金版教程高考數(shù)學(xué) 文二輪復(fù)習(xí)講義：第三編 考前沖刺攻略 第一步 考前必看八大提分筆記 Word版含解析

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1、 第一步 考前必看　八大提分筆記 一、集合與常用邏輯用語(yǔ) 1描述法表示集合時(shí)，一定要理解好集合的含義，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lg x}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函數(shù)圖象上的點(diǎn)集． 2集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性． 3遇到A∩B＝?時(shí)，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應(yīng)用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時(shí)，不要忽略A＝?的情況． 4對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2n,2n－1,

2、2n－1,2n－2. 5注重?cái)?shù)形結(jié)合在集合問(wèn)題中的應(yīng)用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數(shù)軸來(lái)運(yùn)算，求解時(shí)要特別注意端點(diǎn)值的取舍． 6“否命題”是對(duì)原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否定命題p的結(jié)論．在否定條件或求結(jié)論時(shí)，應(yīng)把“且”改成“或”，“或”改成“且”． 7要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. 8要注意全稱命題的否定是特稱命題(存在性命題)，特稱命題(存在性命題)的否定是全稱命題．如對(duì)“a，b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a，b不都

3、是偶數(shù)”，而不應(yīng)該是“a，b都是奇數(shù)”． 忽視互異性致誤 　　已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求實(shí)數(shù)a的值． [錯(cuò)解]　由題意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或a＝－2或a＝0. [錯(cuò)因分析]　當(dāng)a＝－2時(shí)，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互異性；同理a＝－1時(shí)，也不符合要求． [正解]　由題意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0. 又當(dāng)a＝－2時(shí)，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互異性這一特點(diǎn)．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0. [防范

4、措施]　上述解法造成本題失分的主要原因是忽視了集合元素具有互異性的特征.在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意代入檢驗(yàn)是防范失分的一個(gè)重要措施. 補(bǔ)救訓(xùn)練1　若A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且A∪B＝{1,3，x}，則這樣的x為_(kāi)_______． 答案　±或0 解析　由已知得B?A，∴x2∈A且x2≠1. ①x2＝3，得x＝±，都符合． ②x2＝x，得x＝0或x＝1，而x≠1， ∴x＝0. 綜合①②，共有3個(gè)值. 忽視空集致誤 　　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [錯(cuò)解]　∵x2－3

5、x－10≤0，∴－2≤x≤5. ∴A＝{x|－2≤x≤5}． 由A∪B＝A知B?A， ∴即－3≤m≤3. ∴m的取值范圍是－3≤m≤3. [錯(cuò)因分析]　B?A，B可以為非空集合，B也可以是空集．漏掉對(duì)B＝?的討論，是本題的一個(gè)失分點(diǎn)． [正解]　∵A∪B＝A，∴B?A. ∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}． ①若B＝?，則m＋1>2m－1， 即m<2，故m<2時(shí)，A∪B＝A； ②若B≠?， 則m＋1≤2m－1，即m≥2. 由B?A，如圖所示，得 解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3. 由①②知，當(dāng)m≤3時(shí)，A

6、∪B＝A. [防范措施]　造成本題失分的根本原因是忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質(zhì)．當(dāng)題目中出現(xiàn)A?B，A∩B＝A，A∪B＝B時(shí)，注意對(duì)A進(jìn)行分類(lèi)討論，即分為A＝?和A≠?兩種情況討論． 補(bǔ)救訓(xùn)練2　已知集合A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若A∩R＋＝?，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為_(kāi)_______． 答案　(－4，＋∞) 解析　由于A∩R＋＝?，先求A∩R＋≠?的情況有 即解得p≤－4. 故當(dāng)A∩R＋＝?時(shí)，p的取值范圍是(－4，＋∞). 忽視集合運(yùn)算中的邊界點(diǎn)致誤 　　記f(x)＝的定義域?yàn)锳，g(x)＝lg [(x－a－1)(2a－x)](a<

7、1)的定義域?yàn)锽.若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [錯(cuò)解1]　f(x)的定義域?yàn)锳，則A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． g(x)的定義域?yàn)锽，則B＝(a＋1,2a)． ∵B?A，∴a＋1≥1或2a≤－1. ∴a≥0或a≤－. [錯(cuò)解2]　由2－≥0，得x<－1或x≥1. ∴A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. 且a<1，∴2a<x<a＋1. ∴B＝(2a，a＋1)，∵B?A， ∴2a>1或 a＋1<－1，∴a>或a<－2. ∴a∈∪(－∞，－2

8、)． [錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解1忽視對(duì)條件a<1的考慮；錯(cuò)解2忽視了界點(diǎn)，事實(shí)上：2a≥1或a＋1≤－1. [正解]　∵2－≥0，∴≥0. ∴x<－1或x≥1，即A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． ∵(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0. ∵a<1，∴a＋1>2a，∴B＝(2a，a＋1)． ∵B?A，∴2a≥1或a＋1≤－1， 即a≥或a≤－2，而a<1，∴≤a<1或a≤－2. 故當(dāng)B?A時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪. [防范措施]　對(duì)于錯(cuò)解1，解一元二次不等式時(shí)一定要將考慮拋物線的開(kāi)口和含參數(shù)的

