高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;3 第1課時 數(shù)乘向量 Word版含答案

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1、20192019 學年北師大版數(shù)學精品資料學年北師大版數(shù)學精品資料第 1 課時數(shù) 乘 向 量核心必知1數(shù)乘向量(1)定義：一般地，實數(shù)與向量a a的積是一個向量，記作a a.它的長度和方向分別為：長度：|a a|a a|；方向：當0 時，a a與a a的方向相同；當0)或反方向(1)或壓縮(|0，2a a與a a的方向相同，且|2a a|2|a a|；(2)正確，20，2a a與 5a a的方向相反，又|2a a|5a a|2|a a|5|a a|25，|2a a|25|5a a|；(3)正確，因為|12a a|12|a a|12a a|，且12a a與a a反向，12a a與a a同向；(4

2、)錯誤，(b ba a)b ba aa ab b，a ab b與(b ba a)是相等向量，而不是相反向量理解數(shù)乘向量要抓住兩點：一是大小，二是方向設(shè)，R R，a a0 0 若0，則a a與a a的方向相同；若0，則a a，a a至少有一個為 0 0；當0 時，|a a|a a|.練一練1如圖，已知向量a a，b b，c c，求作向量 3a a2b b12c c.解：法一：在平面內(nèi)任取一點A，作AB3a a，BC2b b，CD12c c，連接AD，則AD3a a2b b12c c即為所求(如圖所示)法二：在平面內(nèi)任取一點A，作AB3a a，AC2b b，連接BC，則CBABAC3a a2b b

3、，再作BD12c c，連接CD，則CD3a a2b b12c c即為所求(如圖所示)法三：在平面內(nèi)任取一點A，作AB3a a，AC2b b，以AB，AC為鄰邊作ABDC，連接AD，則AD3a a2b b，再作DE12c c，連接AE(如圖)則AE3a a2b b12c c即為所求講一講2(1)1312（2a a8b b）（4a a2b b）的運算結(jié)果是()A2a ab bB2b ba aCb ba aDa ab b(2)若a ab bc c，則 3(a a2b b)2(3b bc c)2(a ab b)_(用b b，c c)表示嘗試解答(1)1312(2a a8b b)(4a a2b b)13

4、(a a4b b4a a2b b)13(3a a6b b)a a2b b2b ba a.故選 B(2)a ab bc c3(a a2b b)2(3b bc c)2(a ab b)3a a6b b6b b2c c2a a2b ba a2b b2c cb bc c2b b2c c3b bc c.答案(1)B(2)3b bc c1向量的線性運算是指向量的加法、減法和數(shù)乘向量的運算其運算法則在形式上類同實數(shù)加、減法與乘法滿足的運算法則，但它們的具體含義是不同的，不過由于它們在形式上類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中都可以使用2若需要結(jié)合幾何圖形進行向量的線性運

5、算，則要注意使用三角形法則或平行四邊形法則，并正確利用數(shù)乘向量的幾何意義，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解練一練2. 如圖，OADB中，向量b b，試用a a，b b表示.講一講3設(shè)e e1，e e2是兩個不共線向量，已知AB2e e18e e2，CBe e13e e2，CD2e e1e e2.(1)求證：A、B、D三點共線；(2)若BF3e e1ke e2，且B、D、F三點共線，求k的值嘗試解答(1)由已知得(2e e1e e2)(e e13e e2)e e14e e2，2e e18e e2，又有公共點B.A、B、D三點共線(2)由(1)可知3e e1ke e2，且B、D、F

6、三點共線，得，即 3e e1ke e2e e14e e2得3，k4，解得k12.1向量共線的判定定理的主要作用是判斷兩個向量是否共線，進而可解決諸點是否共線問題2利用向量證明三點共線時，一般是把“共線”問題轉(zhuǎn)化為“向量關(guān)系a ab b”，通過向量關(guān)系得到“三點共線”的結(jié)論3利用向量共線的性質(zhì)定理，并結(jié)合向量的線性運算，可由向量共線(或三點共線)求相關(guān)的參數(shù)的值練一練33如圖，在ABC中，D為BC的中點，M為AD的中點，判斷B、M、N三點是否共線解：D為BC的中點，B、M、N三點共線如圖所示，在ABO中，OC，AD與BC相交于點M，設(shè)b b.試用a a和b b表示向量OM.巧思既然OM能用a a

