《新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標表示 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標表示 Word版含答案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料核心必知1向量數(shù)量積的坐標表示設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab bx1x2y1y2即兩個向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標乘積的和2度量公式(1)長度公式：設(shè)a a(x，y)，則|a a|x2y2(2)夾角公式：設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a與b b的夾角為，則 cosx1x2y1y2x21y21x22y223兩向量垂直的坐標表示設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab ba ab b0 x1x2y1y204直線的方向向量給定斜率為k的直線l，則向量m m(1，k)與直線l共線，把與直線l共線的非零向量m m稱為直線l
2、的方向向量問題思考1由向量長度的坐標表示，你能否得出平面內(nèi)兩點間的距離公式？提示：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)，由向量長度的坐標表示可得|AB|AB|x2x12y2y12.2坐標形式下兩向量垂直與平行的條件有何區(qū)別？提示：設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則：a ab bx1x2y1y20，即“相應(yīng)坐標相乘和為 0”；a ab bx1y2x2y10，即“坐標交叉相乘差為 0”3直線l的方向向量唯一嗎？提示：直線l的方向向量即是與l平行的向量，意指表示該向量的有向線段所在的直線與l平行或重合，所以直線l的方向向量不唯一(有無數(shù)個)，但它們都是共線
3、向量講一講1已知向量a a(4，2)，b b(6，3)，求：(1)(2a a3b b)(a a2b b)；(2)(a ab b)2.嘗試解答法一：(1)2a a3b b(8，4)(18，9)(10，5)，a a2b b(4，2)(12，6)(16，8)，(2a a3b b)(a a2b b)16040200.(2)a ab b(10，5)(a ab b)2(10，5)(10，5)10025125.法二：由已知可得：a a220，b b245，a ab b30(1)(2a a3b b)(a a2b b)2a a2a ab b6b b222030645200.(2)(a ab b)2a a22a
4、ab bb b2206045125.進行向量的數(shù)量積的坐標運算關(guān)鍵是把握向量數(shù)量積的坐標表示，運算時常有兩條途徑：(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示直接運算；(2)先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算練一練1已知a a(2，1)，b b(1，3)，向量c c滿足a ac c4，b bc c9.(1)求向量c c的坐標；(2)求(a ab b)c c的值解：(1)設(shè)c c(x，y)，由a ac c4，b bc c9，得，2xy4，x3y9.解得x3，y2.c c(3，2)(2)法一：a ab b(2，1)(1，3)(1，4)，(a ab b)c c(1，4)(3，2)134(2)5.法二：
5、(a ab b)c ca ac cb bc c(2，1)(3，2)(1，3)(3，2)231(2)(1)33(2)5.講一講2已知a a(1，2)，b b(2，4)，|c c| 5.(1)求|a a2b b|；(2)若(a ab b)c c52，求向量a a與c c的夾角嘗試解答(1)a a2b b(1，2)2(2，4)(3，6)|a a2b b| （3）2（6）23 5.(2)b b(2，4)2(1，2)2a aa ab ba a，(a ab b)c ca ac c52設(shè)a a與c c的夾角為，則 cosa ac c|a a|c c|525 5120，23即a a與c c的夾角為23.1已知
6、向量的坐標和向量的模(長度)時，可直接運用公式|a a|x2y2進行計算2求向量的夾角時通常利用數(shù)量積求解，一般步驟為：(1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出兩向量的數(shù)量積；(2)再求出兩向量的模；(3)由公式 cosa ab b|a a|b b|計算 cos的值；(4)在0，內(nèi)，由 cos的值確定角.練一練2已知向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，e e(0，1)，若a ab b，|a ab b|2，且a ab b與e e的夾角為3，則x1x2()A2B 3C 2D1解析：選 Ba ab b(x1x2，y1y2)(a ab b)e e(x1x2)0(y1y2)1y1y2.|a