9、討論形成習(xí)慣.對(duì)于錯(cuò)解2，對(duì)于含參數(shù)的交、并、補(bǔ)集問(wèn)題的運(yùn)算，一定要注意界點(diǎn). 補(bǔ)救訓(xùn)練3　[2015·太原一模]已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分表示的集合是(　　) A．[－1,1) B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，－1) 答案　D 解析　由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1). 對(duì)命題的否定不當(dāng)致誤 已知M是不等式≤0的解集且5?M，則a的取值范圍是________． [錯(cuò)解]　(－∞，－2

10、)∪(5，＋∞) [錯(cuò)因分析]　5?M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有兩種情況：①>0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②種情況． [正解]　解法一：∵5?M，∴>0或5a－25＝0. ∴a<－2或a>5或a＝5，故填a≥5或a<－2. 解法二：若5∈M，則≤0， ∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5. ∴5?M時(shí)，a<－2或a≥5. [答案]　(－∞，－2)∪[5，＋∞) [防范措施]　本題失分率高達(dá)56%，實(shí)質(zhì)上當(dāng)x＝5時(shí)，≤0不成立，即是對(duì)命題≤0的否定．失分的原因就在于對(duì)命題的否定不當(dāng)．對(duì)于這類(lèi)形式的命題的

11、否定，一定要注意其否定為>0或ax－25＝0.當(dāng)然，就本題而言，也可以先求出5∈M時(shí)的a的范圍，再求其補(bǔ)集． 補(bǔ)救訓(xùn)練4　已知集合M＝，若2?M，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　若2∈M，則<0， 即(2a－1)(2a2＋1)<0，∴a<. ∴當(dāng)2?M時(shí)，a的取值范圍為a≥. 錯(cuò)誤理解簡(jiǎn)易邏輯中的概念致誤 x2＝x＋2是x＝x2的________條件． [錯(cuò)解1]　由x2＝x＋2?x＝?x2＝x得出x2＝x＋2是x＝x2的充分條件． [錯(cuò)解2]　由x＝x2?＝x?x＋2＝x2 得出x2＝x＋2是x＝x2的必要條件． [錯(cuò)

12、因分析]　錯(cuò)解1中，事實(shí)上x(chóng)2＝x＋2x＝；錯(cuò)解2中，x＝x2＝x. [正解]　方程x2＝x＋2的解集為{－1,2}，x＝x2的解集為{0,2}，但是{－1,2}?{0,2}，且{0,2}?{－1,2}，所以x2＝x＋2是x＝x2的既不充分也不必要條件． [答案] 　 既不充分也不必要 [防范措施]?、僖?yàn)樵阱e(cuò)解1的推理過(guò)程中，當(dāng)x＝－1時(shí)“?”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“?”不成立．②因?yàn)樵阱e(cuò)解2的推理過(guò)程中，當(dāng)x＝0時(shí)“?”左邊成立，而右邊不成立，所以這里“?”不成立．事實(shí)上，在推理過(guò)程中錯(cuò)誤地進(jìn)行了開(kāi)方，方程兩邊同時(shí)相消，無(wú)理方程中忽略了被開(kāi)方數(shù)的范圍等等．這是應(yīng)該注意防范的

13、． 補(bǔ)救訓(xùn)練5　[2016·江西八校高三聯(lián)考]在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　C 解析　·＝·?bccosA＝accosB?bcosA＝acosB?sinBcosA＝sinAcosB?tanA＝tanB?A＝B?a＝b，故·＝·是||＝||的充要條件. 二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 1函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射，作為一個(gè)映射，就必須滿足映射的條件，只能一對(duì)一或者多對(duì)一，不能一對(duì)多． 2求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是

14、依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開(kāi)偶次方根，被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時(shí)，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏． 3用換元法求解析式時(shí)，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問(wèn)題． 4分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)． 5判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響． 6弄清函數(shù)奇偶性的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反．

15、 (2)若f(x)為偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函數(shù)f(x)的定義域中含有0，則必有f(0)＝0. “f(0)＝0”是“f(x)為奇函數(shù)”的既不充分也不必要條件． 7求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“及”連接，或用“，”隔開(kāi)．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替． 8函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換 (1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對(duì)x而言)；上下平移——“上加下減”． (2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性，即證圖象上任意點(diǎn)關(guān)于

16、對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上； ②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱； ③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0(y軸)對(duì)稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對(duì)稱． 9求函數(shù)最值(值域)常用的方法 (1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)． (2)圖象法：適合于己知或易作出圖象的函數(shù)． (3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)． (4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)． (5)換元法(特別注意新元的范圍)． (6)分離常數(shù)法：適用于一次分式． (7)有界函數(shù)法：適用于含有指、對(duì)數(shù)函數(shù)或正、余弦函

