì)點A位于轉(zhuǎn)軸上，則系統(tǒng)對通過A垂于質(zhì)點所在平面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 R R 圖5-5 5-5　求半徑為R，質(zhì)量為m的均勻半圓環(huán)相對于圖5-5中所示軸線的轉(zhuǎn)動慣量． 分析 如果剛體的質(zhì)量連續(xù)分布在一細線上，可用質(zhì)量線密度描述其分布情況，如

6、果分布是均勻的，則質(zhì)量線密度為常量．在剛體上取一小段線元，質(zhì)量為，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為，其中該線元到轉(zhuǎn)軸的距離與線元在剛體上的位置有關(guān)．整個剛體的轉(zhuǎn)動慣量就是剛體上所有線元轉(zhuǎn)動慣量的總和，即所取線元的轉(zhuǎn)動慣量對剛體分布的整個區(qū)域積分的結(jié)果． 解 均勻半圓環(huán)的質(zhì)量線密度為，在半圓環(huán)上取一小段圓弧作為線元，質(zhì)量為 此線元到轉(zhuǎn)軸的距離為，對軸線的轉(zhuǎn)動慣量為，則整個半圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 FN Mf FT1 FT2 (a)

7、 (b) 圖5-6 5-6 一輕繩跨過滑輪懸有質(zhì)量不等的二物體A、B，如圖5-6(a)所示，滑輪半徑為20 cm，轉(zhuǎn)動慣量等于，滑輪與軸間的摩擦力矩為，繩與滑輪間無相對滑動，若滑輪的角加速度為，求滑輪兩邊繩中張力之差． 分析 由于定軸轉(zhuǎn)動的剛體的運動規(guī)律遵從轉(zhuǎn)動定律，因此對于一個定軸轉(zhuǎn)動的滑輪來說，僅當(dāng)其質(zhì)量可以忽略，轉(zhuǎn)動慣量為零，滑輪加速轉(zhuǎn)動時跨越滑輪的輕繩兩邊的張力才相等．這就是在質(zhì)點動力學(xué)問題中通常采用的簡化假設(shè)．在掌握了轉(zhuǎn)動定律后，不應(yīng)該再忽略滑輪質(zhì)量，通常將滑輪考慮為質(zhì)量均勻分布的圓盤，則跨越滑輪的輕繩兩邊的張力對轉(zhuǎn)軸的合力矩是滑輪產(chǎn)生角加速度的原因． 解 滑輪所受力

8、和力矩如圖5-6(b)所示，其中跨越滑輪的輕繩兩邊的張力分別為FT1和FT2，軸的支承力FN不產(chǎn)生力矩，由轉(zhuǎn)動定律可得 5-7 如圖5-7（a）所示的系統(tǒng)中，m1 = 50 kg，m2 = 40 kg，圓盤形滑輪質(zhì)量m = 16 kg，半徑R = 0.1 m，若斜面是光滑的，傾角為30，繩與滑輪間無相對滑動，不計滑輪軸上的摩擦，(1)求繩中張力；(2)運動開始時，m1距地面高度為1 m，需多少時間m1到達地面？ m FN

9、 F’T2 a F’T1 FT1 m2 m1 FN2 FT2 a m2g

10、 m1g （a） （b） 圖5-7 分析 由于存在物體運動和滑輪定軸轉(zhuǎn)動，而且必須考慮圓盤形滑輪的質(zhì)量，這是一個質(zhì)點動力學(xué)和剛體動力學(xué)的綜合問題，應(yīng)該采用隔離物體法，分別對運動物體作受力分析，對轉(zhuǎn)動的滑輪作所受力矩的分析，然后分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律． 解 (1)各物體與滑輪受力情況如圖5-7（b）所示，其中FT1= F’T1，F(xiàn)T2= F’T2，軸對滑輪的支承力FN不產(chǎn)生力矩，選取物體運動方向為坐標(biāo)軸正向，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律，可得 由于物體的加速度等

11、于滑輪邊緣的線速度，則，與以上各式聯(lián)立解得 (2) m1到達地面的時間為 5-8 飛輪質(zhì)量為60 kg，半徑為0.25 m，當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000 r/min時，要在5 s內(nèi)令其制動，求制動力F，設(shè)閘瓦與飛輪間摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算，閘桿尺寸如圖5-8所示． 0.5 m 0.75m F 閘瓦 O 圖5-8 分析 制動力F作用在閘桿上，閘桿在制動力和飛輪的正壓力的力矩