7、、b b表示，那么不妨設(shè)OMma anb b，利用向量共線定理建立方程，用方程的思想方法求解即(m1)a anb bt(a a12b b)，(m1)a anb bta a12tb b.m1t，nt2，消去t得，m12n，即m2n1.m14a anb bt1(14a ab b)，m1414t1，nt1，消去t1得，4mn1.由得m17，n37，OM17a a37b b.1設(shè)a a是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論正確的是()Aa a與a a的方向相反B|a a|a a|Ca a與2a a的方向相同D|a a|a a解析：選 C對于 A，的正反未定，a a與a a的方向可能相同，也可能相反，A 不正

8、確； 對于 B， |a a|a a|，的值未定， 有可能|a a|a a|， 如12時，12|a a|0，a a與2a a的方向相同，C 正確；對于 D，|a a|a|是一個實數(shù)，而|a a是一個向量，二者不能相等，D 不正確2已知向量a a，b b，且7a a2b b，則一定共線的三點是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DDA、C、D又有公共點BD，AB有公共點B，A、B、D三點共線3. 如圖，向量的終點在同一直線上，且p p，r r，則下列等式中成立的是()Ar r12p p32q qBr rp p2q qCr r32p p12q qDr rq q2p p4若向量a a3i i4j j

9、，b b5i i4j j，則(13a ab b)3(a a23b b)(2b ba a)_解析：(13a ab b)3(a a23b b)(2b ba a)(1331)a a(122)b b113a ab b113(3i i4j j)(5i i4j j)(115)i i(4434)j j16i i323j j.答案： 16i i323j j5在ABC中，D在線段BC上，n，則mn_.m13，n23，故mn12.答案：126已知向量a a2e e13e e2，b b2e e13e e2，其中e e1，e e2不共線，向量c c2e e19e e2，問是否存在非零實數(shù)，使d da ab b與c c

10、共線？解：d da ab b(2e e13e e2)(2e e13e e2)(22)e e1(33)e e2，要使d d與c c共線，則應(yīng)存在實數(shù)k，使d dkc c，即(22)e e1(33)e e22ke e19ke e2，222k，339k，2.故存在非零實數(shù)，只要2就能使d d與c c共線一、選擇題1已知向量a a，b b不共線，c cka ab b(kR R)，d da ab b.如果c cd d，那么()Ak1 且c c與d d同向Bk1 且c c與d d反向Ck1 且c c與d d同向Dk1 且c c與d d反向解析：選 Dc cd d，c cd d，即ka ab b(a ab

11、b)a ab b.又a a，b b不共線，k，1.1，k1.c cd d，c c與d d反向2已知O、A、M、B為平面上四點，且(1)OA，(1,2)，則()A點M在線段AB上B點B在線段AM上C點A在線段BM上DO、A、M、B四點共線(1，2)，點M在線段AB的延長線上，即點B在線段AM上3已知A、B、C三點共線，O是這條直線外的一點，滿足OA，則的值為()A12B13C.12D.134.四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，則()二、填空題5點C在線段AB上，且ACCB32，則_AB.解析：ACCB32，點C為線段AB的 5 等分點，答案：35256若 2x x13a a12(c

12、 cb b3x x)b b0 0，其中a a、b b、c c為已知向量，則未知向量x x_解析：由已知可得72x x23a a12b b12c c0 0，x x421a a17b b17c c.答案：421a a17b b17c c7 已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得成立，則m_.答案：38D、E、F分別為ABC的邊BC、CA、AB上的中點，且CBa a，CAb b，給出下列命題：其中所有正確命題的序號為_解析：D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(12a ab b)(a a12b b)(12a a12b b)0.故正確答案：三、解答題9設(shè)兩個非零向量e e1，e e2不共線，已知e e13e e2，CD2e e1e e2，若A、B、D三點共線，試求k的值解：2e e1e e2(e e13e e2)e e14e e2若A、B、D三點共線，則，從而存在唯一實數(shù)，使，即 2e e1ke e2(e e14e e2)整理得(2)e e1(k4)e e2e e1、e e2不共線20k402k8即k的值為8 時，A、B、D三點共線10ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N.設(shè)b b，試用a a、b b表示向量.