17、數(shù)的式子．無(wú)論用什么方法求最值，都要考查“等號(hào)”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優(yōu)先考慮定義域． 10二次函數(shù)問(wèn)題 (1)處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合．二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向，二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系． (2)若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形． 11有關(guān)函數(shù)周期的幾種情況必須熟記：(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，則f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的周期T＝2a. 12(1)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s

18、，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． (2)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) 已知a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 則loga(MN)＝logaM＋logaN， loga＝logaM－logaN， logaMn＝nlogaM， 對(duì)數(shù)換底公式：logaN＝. 推論：logamNn＝logaN；logab＝. (3)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對(duì)有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y

19、＝logax的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)． 13冪函數(shù)y＝xα(α∈R) (1)①若α＝1，則y＝x，圖象是直線． ②當(dāng)α＝0時(shí)，y＝x0＝1(x≠0)圖象是除點(diǎn)(0,1)外的直線． ③當(dāng)0<α<1時(shí)，圖象過(guò)(0,0)與(1,1)兩點(diǎn)，在第一象限內(nèi)是上凸的． ④當(dāng)α>1時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象是下凸的． (2)增減性：①當(dāng)α>0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是增函數(shù)；②當(dāng)α<0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝xα是減函數(shù)． 14函數(shù)與方程 (1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．事實(shí)上，函數(shù)y＝f(x)的零

20、點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根． (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時(shí)這個(gè)c就是方程f(x)＝0的根．反之不成立． 15求導(dǎo)數(shù)的方法 (1)基本導(dǎo)數(shù)公式：c′＝0(c為常數(shù))；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a；(ln x)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)． (2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：(u±v)′＝u′±v′；

21、 (uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)． (3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 如求f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù)，令u＝ax＋b，則 (f(ax＋b))′＝f′(u)·a. 16函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率f′(x0)，相應(yīng)的切線方程是y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 注意：過(guò)某點(diǎn)的切線不一定只有一條． 17利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′

22、(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)． 注意：如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗(yàn)證f′(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦如此． 18導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，如：函數(shù)f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)． 函數(shù)概念不清致誤 　　已知函數(shù)f(x2－3)＝lg ，求f(x)的定義域． [錯(cuò)解]　由>0，得x>2或x<－2. ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>2或x<－2}． [錯(cuò)因分析]　錯(cuò)把lg 的定義域當(dāng)成

23、了f(x)的定義域． [正解]　由f(x2－3)＝lg ，設(shè)x2－3＝t，則x2＝t＋3，因此f(t)＝lg . ∵>0，即x2>4，∴t＋3>4，即t>1. ∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x>1}． [防范措施]　失分的原因是將f(x2－3)的定義域與f(x)的定義域等同起來(lái)了．事實(shí)上，f(x2－3)＝lg與f(x)是兩個(gè)不同的函數(shù)，它們有不同的法則和定義域，造成錯(cuò)誤的原因在于未弄清函數(shù)的概念．求函數(shù)定義域，首先應(yīng)弄清函數(shù)的特征或解析式，可避免出錯(cuò)． 補(bǔ)救訓(xùn)練1　[2016·河南鄭州一模]若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)g(x)＝的

24、定義域是________． 答案　[0,1) 解析　∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1， ∴0≤x<1，即函數(shù)g(x)的定義域是[0,1). 分段函數(shù)的意義理解不準(zhǔn)確致誤 　　函數(shù)f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是________． [錯(cuò)解1]　若f(x)在R上單調(diào)遞減，則有 解得a<－1；若f(x)在R上單調(diào)遞增，則有解得a>1. [錯(cuò)解2]　∵f(x)在R上單調(diào)，所以有 解得a≤－. [錯(cuò)解3]　∵f(x)在R上單調(diào)， 所以有解得1<a≤. [錯(cuò)因分析]　對(duì)分段函數(shù)的意義理解不準(zhǔn)確或情況考慮不全致誤．

25、[正解]　若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則有 解之得a≤－；若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有解得1<a≤， 故a的取值范圍是(－∞，－ ]∪(1，]． [答案]　(－∞，－]∪(1，] [防范措施]　上述錯(cuò)解1是對(duì)分段函數(shù)在R上單調(diào)的限制條件不全而造成失分；錯(cuò)解2、3簡(jiǎn)單的認(rèn)為單調(diào)只是增或減，沒(méi)有進(jìn)行分情況討論．對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的求解一定要考慮周全． 補(bǔ)救訓(xùn)練2　[2016·陜西高三質(zhì)檢]設(shè)函數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤3成立的x的取值范圍是________． 答案　(－∞，27] 解析　當(dāng)x≥8時(shí)，x≤3，∴x≤27，即8≤x≤27；當(dāng)x<8時(shí)，2ex－8≤3恒成立，故x&l

