《新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 Word版含答案（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 核心必知 1向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab bx1x2y1y2 即兩個向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和 2度量公式 (1)長度公式：設(shè)a a(x，y)，則|a a|x2y2 (2)夾角公式： 設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a與b b的夾角為， 則 cos x1x2y1y2x21y21x22y22 3兩向量垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則 a ab ba ab b0 x1x2y1y20 4直線的方向向量 給定斜率為k的直線l，則向量m m(1，k)
2、與直線l共線，把與直線l共線的非零向量m m稱為直線l的方向向量 問題思考 1由向量長度的坐標(biāo)表示，你能否得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式？ 提示：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則AB(x2x1，y2y1)，由向量長度的坐標(biāo)表示可得 |AB|AB|x2x12y2y12. 2坐標(biāo)形式下兩向量垂直與平行的條件有何區(qū)別？ 提示：設(shè)a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則： a ab bx1x2y1y20，即“相應(yīng)坐標(biāo)相乘和為 0”； a ab bx1y2x2y10，即“坐標(biāo)交叉相乘差為 0” 3直線l的方向向量唯一嗎？ 提示：直線l的方向向量即是與l平行的向量，意指表示該向量的有向線段所在
3、的直線與l平行或重合，所以直線l的方向向量不唯一(有無數(shù)個)，但它們都是共線向量 講一講 1已知向量a a(4，2)，b b(6，3)，求： (1)(2a a3b b)(a a2b b)； (2)(a ab b)2. 嘗試解答 法一：(1)2a a3b b(8，4)(18，9)(10，5)， a a2b b(4，2)(12，6)(16，8)， (2a a3b b)(a a2b b)16040200. (2)a ab b(10，5) (a ab b)2(10，5)(10，5)10025125. 法二：由已知可得：a a220，b b245，a ab b30 (1)(2a a3b b)(a a2b
4、 b)2a a2a ab b6b b2 22030645200. (2)(a ab b)2a a22a ab bb b2206045125. 進(jìn)行向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算關(guān)鍵是把握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，運(yùn)算時常有兩條途徑： (1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示直接運(yùn)算； (2)先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算 練一練 1已知a a(2，1)，b b(1，3)，向量c c滿足a ac c4，b bc c9. (1)求向量c c的坐標(biāo)； (2)求(a ab b)c c的值 解：(1)設(shè)c c(x，y)， 由a ac c4，b bc c9，得，2xy4，x3y9. 解得x3，y2. c c(3
5、，2) (2)法一：a ab b(2，1)(1，3)(1，4)， (a ab b)c c(1，4)(3，2) 134(2) 5. 法二：(a ab b)c c a ac cb bc c (2，1)(3，2)(1，3)(3，2) 231(2)(1)33(2) 5. 講一講 2已知a a(1，2)，b b(2，4)，|c c| 5. (1)求|a a2b b|； (2)若(a ab b)c c52，求向量a a與c c的夾角 嘗試解答 (1)a a2b b(1，2)2(2，4)(3，6) |a a2b b| （3）2（6）23 5. (2)b b(2，4)2(1，2)2a a a ab ba a，
6、 (a ab b)c ca ac c52 設(shè)a a與c c的夾角為， 則 cos a ac c|a a|c c|525 512 0，23 即a a與c c的夾角為23. 1已知向量的坐標(biāo)和向量的模(長度)時，可直接運(yùn)用公式|a a|x2y2進(jìn)行計(jì)算 2求向量的夾角時通常利用數(shù)量積求解，一般步驟為： (1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出兩向量的數(shù)量積； (2)再求出兩向量的模； (3)由公式 cos a ab b|a a|b b|計(jì)算 cos 的值； (4)在0，內(nèi)，由 cos 的值確定角. 練一練 2已知向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，e e(0，1)，若a ab b，|a
