浙江省衢州市高二數(shù)學《離散型隨機變量的均值》教案

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1、離散型隨機變量的均值 一、教材分析 期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期 望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊。同時， 它在市場預測，經(jīng)濟統(tǒng)計，風險與決策等領(lǐng)域 有著廣泛的應用，為今后學習數(shù)學及相關(guān)學 ，科產(chǎn)生深遠的影響。 二、學情分析 本節(jié)課是一節(jié)概念新授課， 而概念本身具有一定的抽象性， 學生難以理解，因此把對離散 性隨機變量期望的概念的教學作為本節(jié)課的教學重點。 此外，學生初次應用概念解決實際問 題也較為困難，故把其作為本節(jié)課的教學難點。 三、教學目標 1、知識目標 1） 了解離散型隨機變量的 均值或期望的意義，會根據(jù)離散型隨機變

2、量的分布列求出均 值或期望. 2、能力目標 1 ）理解公式“ E （aE +b） =aEE +b"，以及“若El B （n,p ）,貝U EE =np” .能熟練地 應用它們求相應的離散型隨機變量的均值或期望。 3、情感目標 1 ）承前啟后，感悟數(shù)學與生活的和諧之美 ，體現(xiàn)數(shù)學的文化功能與人文 價值。 四、教學重點難點 重點：離散型隨機變量期望的概念及其實際含義（ B、C類目標） 難點：離散型隨機變量期望的實際應用（ A類目標） 五、教學過程 （一）、復習引入 1 .隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變 量.隨機變量常用希

3、臘字母 E、Y］等表示. 2 .離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機 變量叫做離散型隨機變量. 3 .離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系 ：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機 變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定 次序 列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以 列出 (二)、新課講授 根據(jù)已知隨機變.量的分布列，我們可以方便的得出隨機變量的某些制定的概率，但分 布列的用途遠不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù) E的分布列如下 E 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28

4、 0.29 0.22 在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計 n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要 學習的離散型隨機變量的 均值或期望. 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù) E的分布列， 我們可以估計，在 n次射擊中，預計大約有 P([ =4)xn =0.02n 次得 4 環(huán)； P代=5)xn =0.04n 次得 5環(huán); P(亡=10) xn =0.22n 次得 10 環(huán). 故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為 4 0.02 n 5 0.04 n 10 0.22 n =(4 m 0.02 + 5父0.04+…+ 10x0.22)x n , 從而，預計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為 4父0.02 + 5

5、乂0.04 +…+10x0.22 = 8.32. 這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的， 只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應的概 率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平. 對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù) E的分布列，即已知各個 P(U=i) (i=0, 1, 2,…，10),我們可以同樣預計他任意 n次射擊的平均環(huán)數(shù)： 0MP(£ =0) + 1嚇(0=1) +…+10MP、=10). 1.均值或數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量 E的概率分布為 X1 X2 … Xn … P P1 P2 … Pn … 則稱E「= X1P1 +X2P2

6、 +??? +4Pn+… 為E的均值或數(shù)學期望，簡稱期望. 2 .均值或數(shù)學期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的 平均水平 . 3 .平均數(shù)、均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量 E的概率分布中，令p1 = p2 =… 1 . 1 =Pn ,則有P1 = P2 = ??? = Pn =一，E- = (X1+X2 +…十*口戶一，所以 工的數(shù)學期望 n n 又稱為平均數(shù)、均值 . 4 .均值或期望的一個性質(zhì)：若“=a^+b(a、b是常數(shù))，七是隨機變量，則刀也是隨 機變量，它們的分布列為 X1 x2 … xn … 刀 ax1 +b

7、 ax2 +b … axn +b … P p1 口 … pn … 于是 E n = (ax1 +b) p1 + (ax2 +b) p2 +… +(axn +b) pn +… =a(Xl pi+X2 P2+…+XnPn +…)+b(p1+P2十…+Pn +…) =aE：+b, 由此，我們得到了期望的一個性質(zhì) ：E(a'-b)=aE'-b 5 .若 E I B (n,p ),貝U EE =np 證明如下： P( =k) =C：pk(1-p)n" =C：pkqn上, + …+ kx Ckpkqn"+…+ nx Et=0x C

8、0p0qn + 1x Cnp1qn」+ 2x C；p2qn/ en Cn p 又「 kCnk 二 k n! k!(n -k)! n (n 7)! (k-1)![(n-1)-(k-1)]! k」 - nCn」， 9 E = np ( Cn j 0 n_. 1 1 1 n J2 p q + Cn" q k 1 k 1 (n」)4k」) +…+ Cn/p q +…+ n -1 0 n 1 p q ) =np(p +q) = np . 故 若七?B(n, p),則E巴=np. 三、講解范例： 1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為 例1.籃