26、t;8.綜上，x∈(－∞，27]. 忽視函數(shù)的定義域致誤 　　函數(shù)y＝log (x2－5x＋6)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______． [錯(cuò)解]　 [錯(cuò)因分析]　忽略了x2－5x＋6>0，即函數(shù)的定義域． [正解]　由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，則u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是減函數(shù)，∴y＝log (x2－5x＋6)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，2)． [答案]　(－∞，2) [防范措施]　本題失分的原因就在于忽略了函數(shù)的定義域這一隱含條件.在研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，不論什么情況，首先研究函數(shù)的定義域，這是研究函數(shù)的一條

27、最基本原則. 補(bǔ)救訓(xùn)練3　[2016·遼寧沈陽(yáng)質(zhì)檢]已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f的x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵f(x)是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又f(x)在[0，＋∞]上單調(diào)遞增， ∴f(2x－1)<f?|2x－1|<?<x<.故選A. 混淆“過(guò)點(diǎn)”和“切點(diǎn)”致誤 求過(guò)曲線y＝x3－2x上的點(diǎn)(1，－1)的切線方程． [錯(cuò)解]　∵y′＝3x2－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3×12－2＝1. ∴切線方程為：y＋1＝x－1即x－y－

28、2＝0. [錯(cuò)因分析]　錯(cuò)把(1，－1)當(dāng)切點(diǎn)． [正解]　設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為 y′＝3x－2. ∴切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)． 又知切線過(guò)點(diǎn)(1，－1)，把它代入上述方程，得 －1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)， 整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得x0＝1或x0＝－. 故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 或y－＝， 即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0. [防范措施]　過(guò)曲線上的點(diǎn)(1，－1)的切線與曲線的切點(diǎn)可能是(1，－1)，

29、也可能不是(1，－1).本題錯(cuò)誤的根本原因就是把(1，－1)當(dāng)成了切點(diǎn).解決這類(lèi)題目時(shí)，一定要注意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同.雖只有一字之差，意義完全不同，“在”說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn). 補(bǔ)救訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝aln x－2ax＋b，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是y＝2x＋1，則a＋b的值是________． 答案?。? 解析　因?yàn)閒′(x)＝－2a，函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為2，所以f′(1)＝－a＝2，所以a＝－2，f(x)＝－2ln x＋4x＋b，由

30、切線方程可得f(1)＝3，所以f(1)＝4＋b＝3，可得b＝－1.所以a＋b＝－3. 極值的概念不清致誤 　　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值為10，則a＋b＝________. [錯(cuò)解]　由已知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，則 解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0. [錯(cuò)因分析]　x＝1是f(x)的極值點(diǎn)?f′(1)＝0； 忽視了“f′(1)＝0x＝1是f(x)的極值點(diǎn)”的情況． [正解]　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1時(shí)，函數(shù)取得極值10， 得 聯(lián)立①②得或 當(dāng)a＝4，b＝－11時(shí)，f′(x)＝3

31、x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1兩側(cè)的符號(hào)相反，符合題意． 當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1兩側(cè)的符號(hào)相同，所以a＝－3，b＝3不符合題意，舍去． 綜上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7. [答案]　－7 [防范措施]　“函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處取極值”的必要條件，而非充分條件，但解題中卻把“可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取極值”的必要條件誤作充要條件. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)：x0是極值點(diǎn)的充要條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符號(hào)：“左正右負(fù)”?f

32、(x)在x0處取極大值；“左負(fù)右正”?f(x)在x0處取極小值，而不僅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的必要而不充分條件.對(duì)于給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮f′(x0)＝0，又考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則易產(chǎn)生增根. 補(bǔ)救訓(xùn)練5　[2016·蘭州質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有極大值又有極小值，則a的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，所以Δ>0，即36a2－4×3×

33、3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1.即a的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 函數(shù)零點(diǎn)求解討論不全致誤 　　函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1} C.(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1) [錯(cuò)解]　若Δ＝0，解得m＝1；若Δ>0，則x1·x2＝<0，解得m<0，故選C. [錯(cuò)因分析]　沒(méi)有對(duì)m是否為零進(jìn)行討論． [正解]　當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，若Δ＝0，即m＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)唯一的零點(diǎn)，若Δ≠0，顯然

34、x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0.故選B. [答案]　B [防范措施]　解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)的討論要全面，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的定理使用要正確，如本題錯(cuò)解中忽略了對(duì)m＝0的討論. 補(bǔ)救訓(xùn)練6　[2016·東三省聯(lián)考]已知在區(qū)間[－4,4]上f(x)＝g(x)＝－x2－x＋2(－4≤x≤4)，給出下列四個(gè)命題： ①函數(shù)y＝f[g(x)]有三個(gè)零點(diǎn)； ②函數(shù)y＝g[f(x)]有三個(gè)零點(diǎn)； ③函數(shù)y＝f[f(x)]有六個(gè)零點(diǎn)； ④函數(shù)y＝g[g(x)]有且