7、 ab b|2，且a ab b與e e的夾角為3，則x1x2( ) A2 B 3 C 2 D1 解析：選 B a ab b(x1x2，y1y2) (a ab b)e e(x1x2)0(y1y2)1y1y2. |a ab b|2，|e e|1，a ab b與e e的夾角為3， cos 3（a ab b）e e|a ab b|e e|y1y2212，y1y21， 又由|a ab b|2 知，(x1x2)2(y1y2)24， (x1x2)23.x1x2 3. 講一講 3已知a a( 3，1)，b b12，32. (1)求證：a ab b； (2)是否存在實(shí)數(shù)k，使x xa a2b b，y yka a
8、b b，且x xy y，若存在，求k的值；不存在，請說明理由 嘗試解答 (1)證明：a ab b 312(1)320. a ab b. (2)x x( 3，1)212，32()31，1 3 ， y yk( 3，1)12，3212 3k，k32. 假設(shè)存在k使x xy y， x xy y( 31)12 3k(1 3)k32化簡得：4k20 k12即存在k12，使x xy y. 兩向量互相垂直，則其數(shù)量積為零，反之也成立，因此： (1)判斷兩個向量是否垂直，只需考察其數(shù)量積是否為 0； (2)若兩向量垂直，則可利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立有關(guān)參數(shù)的方程，進(jìn)而求解 練一練 3 (安徽高考)設(shè)向量a a(
9、1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a|a|_ 解析：a ac c(3，3m)，由(a ac c)b b，可得(a ac c)b b0，即 3(m1)3m0，解得m12，則a a(1，1)，故|a a| 2. 答案： 2 已知向量a a(2，1)，b b(t，1)且向量a a與b b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍 錯解 設(shè)向量a a與b b的夾角為，則為鈍角， cos a ab b|a a|b b|0，a ab b0. a ab b(2，1)(t，1)2t112. 故t的取值范圍是(12，) 錯因 錯解在于誤認(rèn)為為鈍角等價于a ab b0，實(shí)
10、際上，a ab b0 包含兩向量反向共線的情況，即的情況，無疑擴(kuò)大夾角的取值范圍 正解 設(shè)向量a a與b b的夾角為， 為鈍角2. cos a ab b|a a|b b|0， a ab b0，即(2，1)(t，1)2t112. 當(dāng)a ab b時，21(1)t0，得t2， 這時b b(2，1)a a，b b與a a反向 即當(dāng)t2 時，不合題意 故t的取值范圍為(12，2)(2，) 1向量i i(1，0)，j j(0，1)，下列向量中與向是 3i ij j垂直的是( ) A2i i2 3j j Bi i 3j j C2i i 3j j Di i 3j j 解析：選 B 可知 3i ij j( 3，
11、1)，逐項(xiàng)考察知， ( 3i ij j)(i i 3j j)( 3，1)(1， 3) 3 30. i i 3j j與 3i ij j垂直 2已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，則m( ) A8 B6 C6 D8 解析：選 D 法一：因?yàn)閍 a(1，m)，b b(3，2)， 所以a ab b(4，m2) 因?yàn)?a ab b)b b， 所以(a ab b)b b0， 所以 122(m2)0，解得m8. 法二：因?yàn)?a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，即a ab bb b232m32(2)2162m0，解得m8. 3(重慶高考)設(shè)x，yR R，向量a
12、 a(x，1)，b b(1，y)，c c(2，4)且a ac c，b bc c，則|a ab b|( ) A. 5 B2 10 C2 5 D10 解析：選 B 因?yàn)閍 ac c，b bc c，所以有 2x40 且 2x40，解得x2，y2， 即a a(2，1)，b b(1，2)所以a ab b(3，1)，|a ab b| 10. 4經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)且方向向量與d d(2，1)垂直的直線方程為_ 解析：設(shè)直線的方向向量為m m(1，k)， 由m md d得 2k0. 直線的斜率k2，故所求直線的方程為y2(x1) 即 2xy20. 答案：2xy20 5設(shè)向量a a，b b的夾角為，且a a(5
13、，5)，2b ba a(1，1)，則 cos _ 解析：a a(5，5)，2b b(5，5)(1，1)(4，6)即b b(2，3) 又|a a|5 2，|b b| 13，且a ab b(5，5)(2，3)25. cos a ab b|a a|b b|255 2 135 2626. 答案：5 2626 6已知向量a a(1，2)，b b(2，2)， (1)設(shè)c c4a ab b，求(b bc c)a a； (2)若a ab b與a a垂直，求的值； (3)求向量a a在b b方向上的射影 解：(1)c c4(1，2)(2，2)(6，6)， b bc c(2，2)(6，6)26260， (b bc