12、作用下達到平衡，轉(zhuǎn)動軸在墻上，這是剛體在力矩作用下的平衡問題．由于二力的力臂已知，應(yīng)該求出閘桿與飛輪之間的正壓力．飛輪受到閘桿的正壓力、閘瓦與飛輪間摩擦力和軸的支承力作用，其中閘桿的正壓力和軸的支承力的力矩為零，在閘瓦與飛輪間摩擦力的力矩作用下制動，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律可以求出摩擦力矩，然后由摩擦力與正壓力關(guān)系可以求出閘桿與飛輪之間的正壓力． 解 以飛輪為研究對象，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為，制動前角速度為，制動時角加速度為．制動時閘瓦對飛輪的壓力為FN，閘瓦與飛輪間的摩擦力，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，得 則 以閘桿為研究對象．在制動力F和飛輪對閘瓦的壓

13、力-FN的力矩作用下閘桿保持平衡，兩力矩的作用力臂分別為和，則有 5-9 一風(fēng)扇轉(zhuǎn)速為900 r/min，當(dāng)馬達關(guān)閉后，風(fēng)扇均勻減速，止動前它轉(zhuǎn)過了75轉(zhuǎn)，在此過程中制動力作的功為44.4 J，求風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動慣量和摩擦力矩． 分析 合外力矩對剛體所作的功等于剛體的轉(zhuǎn)動動能的增量．制動過程中風(fēng)扇只受摩擦力矩作用，而且由于風(fēng)扇均勻減速，表明摩擦力矩為恒定值，與風(fēng)扇角位移的乘積就是所作的功． 解 設(shè)制動摩擦力矩為M，風(fēng)扇轉(zhuǎn)動慣量為J，止動前風(fēng)扇的角位移，摩擦力矩所作的功為 摩擦力矩所作的功應(yīng)等于風(fēng)扇轉(zhuǎn)動動能的增量，即 則 5-10 如圖5-10

14、（a）所示，質(zhì)量為24 kg的鼓形輪，可繞水平軸轉(zhuǎn)動，一繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為5 kg的圓盤形滑輪懸有10 kg的物體，當(dāng)重物由靜止開始下降了0.5 m時，求：(1)物體的速度；(2)繩中張力．設(shè)繩與滑輪間無相對滑動． FT1 F’T1 F’T2 r m1 m2

15、 a 　　 　　　R FT2 mg （a） （b） 圖5-10 分析 這也是一個質(zhì)點動力學(xué)和剛體動力學(xué)的綜合問題，鼓形輪和滑輪都視為圓盤形定軸轉(zhuǎn)動的剛體，應(yīng)該采用隔離物體法，分別對運動物體作受力分析，對剛體作所受力矩的分析，然后分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律． 解 各物體受力情況

16、如圖5-10（b）所示，其中FT1= F’T1，F(xiàn)T2= F’T2，鼓形輪的轉(zhuǎn)動慣量為，圓盤形滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律，可得 (1) 繩與滑輪間無相對滑動，物體的加速度等于鼓形輪和滑輪邊緣的切向加速度，即．重物由靜止開始下降了h = 0.5 m時，速度，由以上各式得 (2)繩中張力為 5-11　一蒸汽機的圓盤形飛輪質(zhì)量為200 kg，半徑為1 m，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)速為120 r/min時關(guān)閉蒸汽閥門，若飛輪在5 min內(nèi)停下來，求在此期間飛輪軸上的平均摩擦力矩及此力矩所作的功． 分析 制動過程中飛輪只受摩擦力矩作用，該摩擦力矩不一定為恒定值

17、，但是由于只需求平均摩擦力矩，因此可以假設(shè)飛輪均勻減速，由已知條件求出平均角加速度，再應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律求出平均摩擦力矩． 解 飛輪轉(zhuǎn)動慣量為，關(guān)閉蒸汽閥門后t = 5 min內(nèi)的平均角加速度為，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，平均摩擦力矩 在此期間平均摩擦力矩所作的功等于飛輪轉(zhuǎn)動動能的增量 負號表示平均摩擦力矩作負功，方向與飛輪旋轉(zhuǎn)方向相反． 5-12 長為85 cm的均勻細桿，放在傾角為45的光滑斜面上，可以繞過上端點的軸在斜面上轉(zhuǎn)動，如圖5-12(a)所示，要使此桿實現(xiàn)繞軸轉(zhuǎn)動一周，至少應(yīng)給予它的下端多大的初速度？ 　　　　　