35、只有一個(gè)零點(diǎn)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 答案　D 解析　如圖，畫(huà)出f(x)，g(x)的草圖． ①設(shè)t＝g(x)，則由f[g(x)]＝0，得f(t)＝0，則t＝g(x)有三個(gè)不同值，由于y＝g(x)是減函數(shù)，所以f[g(x)]＝0有3個(gè)解，所以①正確； ②設(shè)m＝f(x)，若g[f(x)]＝0，即g(m)＝0，則m＝x0∈(1,2)，所以f(x)＝x0∈(1,2)，由圖象知對(duì)應(yīng)f(x)＝x0∈(1,2)的解有3個(gè)，所以②正確； ③設(shè)n＝f(x)，若f[f(x)]＝0，即f(n)＝0，n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，而

36、f(x)＝x1∈(－3，－2)有1個(gè)解，f(x)＝0對(duì)應(yīng)有3個(gè)解，f(x)＝x2＝2對(duì)應(yīng)有2個(gè)解，所以f[f(x)]＝0共有6個(gè)解，所以③正確； ④設(shè)s＝g(x)，若g[g(x)]＝0，即g(s)＝0，所以s＝x3∈(1,2)，則g(x)＝x3，因?yàn)閥＝g(x)是減函數(shù)，所以方程g(x)＝x3只有1個(gè)解，所以④正確. 導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)致誤 　 函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． [錯(cuò)解]　由f(x)＝ax3－x2＋x－5得f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)>0，得解得a>. [錯(cuò)因分析]　f(x)在

37、R上是增函數(shù)等價(jià)于f′(x)≥0在R上恒成立．漏掉了f′(x)＝0的情況． [正解]　f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1，由f′(x)≥0，得解得a≥. [答案]　a≥ [防范措施]　f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件.實(shí)際上，對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間上都不恒為零.在解題時(shí)，若求單調(diào)區(qū)間，一般用充分條件即可.若由單調(diào)性求參數(shù)，一般用充要條件即f′(

38、x)≥0(或f′(x)≤0)，否則容易漏解. 補(bǔ)救訓(xùn)練7　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，易知y＝－x＋在上單調(diào)遞減，所以max＝，所以2a≥，解得a≥.選D. 三、三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等． 任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一個(gè)

39、角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r＝>0，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)． 2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝. (3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號(hào)看象限 角 －α π－α π＋α 2π－α －α 正弦 －sinα sinα －sinα －sinα cosα 余弦 cosα －cosα －cosα cosα sinα 3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)五點(diǎn)法

40、作圖； (2)對(duì)稱軸：y＝sinx，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z； 對(duì)稱中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，，k∈Z；y＝tanx，，k∈Z. (3)單調(diào)區(qū)間： y＝sinx的增區(qū)間：(k∈Z)， 減區(qū)間：(k∈Z)； y＝cosx的增區(qū)間：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)， 減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)； y＝tanx的增區(qū)間：(k∈Z)． (4)周期性與奇偶性： y＝sinx的最小正周期為2π，為奇函數(shù)；y＝cosx的最小正周期為2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的最小正周期為π，為奇函數(shù)． 易錯(cuò)警示：求y＝Asin(

41、ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： (1)不注意ω的符號(hào)，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反； (2)忘掉寫(xiě)＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫(xiě)k∈Z； (3)書(shū)寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，錯(cuò)把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應(yīng)寫(xiě)為. 4兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ. tan(α±β)＝. sin2α＝2sinαcosα. cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝. 在三角的恒等變形中，注意常見(jiàn)的拆角、拼角技巧，

42、如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. 5三角變換基本方法：化切為弦、降冪升冪、用三角公式轉(zhuǎn)化出特殊角、異角化同角、異名化同名． 6解三角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形兩邊及一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍．在△ABC中A>B?si

43、nA>sinB. (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀． 7解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題注意區(qū)分俯角和仰角，方位角和方向角的不同． 8數(shù)0與零向量有區(qū)別，0的模為數(shù)0，它不是沒(méi)有方向，而是方向不定.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意，否則有質(zhì)的不同． 9平面向量的基本概念及線性運(yùn)算 (1)加、減法的平行四邊形與三角形法則：＋＝；－＝. (2)向量滿足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (3)實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記為λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：

44、 ①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②λ>0，λa與a同向；λ<0，λa與a反向；λ＝0或a＝0，λa＝0. (4)平面向量的兩個(gè)重要定理 ①向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. ②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 10向量的平行與垂直 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0. a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

45、 0看成與任意向量平行，特別在書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意，否則有質(zhì)的不同． 11當(dāng)a·b＝0時(shí)，不一定得到a⊥b，當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行． 12向量的數(shù)量積 |a|2＝a2＝a·a， a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2， cosθ＝＝， a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝. 注意：〈a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向； 〈