7、ab b|2，|e e|1，a ab b與e e的夾角為3，cos3（a ab b）e e|a ab b|e e|y1y2212，y1y21，又由|a ab b|2 知，(x1x2)2(y1y2)24，(x1x2)23.x1x2 3.講一講3已知a a( 3，1)，b b12，32 .(1)求證：a ab b；(2)是否存在實數(shù)k，使x xa a2b b，y yka ab b，且x xy y，若存在，求k的值；不存在，請說明理由嘗試解答(1)證明：a ab b 312(1)320.a ab b.(2)x x( 3，1)212，32 (31，1 3)，y yk( 3，1)12，32 12 3k，
8、k32 .假設(shè)存在k使x xy y，x xy y( 31)12 3k(1 3)k32 化簡得：4k20k12即存在k12，使x xy y.兩向量互相垂直，則其數(shù)量積為零，反之也成立，因此：(1)判斷兩個向量是否垂直，只需考察其數(shù)量積是否為 0；(2)若兩向量垂直，則可利用數(shù)量積的坐標表示建立有關(guān)參數(shù)的方程，進而求解練一練3 (安徽高考)設(shè)向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a|a|_解析：a ac c(3，3m)，由(a ac c)b b，可得(a ac c)b b0，即 3(m1)3m0，解得m12，則a a(1，1)，故|a a
9、| 2.答案： 2已知向量a a(2，1)，b b(t，1)且向量a a與b b的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍錯解設(shè)向量a a與b b的夾角為，則為鈍角，cosa ab b|a a|b b|0，a ab b0.a ab b(2，1)(t，1)2t112.故t的取值范圍是(12，)錯因錯解在于誤認為為鈍角等價于a ab b0，實際上，a ab b0 包含兩向量反向共線的情況，即的情況，無疑擴大夾角的取值范圍正解設(shè)向量a a與b b的夾角為，為鈍角2.cosa ab b|a a|b b|0，a ab b0，即(2，1)(t，1)2t112.當a ab b時，21(1)t0，得t2，這時b b(2
10、，1)a a，b b與a a反向即當t2 時，不合題意故t的取值范圍為(12，2)(2，)1向量i i(1，0)，j j(0，1)，下列向量中與向是3i ij j垂直的是()A2i i2 3j jBi i 3j jC2i i 3j jDi i 3j j解析：選 B可知3i ij j( 3，1)，逐項考察知，( 3i ij j)(i i 3j j)( 3，1)(1， 3) 3 30.i i 3j j與3i ij j垂直2已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，則m()A8B6C6D8解析：選 D法一：因為a a(1，m)，b b(3，2)，所以a ab b(4，m2
11、)因為(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，所以 122(m2)0，解得m8.法二：因為(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，即a ab bb b232m32(2)2162m0，解得m8.3(重慶高考)設(shè)x，yR R，向量a a(x，1)，b b(1，y)，c c(2，4)且a ac c，b bc c，則|a ab b|()A. 5B2 10C2 5D10解析：選 B因為a ac c，b bc c，所以有 2x40 且 2x40，解得x2，y2，即a a(2，1)，b b(1，2)所以a ab b(3，1)，|a ab b| 10.4經(jīng)過點A(1，0)且方向向量
12、與d d(2，1)垂直的直線方程為_解析：設(shè)直線的方向向量為m m(1，k)，由m md d得 2k0.直線的斜率k2，故所求直線的方程為y2(x1)即 2xy20.答案：2xy205設(shè)向量a a，b b的夾角為，且a a(5，5)，2b ba a(1，1)，則 cos_解析：a a(5，5)，2b b(5，5)(1，1)(4，6)即b b(2，3)又|a a|5 2，|b b| 13，且a ab b(5，5)(2，3)25.cosa ab b|a a|b b|255 2 135 2626.答案：5 26266已知向量a a(1，2)，b b(2，2)，(1)設(shè)c c4a ab b，求(b b
13、c c)a a；(2)若a ab b與a a垂直，求的值；(3)求向量a a在b b方向上的射影解：(1)c c4(1，2)(2，2)(6，6)，b bc c(2，2)(6，6)26260，(b bc c)a a0a a0 0.(2)a ab b(1，2)(2，2)(12，22)，(a ab b)a a(12)2(22)0，得52.(3)法一：設(shè)a a與b b的夾角為，則 cosa ab b|a a|b b|122（2）1222 22（2）21010.向量a a在b b方向上的投影為|a a|cos 1222(1010)22.法二：a ab b(1，2)(2，2)2，|b b|2 2.向量a