18、 mg v0 (a) (b) 圖5-12 分析 細桿在斜面上轉(zhuǎn)動，斜面的支承力與轉(zhuǎn)軸平行，轉(zhuǎn)軸的支承力通過轉(zhuǎn)軸，它們的力矩都為零，只有重力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)分量的力矩作功． 解 如圖5-12(b)所示，桿所受重力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量為，當(dāng)桿與初始位置的夾角為時，重力分量對轉(zhuǎn)軸的力矩為，此時若桿有角位移，則重力矩所作的元功為 桿從最低位置到最高位置重力矩所作的功為 重力矩所作的功等于此期間桿的轉(zhuǎn)動動能的增量 其中

19、，，則 5-13 如圖5-13(a)所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為0.01，半徑為7 cm，物體質(zhì)量為5 kg，由一繩與倔強系數(shù)k=200 N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求：(1)當(dāng)繩拉直彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達最大值的位置及最大速率． k FT2 FT1 J 　　　　　

20、 a F’T1 m mg (a) (b) 圖5-13 分析 下面的5-17題中將證明，如果繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，則由剛體和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒．如果將滑輪、地球和物體與彈簧組成一個彈性系統(tǒng)和重力系統(tǒng)合成

21、的系統(tǒng)，當(dāng)無重力和彈性力以外的力作功的情況下，整個系統(tǒng)的機械能守恒，可以應(yīng)用機械能守恒定律．下面的解則僅應(yīng)用功能原理和力矩所作的功與剛體轉(zhuǎn)動動能的關(guān)系進行計算． 解 (1) 物體由靜止而下落到最低點時，速度為零，位移為，在此期間重力所作的功完全轉(zhuǎn)換為彈簧彈性勢能的增量，即 (2)物體與滑輪受力如圖5-13(b)所示，設(shè)物體的最大速率為，此時的位移為，加速度，滑輪的角加速度，分別應(yīng)用牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律 可得此時，F(xiàn)T1= FT2，又因?qū)τ谳p彈簧有，則得 在此過程中，重力所作之功等于彈性勢能的增量、物體動能和滑輪轉(zhuǎn)動動能的增量的和，即 因，得 5-

22、14 圓盤形飛輪A質(zhì)量為m，半徑為r，最初以角速度ω0轉(zhuǎn)動，與A共軸的圓盤形飛輪B質(zhì)量為4m，半徑為2r，最初靜止，如圖5-14所示，兩飛輪嚙合后，以同一角速度ω轉(zhuǎn)動，求ω及嚙合過程中機械能的損失． A B 2r 　 　 r 圖5-1４ 分析 當(dāng)物體系統(tǒng)所受的合外力矩為零時，系統(tǒng)的角動量守恒，在此過程中，由于相互作用的內(nèi)力作功，機械能一般不守恒． 解 以兩飛輪組成的系統(tǒng)為研究對象，由于運動過程中系統(tǒng)無外力矩作用，角動量守恒，有 得 初始機械能

23、為 嚙合后機械能為 則機械能損失為 5-15 一人站在一勻質(zhì)圓板狀水平轉(zhuǎn)臺的邊緣，轉(zhuǎn)臺的軸承處的摩擦可忽略不計，人的質(zhì)量為m’，轉(zhuǎn)臺的質(zhì)量為10 m’，半徑為R．最初整個系統(tǒng)是靜止的，這人把一質(zhì)量為m的石子水平地沿轉(zhuǎn)臺的邊緣的切線方向投出，石子的速率為v（相對于地面）．求石子投出后轉(zhuǎn)臺的角速度與人的線速度． 分析 應(yīng)用角動量守恒定律，必須考慮定律的適用條件，即合外力矩為零．此外還應(yīng)該注意到，定律表達式中的角動量和角速度都必須是對同一慣性參考系選取的，而轉(zhuǎn)動參考系不是慣性參考系． 解 以人、轉(zhuǎn)臺和石子組成的系統(tǒng)為研究對象，由于系統(tǒng)無外力矩作用，角動量守恒，設(shè)轉(zhuǎn)臺角速度的

24、轉(zhuǎn)向與投出的石子速度v方向一致，初始時系統(tǒng)角動量為零，得 人和轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量為，代入上式后得 人的線速度 其中負號表示轉(zhuǎn)臺角速度轉(zhuǎn)向和人的線速度方向與假設(shè)方向相反． 5-16 一人站立在轉(zhuǎn)臺上，兩臂平舉，兩手各握一個m = 4 kg的啞鈴，啞鈴距轉(zhuǎn)臺軸r0 = 0.8 m，起初，轉(zhuǎn)臺以ω0 = 2π rad/s的角速度轉(zhuǎn)動，然后此人放下兩臂，使啞鈴與軸相距r = 0.2 m，設(shè)人與轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量不變，且J = 5，轉(zhuǎn)臺與軸間摩擦忽略不計，求轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)槎啻?？整個系統(tǒng)的動能改變了多少？ 分析 角動量守恒定律是從定軸轉(zhuǎn)動的剛體導(dǎo)出的，卻不但