46、a，b〉為直角?a·b＝0且a、b≠0； 〈a，b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向． 13兩向量夾角的范圍為[0，π]，向量的夾角為銳角與向量的數(shù)量積大于0不等價(jià)． 14向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零． 15幾個(gè)向量常用結(jié)論 (1)＋＋＝0?P為△ABC的重心； (2)·＝·＝·?P為△ABC的垂心； (3)向量λ(λ≠0)所在直線過(guò)△ABC的內(nèi)心； (4)||＝||＝||?P為△ABC的外心． 忽視角的范圍致誤 　　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β

47、為銳角，則α＋β＝________. [錯(cuò)解]　∵α、β為銳角， ∴cosα＝＝，cosβ＝＝. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝×＋×＝. 又0<α＋β<π.∴α＋β＝或α＋β＝π. [錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中沒(méi)有注意到0<α＋β<π，對(duì)于正弦值可能會(huì)有兩個(gè)解，而利用余弦求解，利用正負(fù)關(guān)系即可判斷． [正解]　因?yàn)棣?，β為銳角， 所以cosα＝＝， cosβ＝＝. 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝×－×＝. 又因?yàn)?<α＋β<π，所以α＋β＝.

48、 [答案]　 [防范措施]　對(duì)三角函數(shù)的求值問(wèn)題，不僅要看已知條件中角的范圍，還要挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍；本題中(0，π)中角和余弦值一一對(duì)應(yīng)，最好在求角時(shí)選擇計(jì)算cos(α＋β)來(lái)避免增解. 補(bǔ)救訓(xùn)練1　[2016·嘉興測(cè)試]已知α為鈍角，sin＝，則sin＝________. 答案?。? 解析　cos＝sin＝?cos－α＝，因?yàn)棣翞殁g角，即<α<π?－<－α<－，所以sin<0， 則sin＝－＝－. 三角函數(shù)圖象平移致誤 　函數(shù)y＝3sin的圖象可由函數(shù)y＝3sin2x的圖象(　　) A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到

49、 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到 [錯(cuò)解]　A [錯(cuò)因分析]　在三角函數(shù)圖象變換時(shí)，對(duì)于先進(jìn)行伸縮變換再進(jìn)行平移變換的平移量搞錯(cuò)． [正解]　y＝3sin＝3sin， ∴只需將y＝3sin2x的x換成x＋即可． ∴y＝3sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度， 得到y(tǒng)＝3sin的圖象． [答案]　C [防范措施]　三角函數(shù)圖象變換時(shí)，由f(x)→f(x±a)(a>0)是左加右減，即x＋a是f(x)向左平移a個(gè)單位，x－a是f(x)向右平移a個(gè)單位．我們所說(shuō)的平移多少是對(duì)x說(shuō)的，即“對(duì)x說(shuō)話”．解決此類(lèi)問(wèn)題的辦法

50、一般是先平移后伸縮．在平移時(shí)，如x有系數(shù)ω，則先寫(xiě)成ω(x＋φ)的形式． 補(bǔ)救訓(xùn)練2　將函數(shù)h(x)＝2sin的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到函數(shù)f(x)的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象(　　) A.關(guān)于直線x＝0對(duì)稱 B.關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 C.關(guān)于(1,0)點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于(0,1)點(diǎn)對(duì)稱 答案　D 解析　依題意，將h(x)＝2sin的圖象向右平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后得y＝2sin2x－＋＋2，即f(x)＝2sin＋2的圖象，又∵h(yuǎn)(－x)＋f(x)＝2，∴函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱. 三角函數(shù)的單調(diào)

51、性判斷致誤 　函數(shù)y＝sin的單調(diào)區(qū)間是________． [錯(cuò)解]　函數(shù)y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ－≤－x≤2kπ＋，解得3kπ＋≤x≤3kπ＋π；單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ＋≤－≤2kπ＋，解得3kπ－π≤x≤3kπ－，其中k∈Z. [錯(cuò)因分析]　受思維定勢(shì)，按函數(shù)y＝sin的單調(diào)區(qū)間的判斷方法求解． [正解]　原函數(shù)變形為y＝－sin，令u＝－，則只需求y＝sinu的單調(diào)區(qū)間即可，所以y＝sinu在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上單調(diào)遞增；y＝sinu在2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上單調(diào)遞減． 故y

52、＝sin＝－sinu的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為，(k∈Z)． [答案]　單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)，單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z) [防范措施]　當(dāng)題目涉及f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時(shí)，要將ωx＋φ視為整體，再與y＝sinx的相關(guān)性質(zhì)對(duì)應(yīng)，同時(shí)注意ω與零的大小. 補(bǔ)救訓(xùn)練3　[2016·?？谡{(diào)研]已知函數(shù)f(x)＝sin2(ωx)－(ω>0)的最小正周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位(a>0)，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依題意得f(x)＝－＝－cos2ωx，最小正周期T