14、 c)a a0a a0 0. (2)a ab b(1，2)(2，2)(12，22)， (a ab b)a a (12)2(22)0， 得52. (3)法一：設(shè)a a與b b的夾角為， 則 cos a ab b|a a|b b|122（2）1222 22（2）21010. 向量a a在b b方向上的投影為 |a a|cos 1222(1010)22. 法二：a ab b(1，2)(2，2)2，|b b|2 2. 向量a a在b b方向上的投影為 |a a|cos a ab b|b b|22 222. 一、選擇題 1若向量a a(1，2)，b b(1，1)，則 2a ab b與a ab b的夾角等
15、于( ) A4 B.6 C.4 D.34 解析：選 C 因?yàn)?2a ab b(2，4)(1，1)(3，3)， a ab b(0，3)， 所以|2a ab b|3 2，|a ab b|3. 設(shè) 2a ab b與a ab b的夾角為， 則 cos （2a ab b）（a ab b）|2a ab b|a ab b|（3，3）（0，3）3 2322， 又0， 所以4. 2已知向量a a(3，4)，b b(2，1)，如果向量a axb b與b b垂直，則x的值為( ) A25 B.233 C.323 D2 解析：選 A a axb b(3，4)x(2，1)(32x，4x)， b b(2，1)，且(a a
16、xb b)(b b)， 2(32x)(4x)0，得x25. 3已知向量a a(2，1)，a ab b10，|a ab b|5 2，則|b b|( ) A. 5 B. 10 C5 D25 解析：選 C 法一：設(shè)b b(x，y)， 則a ab b2xy10 ， 又a ab b(x2，y1)，|a ab b|5 2， (x2)2(y1)250 與聯(lián)立得x3，y4，或x5，y0. |b b|x2y25. 法二：由|a ab b|5 2得a a22a ab bb b250， 即 520b b250 b b225|b b|5. 4已知AB(4,2)，AC(k，2)，若ABC為直角三角形，則k等于( ) A
17、1 B6 C1 或 6 D1 或 2 或 6 解析：選 C 當(dāng)A90時，ACAB，則 4k40，k1； 當(dāng)B90時，ABBC，又BCACAB(k4，4) 4(k4)2(4)0 解得k6； 當(dāng)C90時，ACBC，則k(k4)(2)(4)0 即k24k80，無解 故k1 或 6. 二、填空題 5 (安徽高考)設(shè)向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a a|_ 解析：由題意知，a ac c(3，3m)， (a ac c)b b3(m1)3m0，解得m12， 即a a(1，1)，|a a| 12（1）2 2. 答案： 2 6(新課標(biāo)全國卷)已
18、知兩個單位向量a a，b b的夾角為 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，則t_ 解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力根據(jù)數(shù)量積bcbc0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運(yùn)算中因?yàn)橄蛄縜 a，b b為單位向量，所以b b21，又向量a a，b b的夾角為 60，所以abab12，由bcbc0 得b bta a(1t)b b0，即tabab(1t)b b20，所以12t(1t)0，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 則c c_ 解析：本題主要
19、考查向量的基本知識及運(yùn)算由題意，將b bc cta a(1t)b bb b整理，得ta ab b(1t)0，又a ab b12，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 則c c_ 解析：設(shè)c c(x，y)，則c ca a(x1，y2) 又(c ca a)b b， 2(y2)3(x1)0. 又c c(a ab b)， (x，y)(3，1)3xy0. 解得x79，y73. 答案：79，73 8已知a a(1，3)，b b(1，1)，c ca ab b，若a a和c c的夾角是銳角，則的取值范圍是_
20、解析：由條件得，c c(1，3)，從而 a ac c13（3）0，1133， 52，0 (0，) 答案：52，0 (0，) 三、解答題 9已知向量a a是以點(diǎn)A(3，1)為始點(diǎn)，且與向量b b(3，4)垂直的單位向量，求a a的終點(diǎn)坐標(biāo) 解：b b是直線y43x的方向向量，且a ab b. a a是直線y34x的方向向量 可設(shè)a a(1，34)(，34) 由|a a|1， 得291621. 解得45， a a(45，35)或a a(45，35) 設(shè)a a的終點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y) 則x345，y135，或x345，y135. 即x195，y25，或x115，y85. a a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(195，25)或(115，85) 10已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD. (1)求證：ABAC； (2)求點(diǎn)D和向量AD的坐標(biāo)； (3)設(shè)ABC，求 cos . 5(x1)5(y2)， 由解得x72，y52， 故D點(diǎn)坐標(biāo)為(72，52)，
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