25、適用與剛體，而且適用于繞定軸轉(zhuǎn)動的任意物體和物體系統(tǒng)． 解 以人、轉(zhuǎn)臺和啞鈴組成的系統(tǒng)為研究對象，由于系統(tǒng)無外力矩作用，角動量守恒，有 動能的增量為 5-17 證明剛體中任意兩質(zhì)點相互作用力所作之功的和為零．如果繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，試證明它的機械能守恒． O F r -F 圖5-17 分析 在剛體動力學(xué)中有很多涉及重力矩作功的問題，如果能證明當(dāng)只有重力矩作功時剛體和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，就能

26、應(yīng)用機械能守恒定律，而且還可以用剛體的質(zhì)心的勢能代替整個剛體中所有質(zhì)點勢能的總和，使求解過程大大簡化． 證 剛體中任意兩質(zhì)點相互作用力沿轉(zhuǎn)軸方向的分量對定軸轉(zhuǎn)動不起作用，而在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的分量F和-F大小相等，方向相反，作用在一條直線上，如圖5-17所示．設(shè)F與轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，則當(dāng)剛體有微小角位移時，力F所作的功為，而其反作用力-F所作的功為，二者之和為零，即剛體中任意兩質(zhì)點相互作用力所作之功的和為零． 繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體除受到軸的支承力外僅受重力作用，剛體中任意質(zhì)點則受到內(nèi)力和重力作用，當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，因為已經(jīng)證明了任意兩質(zhì)點相互作用內(nèi)力所作之功的和為零，則剛體中各質(zhì)點相互作用力

27、所作的總功為零，而且軸的支承力也不作功，就只有重力作功，因此機械能守恒． v m m’g 圖5-18 5-18 一塊長，質(zhì)量為＝3.0 kg的均勻薄木板豎直懸掛，可繞通過其上端的水平軸無摩擦地自由轉(zhuǎn)動，質(zhì)量m=0.1kg的球以水平速度擊中木板中心后又以速度反彈回去，求木板擺動可達到的最大角度．木板對于通過其上端軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ． 分析 質(zhì)點的碰撞問題通常應(yīng)用動量守恒定律求解，有剛體參與的碰撞問題則通常應(yīng)用角動量守恒定律求解．質(zhì)點對一點的角動量在第四章中已經(jīng)討論過，當(dāng)質(zhì)

28、點作直線運動時，其角動量的大小是質(zhì)點動量和該點到質(zhì)點運動直線的垂直距離的乘積． 解 對球和木板組成的系統(tǒng)，在碰撞瞬間，重力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，且無其他外力矩作用，系統(tǒng)角動量守恒，碰撞前后球?qū)D(zhuǎn)軸的角動量分別為和，設(shè)碰后木板角速度為，則有 設(shè)木板擺動可達到的最大角度為，如圖5-18所示，木板擺動過程中只有重力矩作功，重力矩所作的功應(yīng)等于木板轉(zhuǎn)動動能的增量，即 (1) 由以上兩式得 根據(jù)5-17的結(jié)果，由于木板在碰撞后除受到軸的支承力外僅受重力作用，它的機械能守恒，取木板最低位置為重力勢能零點，達到最高位置時它的重力勢能應(yīng)等于碰撞后瞬間的轉(zhuǎn)動動能，也可以

29、得到(1)式． 5-19 半徑為R質(zhì)量為的勻質(zhì)圓盤水平放置，可繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動．圓盤邊緣及R/2處設(shè)置了兩條圓形軌道，質(zhì)量都為m的兩個玩具小車分別沿二軌道反向運行，相對于圓盤的線速度值同為v．若圓盤最初靜止，求二小車開始轉(zhuǎn)動后圓盤的角速度． v R v 圖5-19 分析 當(dāng)合外力矩為零時，應(yīng)用角動量守恒定律應(yīng)該注意到表達式中的角動量和角速度都是對同一慣性參考系選取的．轉(zhuǎn)動參考系不是慣性參考系，所以小車對圓盤的速度和角動量必須應(yīng)用相對運動速度合成定理轉(zhuǎn)換為對地面的速度和角動量． 解 設(shè)兩小車和圓盤的運動方向如圖5-19所示，以圓盤的轉(zhuǎn)動方向為正向，外軌道上小車相對于地面的角動量為，內(nèi)軌道上小車相對于地面的角動量為，圓盤的角動量為．對于兩小車和圓盤組成的系統(tǒng)，外力對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，角動量守恒，得