53、＝＝，ω＝2，f(x)＝－cos4x，將f(x)＝－cos4x的圖象向右平移a個(gè)單位后得到的是函數(shù)g(x)＝－cos[4(x－a)]的圖象. 又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此有g(shù)(0)＝－cos4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正實(shí)數(shù)a的最小值是，選D. 解三角形多解、漏解致誤 　　在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c且a＝1，c＝. (1)若C＝，求A； (2)若A＝，求b. [錯(cuò)解]　(1)在△ABC中，＝， ∴sinA＝＝，∴A＝或. (2)由＝，得sinC＝＝. ∴C＝，由C＝知B＝， ∴b＝＝2. [錯(cuò)因分析]　在用正弦

54、定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)丟解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問(wèn)中沒(méi)有考慮c邊比a邊大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問(wèn)中又因?yàn)闆](méi)有考慮角C有兩解，由sinC＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.這樣就出現(xiàn)丟解的錯(cuò)誤． [正解]　(1)由正弦定理得＝， 即sinA＝＝. 又a<c，∴A<C，∴0<A<，∴A＝. (2)由＝，得sinC＝＝＝. ∴C＝或. 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，∴b＝2；當(dāng)C＝時(shí)，B＝，∴b＝1. 綜上所述，b＝2或b＝1. [防范措施]　 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，注意要對(duì)解的情況進(jìn)行討論，討論的根據(jù)一是所求的正弦值是否合

55、理，當(dāng)正弦值小于等于1時(shí)，還應(yīng)判斷各角之和與180°的關(guān)系；二是兩邊的大小關(guān)系. 補(bǔ)救訓(xùn)練4　[2016·鄭州質(zhì)檢]在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且滿足cos2C－cos2A＝2sinsin. (1)求角A的值； (2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范圍． 解　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2， 化簡(jiǎn)得sinA＝，故A＝或. (2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC， 故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝ 3sinB－cosB＝2sin. 因?yàn)閎≥a，所以≤B<，≤B－<

56、;. 所以2b－c＝2sin∈[，2). 向量夾角定義不明致誤 　已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，則·＋·＋·＝________. [錯(cuò)解]　∵△ABC為等邊三角形，∴||＝||＝||＝1，向量、、間的夾角均為60°. ∴·＝·＝·＝. ∴·＋·＋·＝. [錯(cuò)因分析]　數(shù)量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ，這里θ是a與b的夾角，本題中與夾角不是∠C.兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點(diǎn)表示向量的兩條有向線段間的夾角，如圖與的夾角應(yīng)是∠ACD. [正

57、解]　如圖與的夾角應(yīng)是∠ACB的補(bǔ)角∠ACD， 即180°－∠ACB＝120°. 又||＝||＝||＝1， 所以·＝||||cos120°＝－.同理得·＝·＝－. 故·＋·＋·＝－. [答案]　－ [防范措施]　在判斷兩向量的夾角時(shí)，要注意把兩向量平移到共起點(diǎn)，這樣才不至于判斷錯(cuò)誤.平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是指題設(shè)條件設(shè)置在向量背景下，一旦脫去向量的“外衣”，實(shí)質(zhì)變成純?nèi)菃?wèn)題. 補(bǔ)救訓(xùn)練5　[2016·南昌一模]已知△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝90

58、76;，＝3，若P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的取值范圍是________． 答案　[2,6] 解析　因?yàn)锳B＝AC，BC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC＝45°，AB＝2.又因?yàn)椋?，所以＝，設(shè)＝t，則0≤t≤1，＝＋＝＋t，＝＋＝＋，所以·＝(＋t)·＝2＋t·＋·＋t2＝8＋t×4×2cos135°＋×4×2cos135°＋t×42＝2＋4t.因?yàn)?≤t≤1，所以2≤2＋4t≤6，即·的取值范圍是[2,6]. 忽略向量共線致誤 　

59、已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________． 　　[錯(cuò)解]　∵cosθ＝＝， 因θ為銳角，有cosθ>0，∴>0?2λ＋1>0， 得λ>－，λ的取值范圍是. [錯(cuò)因分析]　當(dāng)向量a，b同向時(shí)，θ＝0，cosθ＝1滿足cosθ>0，但不是銳角． [正解]　因θ為銳角，有0<cosθ<1且a與b不共線 又∵cosθ＝＝， ∴解得 ∴λ的取值范圍是. [答案]　 [防范措施]　在解決兩向量夾角問(wèn)題時(shí)，一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為θ，則：①θ為銳角?a

60、83;b>0且a，b不同向；②θ為直角?a·b＝0；③θ為鈍角?a·b<0且a，b不反向. 補(bǔ)救訓(xùn)練6　設(shè)兩個(gè)向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為.若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍． 解　∵2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0 且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ<0)． 由(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0得2t2＋15t＋7<0， ∴－7<t<－. 若2te1＋

61、7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，∴(2t－λ)e1＋(7－tλ)e2＝0. ∴即t＝－. ∴t的取值范圍為－7<t<－且t≠－. 四、數(shù)列、不等式 1數(shù)列的概念 (1)數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式． (2)前n項(xiàng)和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，an＝ 2等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)． (2)等差數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.