9、球運動員在比賽中每次罰球命中得 0.7 ,求他罰球一次得分 X的期望. 解：因為 P(「=1) =0.7,P《=0) =0.3 , 所以 E =1 0.7 - 0 0.3 =0.7. 例2. 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有 4個選項，其中有且僅有一個 選項是正確答案，每題選擇正確答案得 5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分 100分,學生 甲選對任一題的概率為 0.9,學生乙則在測驗中對每題都從 4個選擇中隨機地選擇一個，求 學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 解：設學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分 (20,0.9 ) , n ~ B(20

10、,0.25), e E - 20 0.9 =18, E-20 0.25 =5 . 由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是 5之和5刈.所以, 他們在測驗中的成績的期望分別是: E(5 ) = 5E( ) = 5 18 =90, E(5 ) = 5E( ) = 5 5 = 25 . 例3.根據(jù)氣象預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為 0.25，有大洪水的概率為 0.01 .該 地區(qū)某工地上有一臺大型設備， 遇到大洪水時要損失 60 000元，遇到小洪水時要損失 10000 元.為保護設備，有以下 3種方案： 方案1:運走設備，搬運費為 3 800元. 方案2:建保護

11、圍墻，建設費為 2 000元.但圍墻只能防小洪水. 方案3:不采取措施，希望不發(fā)生洪水. 試比較哪一種方案好. 解：用X1、X2和X3分別表示三種方案的損失. 采用第1種方案，無論有無洪水，都損失 3 800元，即 X = 3800 . 采用第2種方案，遇到大洪水時，損失 2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時， 損失2 000元，即 v 62000 ,有大洪水； X2 = 2000,無大洪水. 同樣，采用第3種方案，有 60000,有大洪水； X3=《10000,有小洪水； 0,無洪水. 于是， EX=3 800 , EX= 62 000

12、 X P (X2 = 62 000 ) + 2 00000 X P (X 2 = 2 000 ) =62000 X 0. 01 + 2000 X (1-0.01) = 2 600 , E* = 60000 XP (X3 = 60000) + 10 000 XP(X3 =10 000 ) + 0 .X P (X3 =0) =60 000 X 0.01 + 10000 X 0.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案 2. 值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來 理解“平均損失”：假設問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2將

13、會使損失減到最 小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的， 所以對于個別的一次決策，采用方 案2也不一定是最好的. 例4.隨機拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù) 的期望. 解：: P(亡=i) =1/6,i =1,2,，，,6, .E =1 1/6 2 1/6 6 1/6 =3.5. 例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是 15%對這批產(chǎn)品進行抽查，每次抽取 1件， 如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過 10次. 求抽查次數(shù)之的期望(結(jié)果保留三個有效數(shù)字) . 解：抽查次數(shù)［取1 M U M10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出 1件

14、檢查的試驗可 以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是 0.15 ,取出正品的概率是 0.85 ,前k-1次取出正 品而第k次(k=1, 2,…，10)取出次品的概率： P(W =k) =0.85k,x 0.15 (k=1, 2,…，10) 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：P伐=10) =0.859*由此可得U的概率 分布如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.1 0.127 0.108 0.09 0.078 0.066 0.056 0.048 0.040 0.231 5 5 4 2 3 6 6

15、 1 9 6 根據(jù)以上的概率分布，可得 巴的期望 = 5.35* E =1 0.15 2 0.1275 - -10 0.2316 例6.隨機的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù) 的數(shù)學期望. 解：拋擲骰子所得點數(shù) E的概率分布為 所以 EU =1X 1 +2X 1 + 3X 6+ 5X =(1 +2+3+ 4+5 + 6) 拋擲骰子所得點數(shù) E的數(shù)學期望，就是 E 的所有可能取值的平均值. 例7.某城市出租汽車的起步價為 若行駛路程超出 4km,則按每超出 10元, 行駛路程不超出 4km時租車費為 lkm加收2元計費(超出不 足lk

16、m的部分按 10元, lkm 計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為 15km.某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓 (這個城 E是 館之間接送旅客， 由于行車路線的 不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程 市規(guī)定，每停車 5分鐘按lkm路程1f費)，這個司機一次接送旅客的行車路程 一個隨機變量.設他所收租車費為 (I )求租車費 Y］關(guān)于行車路程 E的關(guān)系式; (n)若隨機變量 E的分布列為 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租車費Y］的數(shù)學期望. (出)已知某旅客實付租車費 38元，而出租汽車實際行駛了 15k

