《高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標表示 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標表示 Word版含答案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、20192019 版數(shù)學精品資料（北師大版）版數(shù)學精品資料（北師大版） 核心必知 1向量數(shù)量積的坐標表示 設a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則a ab bx1x2y1y2 即兩個向量的數(shù)量積等于相應坐標乘積的和 2度量公式 (1)長度公式：設a a(x，y)，則|a a|x2y2 (2)夾角公式： 設a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a與b b的夾角為， 則 cos x1x2y1y2x21y21x22y22 3兩向量垂直的坐標表示 設a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則 a ab ba ab b0 x1x2y1y20 4直線的方向向量 給定斜率為k的直線l，
2、則向量m m(1，k)與直線l共線，把與直線l共線的非零向量m m稱為直線l的方向向量 問題思考 1由向量長度的坐標表示，你能否得出平面內(nèi)兩點間的距離公式？ 提示：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則AB(x2x1，y2y1)，由向量長度的坐標表示可得 |AB|AB|x2x12y2y12. 2坐標形式下兩向量垂直與平行的條件有何區(qū)別？ 提示：設a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，則： a ab bx1x2y1y20，即“相應坐標相乘和為 0”； a ab bx1y2x2y10，即“坐標交叉相乘差為 0” 3直線l的方向向量唯一嗎？ 提示：直線l的方向向量即是與l平行的向量，意指表
3、示該向量的有向線段所在的直線與l平行或重合，所以直線l的方向向量不唯一(有無數(shù)個)，但它們都是共線向量 講一講 1已知向量a a(4，2)，b b(6，3)，求： (1)(2a a3b b)(a a2b b)； (2)(a ab b)2. 嘗試解答 法一：(1)2a a3b b(8，4)(18，9)(10，5)， a a2b b(4，2)(12，6)(16，8)， (2a a3b b)(a a2b b)16040200. (2)a ab b(10，5) (a ab b)2(10，5)(10，5)10025125. 法二：由已知可得：a a220，b b245，a ab b30 (1)(2a a
4、3b b)(a a2b b)2a a2a ab b6b b2 22030645200. (2)(a ab b)2a a22a ab bb b2206045125. 進行向量的數(shù)量積的坐標運算關(guān)鍵是把握向量數(shù)量積的坐標表示，運算時常有兩條途徑： (1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示直接運算； (2)先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算 練一練 1已知a a(2，1)，b b(1，3)，向量c c滿足a ac c4，b bc c9. (1)求向量c c的坐標； (2)求(a ab b)c c的值 解：(1)設c c(x，y)， 由a ac c4，b bc c9，得，2xy4，x3y9. 解得x
5、3，y2. c c(3，2) (2)法一：a ab b(2，1)(1，3)(1，4)， (a ab b)c c(1，4)(3，2) 134(2) 5. 法二：(a ab b)c c a ac cb bc c (2，1)(3，2)(1，3)(3，2) 231(2)(1)33(2) 5. 講一講 2已知a a(1，2)，b b(2，4)，|c c| 5. (1)求|a a2b b|； (2)若(a ab b)c c52，求向量a a與c c的夾角 嘗試解答 (1)a a2b b(1，2)2(2，4)(3，6) |a a2b b| （3）2（6）23 5. (2)b b(2，4)2(1，2)2a a
6、 a ab ba a， (a ab b)c ca ac c52 設a a與c c的夾角為， 則 cos a ac c|a a|c c|525 512 0，23 即a a與c c的夾角為23. 1已知向量的坐標和向量的模(長度)時，可直接運用公式|a a|x2y2進行計算 2求向量的夾角時通常利用數(shù)量積求解，一般步驟為： (1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出兩向量的數(shù)量積； (2)再求出兩向量的模； (3)由公式 cos a ab b|a a|b b|計算 cos 的值； (4)在0，內(nèi)，由 cos 的值確定角. 練一練 2已知向量a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，e e(0，1)