14、a在b b方向上的投影為|a a|cosa ab b|b b|22 222.一、選擇題1若向量a a(1，2)，b b(1，1)，則 2a ab b與a ab b的夾角等于()A4B.6C.4D.34解析：選 C因為 2a ab b(2，4)(1，1)(3，3)，a ab b(0，3)，所以|2a ab b|3 2，|a ab b|3.設(shè) 2a ab b與a ab b的夾角為，則 cos（2a ab b）（a ab b）|2a ab b|a ab b|（3，3）（0，3）3 2322，又0，所以4.2已知向量a a(3，4)，b b(2，1)，如果向量a axb b與b b垂直，則x的值為()
15、A25B.233C.323D2解析：選 Aa axb b(3，4)x(2，1)(32x，4x)，b b(2，1)，且(a axb b)(b b)，2(32x)(4x)0，得x25.3已知向量a a(2，1)，a ab b10，|a ab b|5 2，則|b b|()A. 5B. 10C5D25解析：選 C法一：設(shè)b b(x，y)，則a ab b2xy10，又a ab b(x2，y1)，|a ab b|5 2，(x2)2(y1)250與聯(lián)立得x3，y4，或x5，y0.|b b|x2y25.法二：由|a ab b|52得a a22a ab bb b250，即 520b b250b b225|b b
16、|5.4已知AB(4,2)，AC(k，2)，若ABC為直角三角形，則k等于()A1B6C1 或 6D1 或 2 或 6解析：選 C當A90時，ACAB，則 4k40，k1；當B90時，ABBC，又BCACAB(k4，4)4(k4)2(4)0 解得k6；當C90時，ACBC，則k(k4)(2)(4)0即k24k80，無解故k1 或 6.二、填空題5 (安徽高考)設(shè)向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a a|_解析：由題意知，a ac c(3，3m)，(a ac c)b b3(m1)3m0，解得m12，即a a(1，1)，|a a| 1
17、2（1）2 2.答案： 26(新課標全國卷)已知兩個單位向量a a，b b的夾角為 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，則t_解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，意在考查考生的運算求解能力根據(jù)數(shù)量積b bc c0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中因為向量a a，b b為單位向量，所以b b21，又向量a a，b b的夾角為 60，所以a ab b12，由b bc c0 得b bta a(1t)b b0，即ta ab b(1t)b b20，所以12t(1t)0，所以t2.答案：27 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b
18、b，c c(a ab b)， 則c c_解析：本題主要考查向量的基本知識及運算由題意，將b bc cta a(1t)b bb b整理，得ta ab b(1t)0，又a ab b12，所以t2.答案：27 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 則c c_解析：設(shè)c c(x，y)，則c ca a(x1，y2)又(c ca a)b b，2(y2)3(x1)0.又c c(a ab b)，(x，y)(3，1)3xy0.解得x79，y73.答案：79，738 已知a a(1， 3)，b b(1， 1)，c ca ab b， 若a
19、a和c c的夾角是銳角， 則的取值范圍是_解析：由條件得，c c(1，3)，從而a ac c13（3）0，1133，52，0(0，)答案：52，0(0，)三、解答題9已知向量a a是以點A(3，1)為始點，且與向量b b(3，4)垂直的單位向量，求a a的終點坐標解：b b是直線y43x的方向向量，且a ab b.a a是直線y34x的方向向量可設(shè)a a(1，34)(，34)由|a a|1，得291621.解得45，a a(45，35)或a a(45，35)設(shè)a a的終點坐標為(x，y)則x345，y135，或x345，y135.即x195，y25，或x115，y85.a a的終點坐標是(195，25)或(115，85)10已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD.(1)求證：ABAC；(2)求點D和向量AD的坐標；(3)設(shè)ABC，求 cos.5(x1)5(y2)，由解得x72，y52，故D點坐標為(72，52)，
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