62、 (3)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn＝，Sn＝na1＋d. (4)等差中項(xiàng)：若a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A＝. 3等差數(shù)列的性質(zhì) (1)當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. (2)若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列． (3)當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap. 4等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等比數(shù)

63、列的判斷方法：定義法＝q(q為常數(shù))，其中q≠0，an≠0或＝(n≥2)． (2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：an＝a1qn－1或an＝amqn－m. (3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 易錯(cuò)警示：由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要分q＝1和q≠1兩種情形討論求解． (4)等比中項(xiàng)：若a，A，b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項(xiàng)．值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)，即為±. 5等比數(shù)列

64、的性質(zhì) 當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am·an＝ap·aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am·an＝a. 6數(shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯(cuò)位相減法；(5)裂項(xiàng)相消法． 如：＝－；＝. 7在求不等式的解集、定義域及值域時(shí)，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示． 8不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò)． 9兩個(gè)不等式相乘時(shí)，必須注意同向同正時(shí)才能進(jìn)行． 10含參數(shù)不等式求解的通法是“定義域是前提，函數(shù)增減性是基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵”．

65、注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是……”．注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集． 11利用基本不等式a＋b≥2以及變式ab≤2等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b∈R＋(或a，b非負(fù))，ab或a＋b應(yīng)是定值，特別要注意等號(hào)成立的條件． 12解線性規(guī)劃問(wèn)題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解． 數(shù)列an與Sn的關(guān)系不清致誤 　　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． [錯(cuò)解]　an＝2n [錯(cuò)因分析]　若an＝2n，則a1＝2，事實(shí)上a1＝S1＝3

66、. [正解]　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n， ∴an＝ [答案]　an＝ [防范措施]　本題的失分原因是沒(méi)有注意到an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下才能成立．這是由于對(duì)數(shù)列概念理解不透徹所致．在解關(guān)于由Sn求an的題目時(shí)，按兩步進(jìn)行討論，可避免出錯(cuò)．①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；②當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1.檢驗(yàn)a1是否適合由②求得的解析式，若符合，則統(tǒng)一，若不符合，則用分段函數(shù)： an＝來(lái)表達(dá)． 補(bǔ)救訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，

67、a1＝. (1)求證：是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解　(1)證明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)， 得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0， 所以－＝2(n≥2，n∈N*)，故是等差數(shù)列． (2)由(1)知，＝2n，故Sn＝，an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)， 所以an＝ 忽視等比數(shù)列中q的分類(lèi)討論致誤 　　設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列的公比q是________． [錯(cuò)解]　由S3＋S6＝S9得 ＋＝ ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q6－1)(q3－1)＝0

68、∵q≠1，∴q6＝1，q＝－1. [錯(cuò)因分析]　當(dāng)q＝1時(shí)，符合要求．很多考生在做本題時(shí)都想當(dāng)然地認(rèn)為q≠1. [正解]　①當(dāng)q＝1時(shí)，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1， ∴S3＋S6＝S9成立． ②當(dāng)q≠1時(shí)，由S3＋S6＝S9， 得＋＝. ∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0. ∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1. [答案]　1或－1 [防范措施]　在表示等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，考生只想到Sn＝，把q＝1的情況不自覺(jué)地排除在外，這是對(duì)前n項(xiàng)和公式理解不透徹所致．解等比數(shù)列的問(wèn)題，一定要注意對(duì)公比的分類(lèi)討論，這是防止出錯(cuò)的一個(gè)很好方

69、法． 補(bǔ)救訓(xùn)練2　[2016·湖北八校聯(lián)考]在等比數(shù)列{an}中，a3＝，S3＝. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn<. 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由題意得S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝， 解得q＝1或q＝－， 當(dāng)q＝1時(shí)，an＝； 當(dāng)q≠1時(shí)，a1＝＝6，∴an＝6·n－1. (2)證明：∵{bn}為遞增數(shù)列，∴an＝6·n－1， ∴a2n＋1＝6·n，∴bn＝2n， ∴cn＝＝＝， ∴c1＋c2＋c3＋…＋cn＝&

70、lt;. 數(shù)列求最值忽略n的限制條件致誤 　　已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n＋2)·n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是(　　) A．第6項(xiàng)或第7項(xiàng) B．第7項(xiàng)或第8項(xiàng) C．第8項(xiàng)或第9項(xiàng) D．第7項(xiàng) [錯(cuò)解]　因?yàn)閍n＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)·n＝n·，當(dāng)n<7時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an；當(dāng)n＝7時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，當(dāng)n>7時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1<an，故a7最大，選D. [錯(cuò)因分析]　忽略了a7＝0，a7＝a8. [正解]　因?yàn)閍n＋1－