7、，若a ab b，|a ab b|2，且a ab b與e e的夾角為3，則x1x2( ) A2 B 3 C 2 D1 解析：選 B a ab b(x1x2，y1y2) (a ab b)e e(x1x2)0(y1y2)1y1y2. |a ab b|2，|e e|1，a ab b與e e的夾角為3， cos 3（a ab b）e e|a ab b|e e|y1y2212，y1y21， 又由|a ab b|2 知，(x1x2)2(y1y2)24， (x1x2)23.x1x2 3. 講一講 3已知a a( 3，1)，b b12，32. (1)求證：a ab b； (2)是否存在實數(shù)k，使x xa a2
8、b b，y yka ab b，且x xy y，若存在，求k的值；不存在，請說明理由 嘗試解答 (1)證明：a ab b 312(1)320. a ab b. (2)x x( 3，1)212，32()31，1 3 ， y yk( 3，1)12，3212 3k，k32. 假設存在k使x xy y， x xy y( 31)12 3k(1 3)k32化簡得：4k20 k12即存在k12，使x xy y. 兩向量互相垂直，則其數(shù)量積為零，反之也成立，因此： (1)判斷兩個向量是否垂直，只需考察其數(shù)量積是否為 0； (2)若兩向量垂直，則可利用數(shù)量積的坐標表示建立有關(guān)參數(shù)的方程，進而求解 練一練 3 (安
9、徽高考)設向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a|a|_ 解析：a ac c(3，3m)，由(a ac c)b b，可得(a ac c)b b0，即 3(m1)3m0，解得m12，則a a(1，1)，故|a a| 2. 答案： 2 已知向量a a(2，1)，b b(t，1)且向量a a與b b的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍 錯解 設向量a a與b b的夾角為，則為鈍角， cos a ab b|a a|b b|0，a ab b0. a ab b(2，1)(t，1)2t112. 故t的取值范圍是(12，) 錯因 錯解在于誤認為為鈍角等
10、價于a ab b0，實際上，a ab b0 包含兩向量反向共線的情況，即的情況，無疑擴大夾角的取值范圍 正解 設向量a a與b b的夾角為， 為鈍角2. cos a ab b|a a|b b|0， a ab b0，即(2，1)(t，1)2t112. 當a ab b時，21(1)t0，得t2， 這時b b(2，1)a a，b b與a a反向 即當t2 時，不合題意 故t的取值范圍為(12，2)(2，) 1向量i i(1，0)，j j(0，1)，下列向量中與向是 3i ij j垂直的是( ) A2i i2 3j j Bi i 3j j C2i i 3j j Di i 3j j 解析：選 B 可知
11、3i ij j( 3，1)，逐項考察知， ( 3i ij j)(i i 3j j)( 3，1)(1， 3) 3 30. i i 3j j與 3i ij j垂直 2已知向量a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，則m( ) A8 B6 C6 D8 解析：選 D 法一：因為a a(1，m)，b b(3，2)， 所以a ab b(4，m2) 因為(a ab b)b b， 所以(a ab b)b b0， 所以 122(m2)0，解得m8. 法二：因為(a ab b)b b，所以(a ab b)b b0，即a ab bb b232m32(2)2162m0，解得m8. 3(重慶高考)
12、設x，yR R，向量a a(x，1)，b b(1，y)，c c(2，4)且a ac c，b bc c，則|a ab b|( ) A. 5 B2 10 C2 5 D10 解析：選 B 因為a ac c，b bc c，所以有 2x40 且 2x40，解得x2，y2， 即a a(2，1)，b b(1，2)所以a ab b(3，1)，|a ab b| 10. 4經(jīng)過點A(1，0)且方向向量與d d(2，1)垂直的直線方程為_ 解析：設直線的方向向量為m m(1，k)， 由m md d得 2k0. 直線的斜率k2，故所求直線的方程為y2(x1) 即 2xy20. 答案：2xy20 5設向量a a，b b
13、的夾角為，且a a(5，5)，2b ba a(1，1)，則 cos _ 解析：a a(5，5)，2b b(5，5)(1，1)(4，6)即b b(2，3) 又|a a|5 2，|b b| 13，且a ab b(5，5)(2，3)25. cos a ab b|a a|b b|255 2 135 2626. 答案：5 2626 6已知向量a a(1，2)，b b(2，2)， (1)設c c4a ab b，求(b bc c)a a； (2)若a ab b與a a垂直，求的值； (3)求向量a a在b b方向上的射影 解：(1)c c4(1，2)(2，2)(6，6)， b bc c(2，2)(6，6)2