17、m,問出租車在途 中因故停.車累計最多幾分鐘 ？ 解：(I )依題意得 Y］ =2(七-4)十10,即 刀=2 E +2; (n ) E2 =15x0.1 +16x0.5+17x0.3+18x0.1=16.4 Y［ =2 七 +2 En =2EW +2=34.8 (元) 故所收租車費Y］的數(shù)學期望為34.8元. (出)由 38=2 E +2,得 =18, 5x(18-15)=15 所以出租車在途中因故停車累計最多 15分鐘.. 四、課堂練習： 1. 口袋中有5只球，編號為1, 2, 3, 4, 5,從中任取3球，以巴表示取出球的最大 號碼，則E2 =( ) A. 4;

18、B. 5; C. 4.5 ; D. 4.75. 答案：C . 2..籃球運動員在比賽中每次罰球命中的 1分，罰不中得0分.已知某運動員罰球命中 的概率為0.7 ,求 ⑴他罰球1次的得分E的數(shù)學期望； ⑵他罰球2次的得分Y］的數(shù)學期望； ⑶他罰球3次的得分E的數(shù)學期望. 解：⑴因為P(U=1)=0.7, P仁=0) =0.3,所以 eM =1X P(£ =1) +0X p{ =0) =0.7 ⑵Y]的概率分布為 Y] 0 1 2 P 0.32 C2 M 0.7M0.3 0.72 所以 EU =0x 0.09+ 1x 0.42 +2x 0.98=1.4 . ⑶E

19、的概率分布為 0 1 2 3 P 0.33 C3 M0.7M0.32 C； M0.72M 0.3 0.73 所以 E^ =0x 0.027 + 1 x 0.189 +2x 0.98 = 2.1. 3.設有m升水，其中含有大腸桿菌 n個.今取水1升進行化驗，設其中含有大腸桿菌 的個數(shù)為E ,求E的數(shù)學期望. ，一 一 一 一，人 …，…一… 1 … 一 分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是 —,事件“七二k”發(fā)生，即 m 個大腸桿菌中恰有 k個在此升水中，由n次獨立重復實驗中事件 A (在此升水中含一個大腸 桿菌)恰好發(fā)生 k次的概率計算方法可求

20、出 P( E =k),進而可求 EE . 解：記事件A: “在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=—. m _ _ _k 1 k 1 n-k ??? P( E =k)=R(k尸C： — ) (1 - —) (k=0,1, 2,….，n). E ?B(n」)，故 E^ =nx 1 = _n_ . m mm 五、課堂小結(jié) ： (1)離散型隨機變量的期望，反 映了隨機變量取值的平均水平； (2)求離散型隨機變量 E的期望的基本步驟：①理解 E的意義，寫出 E可能取的全部 值；②求E取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出 EE 公式E (aE +b)

21、= aE E +b,以及.服從二項分布的隨機變量的期望 EE =np . 六、課后作業(yè) 1.一袋子里裝有大小相同的 3個紅球和兩個黃球， 從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的 數(shù)學期望是 (用數(shù)字作答) 解：令取取黃球個數(shù) t (=0、1、2)則巴的要布列為 0 1 2 p 3 10 3 5 1 10 于是 E ( ^) =0X —+1 X 3 +2X —=0.8 10 5 10 故知紅球個數(shù)的數(shù)學期望為 1.2 2.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取 2個球，每取到一個黑球記 0分, 每取到一個白球記 1分，每取到一個紅球記 2分，用［

22、表示得分數(shù) ①求-的概率分布列 ②求的數(shù)學期望 解：①依題意U的取值為0、1、2、3、4 ,什 E C： 1 -=0 時，取 2 黑 p( -=0)= C2 =6 巴=1時，取 1 黑 1 白 p( t=1) c4 c3 1 C92 亡=2時，取 2白或1紅1黑p（0=2）= C； C2 c2 c4 c； 11 36 之=3時，取 1白1紅，概率p（1=3）= c3 C2 C92 ：=4時，取 C2 2 2 紅，概率 p( - =4)= —2 1 36 。分布列為 0 1 2 3 4 p 1 1 11 1 1 6 R 36 6 36 C9 (2)期望 Et=0X 1 +1X 1 +2X H+3X 1+4X — = 14 6 3 36 6 36 9 八、板書設計 離散型隨機變量的均值 1、知識回顧 （回顧離散型隨機變量） （回顧隨機變量） 3、典型例題 （從中認識其中的性質(zhì)） （兩點分布列） （二項分布） 4、自主練習 5、課堂小結(jié) 2、離散型隨機變量的意義 （分布列知識） （均值和數(shù)學期望的理解）