14、6260， (b bc c)a a0a a0 0. (2)a ab b(1，2)(2，2)(12，22)， (a ab b)a a (12)2(22)0， 得52. (3)法一：設a a與b b的夾角為， 則 cos a ab b|a a|b b|122（2）1222 22（2）21010. 向量a a在b b方向上的投影為 |a a|cos 1222(1010)22. 法二：a ab b(1，2)(2，2)2，|b b|2 2. 向量a a在b b方向上的投影為 |a a|cos a ab b|b b|22 222. 一、選擇題 1若向量a a(1，2)，b b(1，1)，則 2a ab b
15、與a ab b的夾角等于( ) A4 B.6 C.4 D.34 解析：選 C 因為 2a ab b(2，4)(1，1)(3，3)， a ab b(0，3)， 所以|2a ab b|3 2，|a ab b|3. 設 2a ab b與a ab b的夾角為， 則 cos （2a ab b）（a ab b）|2a ab b|a ab b|（3，3）（0，3）3 2322， 又0， 所以4. 2已知向量a a(3，4)，b b(2，1)，如果向量a axb b與b b垂直，則x的值為( ) A25 B.233 C.323 D2 解析：選 A a axb b(3，4)x(2，1)(32x，4x)， b b
16、(2，1)，且(a axb b)(b b)， 2(32x)(4x)0，得x25. 3已知向量a a(2，1)，a ab b10，|a ab b|5 2，則|b b|( ) A. 5 B. 10 C5 D25 解析：選 C 法一：設b b(x，y)， 則a ab b2xy10 ， 又a ab b(x2，y1)，|a ab b|5 2， (x2)2(y1)250 與聯(lián)立得x3，y4，或x5，y0. |b b|x2y25. 法二：由|a ab b|5 2得a a22a ab bb b250， 即 520b b250 b b225|b b|5. 4已知AB(4,2)，AC(k，2)，若ABC為直角三角
17、形，則k等于( ) A1 B6 C1 或 6 D1 或 2 或 6 解析：選 C 當A90時，ACAB，則 4k40，k1； 當B90時，ABBC，又BCACAB(k4，4) 4(k4)2(4)0 解得k6； 當C90時，ACBC，則k(k4)(2)(4)0 即k24k80，無解 故k1 或 6. 二、填空題 5 (安徽高考)設向量a a(1， 2m)，b b(m1， 1)，c c(2，m) 若(a ac c)b b， 則|a a|_ 解析：由題意知，a ac c(3，3m)， (a ac c)b b3(m1)3m0，解得m12， 即a a(1，1)，|a a| 12（1）2 2. 答案： 2
18、 6(新課標全國卷)已知兩個單位向量a a，b b的夾角為 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，則t_ 解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，意在考查考生的運算求解能力根據(jù)數(shù)量積bcbc0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中因為向量a a，b b為單位向量，所以b b21，又向量a a，b b的夾角為 60，所以abab12，由bcbc0 得b bta a(1t)b b0，即tabab(1t)b b20，所以12t(1t)0，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 則c
19、 c_ 解析：本題主要考查向量的基本知識及運算由題意，將b bc cta a(1t)b bb b整理，得ta ab b(1t)0，又a ab b12，所以t2. 答案：2 7 已知向量a a(1， 2)，b b(2， 3) 若向量c c滿足(c ca a)b b，c c(a ab b)， 則c c_ 解析：設c c(x，y)，則c ca a(x1，y2) 又(c ca a)b b， 2(y2)3(x1)0. 又c c(a ab b)， (x，y)(3，1)3xy0. 解得x79，y73. 答案：79，73 8已知a a(1，3)，b b(1，1)，c ca ab b，若a a和c c的夾角是銳
20、角，則的取值范圍是_ 解析：由條件得，c c(1，3)，從而 a ac c13（3）0，1133， 52，0 (0，) 答案：52，0 (0，) 三、解答題 9已知向量a a是以點A(3，1)為始點，且與向量b b(3，4)垂直的單位向量，求a a的終點坐標 解：b b是直線y43x的方向向量，且a ab b. a a是直線y34x的方向向量 可設a a(1，34)(，34) 由|a a|1， 得291621. 解得45， a a(45，35)或a a(45，35) 設a a的終點坐標為(x，y) 則x345，y135，或x345，y135. 即x195，y25，或x115，y85. a a的終點坐標是(195，25)或(115，85) 10已知ABC中，A(2,4)，B(1，2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD. (1)求證：ABAC； (2)求點D和向量AD的坐標； (3)設ABC，求 cos . 5(x1)5(y2)， 由解得x72，y52， 故D點坐標為(72，52)，
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